组合数学课件第五章容斥原理

5.1.3 包含排斥原理
例2、求从1到1000的整数中不能被5，6 和8中任何一个整除的整数个数。 解：用lcm{a1,a2,…,an}表示n个整数a1,a2,…,an的最小公倍数。 设S={1,2,…,1000}，令A,B,C分别为1~1000中能被5,6,8除尽的整数 集合。显然，其补集代表不具备被整除性质的集合。根据题意有
5.1.2 计数定理 (1) (2)
同样可用Venn图说明该定理的正确性。 或通过组合分析法，若A代表具有性质P1的元素集合，B代 表具有性质P2的元素集合，等式左端表示至少具有性质P1 、 P2之一的元素个数，|A|表示具有性质P1的元素个数，|B|表示 具有性质P2的元素个数，但二者相加时，同时具有性质P1 、 P2的元素计数重复加了一次，故需要减去重复的数|A∩B|。 另外：
类似的分析可得 |A∩B|=C(4+3-1,3)，|A∩C|=C(4+2-1,2)，|A∩D|=C(4+1-1,1)， |B∩C|=C(4+3-1,3)，|B∩D|=C(4+2-1,2)，|C∩D|=C(4+1-1,1)， |A∩B∩C|=|A∩B∩D|=|A∩C∩D|=|B∩C∩D|=|A∩B∩C∩D|=0。 根据容斥原理，B的12−组合数为
5.1.3包含排斥原理
考虑S中一个恰好具有n个性质中的m(1≤m≤n)个性质的一个元 素y，由于y∈S ，故在S中被计算的次数为1=C(m,0)；又由于y恰好 具有m个性质，故它是Ai(i=1,2,…,n)中的m个集合的元素，因而在 中被计算的次数为C(m,1) ；又因为在m个性质中取出一对性质的 方法有C(m,2)个，故y是C(m,2)个集合Ai∩Aj(i≠j)的一个元素，在 中被计算的次数为C(m,2) ,…,因此y在等式右端被计算的次数净值 C(m,0)-C(m,1)+C(m,2)+…+(-1)n C(m,n)，由于m＜k时，C(m,k)=0 ，有
2,…,n;i≠j)。一般地当，n≥n1个时数，字Dn中=n有!(k1个-1/数1!字+1i/12,i!2-,1…/3,!i+k在…原+(位-1)置n/n的!)排
列有
=n!-C(n,1)(n-1)!(+kC=1(n,2,2,…)(n,n-2)。)!+而…对+(于-1k)n=C1(,n2,…n) , n
教学目标：
§5.1 包含排斥原理
1．记住容斥原理的内容，理解其证明方法；
2．能运用容斥原理解决具有有限重复数的多重集合 的r组合数问题、错排问题、有禁止模式的排列问 题；
3．掌握棋子多项式的形式，能运用棋子多项式的形 式解决有限制位置的排列问题。
教学重点：容斥原理的内容及其证明方法；运用容 斥原理解决具有有限重复数的多重集合的r组合数 问题、错排问题、有禁止模式的排列问题；
主要依据：
• 若A为S 的子集， 为A在S中的补集，则
SA
•De Morgan定律：若A、B为S的子集，则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S AB
5.1.2 计数定理
(1)
可用Venn图说明该定理的正确性。 该等式表示同时不具有性质P1 、 P2的元素个数的计数 方法。同时不具有性质P1 、 P2的元素个数应该在全集S中去 掉|A|和|B|，但此时同时具有性质P1 、 P2的元素计数重复减 了一次，故需要加上重复的数|A∩B|。
习题
第八章 Polya定理 8.1置换群中的共轭类与轨道 8.2 Polya定理的特殊形式及其应用 本章小结
习题
********************** 课程总结
本章重点介绍包含排斥原理及其在排列组合 中的应用：
• §5.1包含排斥原理 • §5.2 多重集的r-组合数 • §5.3错位排列 • §5.4 有限制条件的排列问题 • §5.5有禁区的排列问题
解：对任一大于1的正整数n都可惟一地分解为
5其数然.1中。有.3 p设|S包1|＜=S含=np,{排21|＜A,斥2i…|,=…原n＜,/理pnpi,}k，(都i=是例素求1A,i2不4的欧为,、…超自拉S欧中,k过然函)拉能,n数数|A函的被的表i∩数素p个达i整A数j数式(|除=n，n)。。是的/且(p求(子αinp1∈小集,j)α,N2于，(,…i),nij==且,α11k,,与22都,,……n是互,,kk正。; 整显
