第五章 区间估计与假设检验

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预测
u 样本回归函数的一个用途是“预测”或“预报” 对应于给定Ｘ的未来的Ｙ值。
u 包括两种预测： u １、均值预测（ｍｅａｎ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ） u ２、个值预测（ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ）
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均值预测(mean prediction)
∑ Yˆ0
~
N
(
β1
+
β
2X
0,
σ
2[
~
t(n − 2)
所以有，Pr(−t α/ 2
≤
βˆ2
−
β
* 2
se(βˆ2 )
≤
tα /2 )
=1−α
β*2的置信系数为1− α的置信区间为：[βˆ2 − t α/ 2se(βˆ2 ), βˆ2 + tα /2se(βˆ2 )]
决策规则 ：在H0假设条件下，根据样本数据计算置信区
间，如果 β*2落入置信区间，则不拒绝 H0，相 反，如 果β*2
u 在实践中 ，通常不考虑 β ，而仅仅重点考虑α ，依据 α值来 判断是否接受和拒绝原假设。
u 在任一个定的样本大小 ，两类错误之间存在一种替代关系 。
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两类错误之：弃真
u 1、H0：海底只有一棵针。
u 进行抽样试验— — 下海捞针 u 检验统计量— — 是否捞到针 。 结果 ：捞 到 针 u 统计推断 — — 一次试验捞了上来， 小概率事件发生 ， 拒绝 H0。
u 单尾（侧）检验：一般适用于有很强的先验信息的 时候。
u 置信区间和t统计量的构造过程与双侧是完全相同。
u 不同之处： u t统计量： 临界值不同— t α和 ± t α /2
u 置信区间 ：区间上、下限不同 [0, β*2 + t αse(βˆ2 )]和[ β*2 − tα / 2se(βˆ2 ), β*2 + t α/ 2se(βˆ2 )]
第五章 双变量回归：区间 估计与假设检验
暨南大学金融系 朱滔
第五章 区间估计与假设检验
u 预备知识 u 置信区间 u 假设检验 u 预测
1
2
预备知识
u 虚拟假设（原假设）H0 u 对立假设（备择假设）H1 u 第I类错误 u 第II类错误
H0和H1
问题：某一给定的观测或发现是否与某一声称的假设（ｓｔａｔｅｄ
对立假设可以是简单的或复合的。例如， Ｈ１：β２＝１ 是一个简单假设，
但是 Ｈ１：β２≠１ 则是一个复合假设。
3
方法：有显著性检验和置信区间两种方法。
4
假设检验中的两类错误
u 第一类错误：拒绝真实－弃真； u 第二类错误：接受错误－纳伪。
决策
拒绝 不拒绝
自然状态 H0是对的 H0是错的 I类错误
II类错误
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σ2检验的显著性（χ2检验）
σˆ2 σ2
(n
− 2) ~
χ2(n
− 2)
Ｈ０：σ 2 = σ *2 ；Ｈ１：σ 2 ≠ σ *2 。
构造
σ２
显著水平为
α的置信区间：
[(n
−
2)
σˆ2 χ2
α/ 2
, (n
−
2)
σˆ2 χ2
1−α / 2
]
检验 σ２ 的检验值σ *2 是否在此区间内，在则接受，不在就拒绝。
假定：地海底真的只有一棵针 。犯“弃真”错误了。
u 2、此时犯了“弃真”的错误，但是犯弃真错误的可能性， 事先已经控制— — 只有显著水平α（小概率）那么大。
u 在本例中 ， 显著性水平 α等 于： 针的面积/大海的面积 。
u 3、所以拒绝不仅是坚决的， 而且犯弃真错误的概率（冒
险率— 风险是事先控制的）也很小=α。所得结论的可靠性
u 在解决具体问题时，设定H0通常三条原则：
u H0代表一种久已存在的状态 ，H1则反映新问题 。 u 样本观测值显示所支持的结论 ，应作为H1。 u 尽量使后果严重的错误成为第一类错误，如 ：
1、“有病当作无病”；2、“无病当作有病 ” 两种错误相比，1比较严重，因此将有病作为维护的原
假设：H0：有病；H1：无病。
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选择显著性水平
u 选择显著性水平α
u 是人为设定的 u 1%,5%,10%
u 精确的显著性水平：P值
u 原假设可被拒绝的最低显著性水平
H0 : β2 = β*2; H1 : β2 ≠ β*2
|
t
|=|
βˆ2 − β2 se(βˆ2 )
|=|
βˆ2 − β*2 se(βˆ2 )
|=
t
α/
时的
2
α，就是
χ2 1 −α
/
2
≤χ2
≤
χ
2 α
/
2
)
=1−α
得，
σ２ 显著水平为α的置信区间为：
[(n
−
2)
σˆ2 χ2
α/2
,
(n
−
2)
σˆ2 χ2
1−α
/2
]
即：Pr[(n − 2) σˆ2 ≤ σ 2 ≤ (n − 2) σˆ2 ] = 1−α
χ2 α /2
χ2 1−α / 2
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什么是假设检验？
u 统计推断：假设检验 u 假设检验就是要设计出一种检验程序，以便
u 你认为改善现在的小股东利益得不到保护的情况， 有什 么样的方法可以解决目前的问题？
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u H0：基金无罪
u 检验统计量— 股民提供基金操纵股市的证据 。
u 只有在提供了确凿的操纵证据后，方才拒绝 H0。 u 面临的问题：小股东无力提供证据（ 小概率事件不会发
生），H0难以被拒绝 。
u 可能的解决办法 ：
= 1- α
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两类错误之：纳伪
u H0：某某（ 高考考生）= 大学生 （优秀青年）
u 进行抽样试验— — 参加高考 u 检验统计量— — 考试总分。 结 果： 高分数（超常发挥） u 统计推断 — — 接 受H0 。
假定：某某实际上是很差的学生。
u 此时犯了“纳伪”的错误。 仅当不拒绝 H0才会犯纳伪错误 u 某某进入高校， 招生工作犯了纳伪错误 u 而且，进行统计推断时 ，没有事先控制纳伪的概率β，
=
V a r(Y0
−Yˆ0)
=
E (Y0
−Yˆ0)2
=
σ
2 [1 +
1 n
+
(
X0
−X xi2
)2
]
同样可以构造t统计量：
5
u 通常假定第I类错误比第II类错误严重 ，因此 ，通常将犯I类 错误的概率控制在非常低的水平上（ 10%,5%,1%） 。
u 我们把犯第I类错误的概率记为α， 并称为显著性水平 （Level of significance ）。将犯第 II类错误的概率记为β，并 把不犯第II类错误的概率1- β称为检验的功效（power of the test）。
⇔统计量是统计上显著的
临界域
1-α接受域
临界域
⇔拒绝
Ｈ ０
假设⇔Ｐｒ（ｔ）＜α（Ｐ
值小）。
- tα /2
O
tα/2
t
决策规则 ：在H0假设条件下，构造t统计量，根据样本数
据计算t值，如果|t|落入临界域，则拒绝H0，相反，如果|t|
落入接受域，则不拒绝 H0。
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置信区间法 VS. t检验
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关于单尾检验和双侧检验
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区间估计
u 在建立正是概念前的例子
u 消费－收入函数中的MPC。我们是用样本MPC的 均值来估计总体MPC的均值，但由于抽样的波 动，对于每一个不同的样本其估计值都是不同 的，因此，需要思考这样一个问题：
u 通过样本得到的估计值 ，在多大程度上接近真实值 ？
u 估计值本身也是随机的 ，并且在正态性假设的