5.1.2 包含排斥原理 例7、一个学校只有三门课程：数学、物理 、化学。已知修这三门科的学生分别有170 、130、120人；同时修数学物理两门课的学 生有45人；同时修数学、化学的20人；同时 修物理、化学的22人；同时修三门科的学生 3人。问这学校有多少学生？
解：令M为修数学课的学生集合，P为修物理课的学生集合 ，C为修化学课的学生集合。 据题意有|M|=170，|P|=120，|C|=130，|M∩P|=45， |P∩C|=22，|C∩M|=20，|M∩P∩C|=3 ， 则该学校的学生 数为
i≠j),…,|A1∩A2 ∩…∩Ak|=n/(p1p2…pk)，根据容斥原理，有
5.1.3 包含排斥原理
例5、证明以下等式：
其中n,r,m为正整数，m≤r ≤ n. 证明：令S={1,2,…,n}, A={1,2, …,m}.等式左边表示从S中选取包含 着A的r-子集的方法数N. 设Pj表示在S的r-子集中不包含A的j元素
教学难点：容斥原理的内容及其证明方法;有禁止模 式的排列问题。
5.1.1 引论
包含排斥原理（容斥原理）通过研究若干有限集合的交与并 等基本运算，解决实际中的计数问题。它是组合数学的一个基 本计数原理。
例1 求在1,2, …,600中不能被6整除的数的个数。 解：先求在1和600之间可以被6整除的个数。由600/6=100可 知这样的数有100个，那么不能被6整除的数有600-100=500个。
习题
录
第四章 二项式系数 4.1 二项式定理 4.2组合恒等式 4.3非降路径问题 4.4牛顿二项式定理 4.5多项式定理 4.6 基本组合计数的应用 本章小结
习题 第五章 包含排斥原理 5.1 包含排斥原理 5.2 多重集的r-组合数 5.3错位排列 5.4 有限制条件的排列问题 5.5有禁区的排列问题 本章小结
根据容斥原理，不能被5,6,8中任何一个数整除的数目为
5.1.3 包含排斥原理
例3、求由a,b,c,d四个字符构成的n位符 号串中，a,b,c都至少出现一次的符号串 的数目。 解：令S为四个字符的所有n位符号串集合，A,B,C分别为n位符号 串中不出现a,b,c的集合。根据题意有
根据容斥原理， a,b,c至少出现一次的符号串数目为
习题
目录（2）
第六章 递推关系 6.1 Fibonacci数列 6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 6.3 常系数线性非齐次递推关系的求 解 6.4 用迭代和归纳法求解递推关系 本章小结
习题 第七章 生成函数 7.1生成函数的定义和性质 7.2多重集的r-组合数 7.3正整数的划分 7.4指数生成函数与多重集的排列问 题 7.5 Catalan数和Stiring数 本章小结
|M∪P∪C|=|M|+|P|+|C|-|M∩P|-|P∩C|-
|C∩M|+|M∩P∩C|=336
在§3.3中介绍了重集B={k1*b1, k2*b2, … , kn*bn}在重数 ki= ∞ (i=1,2,…,n)与在重数ki≥r (i=1,2,…,n)时的r−组合数是 相同的，都是C(k+r-1,r),但当r大于某些个ki时，r-组合数又 怎么求呢？下面以实例说明当重集B的元素具有任意给定 的重数时，利用容斥原理求B的r−组合数。
的性质， Aj是具有性质Pj的S的r-子集的集合.那么有
5.1.3 包含排斥原理§5.1 包含排斥原理例8
由容斥原理得
5.1.3 包含排斥原理
例6、求从1到500的整数中被3或5除尽 的数的个数。
解：令A为1~500中能被3除尽的整数集合，B为1~500中能被5除 尽的整数集合。 根据题意有
根据容斥原理，从1到500的整数中被3或5除尽的数的个数为
注：加法法则相当于该等式A∩B=Φ的一个特例。
3.1.3 包含排斥原理
若Ai (i=1,2,…,n) S，且Ai是S中具有性质Pi的元 素的子集，则S中不具有性质Pi (i=1,2,…,n)的元 素的个数为：
证明：可以利用数学归纳法证明。 或用组合分析方法如下： 为证明等式成立，只需证明等式右端不具有性质Pi (i=1,2,…,n) 的元素被计算的次数净值为1，而至少具有性质Pi 中之一的元 素被计算的次数净值为0即可。 考虑S中一个不具有n个性质中任何一个性质的元素x，因为 x∉Ai(i=1,2,…,n)，故x被计算的次数净值为1-0+0-…(-1)n0=1。
由于A中的每一个12−组合至少含有5个a，故这样的一个组合 相当于B’ 的一个7−组合，反之， B’ 的一个7−组合加上5个a就得 到了A的一个12−组合。这两种选法是一一对应的。故|A|=C(4+71,7)，同理有|B|=C(4+8-1,8)，|C|=C(4+7-1,7)，|D|=C(4+6-1,6)。
证明：由于集合
是S中至少具有n个性质中一个性
质元素所组成的子集，所以有
代入上述定理，即可得证。
5.1.3 包含排斥原理
例1、求a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不 允许出现ace和df图像的排列数。
解：令S为这六个字母的全排列集合，A为ace作为一个元素出现 的排列集合，B为df作为一个元素出现的排列集合。 根据题意有|S|=6!，|A|=4!，|B|=5!，|A∩B|=3!，根据容斥原理， 不允许出现ace和df的排列数为
， ， Ai∩故相A有当j表于示其数他字ni-和1个如的数数{i字，a字1j,有a在的2a,原…i全≠位ia，排n。}置称为列A的这{，i1表排,种|2A示,列…i排|=数，,(列nn字有}-为的1i)|位A错!一(ii置∩=排排A1不D,列j2|=动n,…(，。n的-,对n2排))所!。(列i,有而j=集1合,
455-(120+162+120+84)+(20+10+4+20+4+10)=34
解：令
§5.2 重集的r-组合
例2、确定方程x1+x2+x3=5 (0≤x1≤2, ≤ 2, 1 ≤ x3 ≤ 5) 的整数解的个数。
， 则有
，用
代替 得
0 ≤ x2
这个方程的整数解的个数就是原方程的整数解的个数。而它又与 多重集{2·a,2·b,4·c}的4-组合数相等，仿照例题1的方法求得多重集 的4-组合数，结果是9，所以原方程有9个解。它们是：
组合数学课件第五章容斥原 理
目录（1）
目
第1章 什么是组合数学 1.1引例 1.2组合数学研究对象、内容和方法 第2章 鸽巢原理 2.1 鸽巢原理：简单形式 2.2 鸽巢原理：加强形式 2.3 Ramsey定理 2.4 鸽巢原理与Ramsey定理的应用 本章小结
习题 第3章 排列与组合 3.1 两个基本的计数原理 3.2 集合的排列与组合 3.3 多重集的排列与组合 本章小结
例1、求重集B={4*a, 3*b, 4*c, 5*d} r−组 合数，其中r=12。
解：构造重集B’={∞*a, ∞*b, ∞*c, ∞*d }，令B’ 的所有12−组合构成 的集合为S，有|S|=C(4+12-1,12)。令A为至少出现5个a的组合构 成的集合，B为至少出现4个b的组合构成的集合， C为至少出现5 个c的组合构成的集合，D为至少出现6个d的组合构成的集合。
C(m,0)-C(m,1)+C(m,2)+…+(-1)nC(m,n) =C(m,0)-C(m,1)+C(m,2)+…+(-1)mC(m,m)=0。
因此y具有n个性质中至少一个性质时，被计算的次数净值为0。 定理得证。
5.1.3 包含排斥原理
若Ai (i=1,2,…,n) S，且Ai是S中具有性质pi的元 素的子集，则S中至少具有性质Pi (i=1,2,…,n)的 一个性质的元素个数为：
(0,0,5), (0,1,4), (0,2,3), (1,0,4), (1,1,3), (1,2,2), (2,0,3), (2,1,2), (2,2,1).
P86
1、4、5(2)
解：令{1,2,…,n}的所有排列的集合为S，有|S|=n!。令Ai(i=1,2,…, n)为具有性质ai=i的排列的集合。因为错排是具有性质ai≠i的排列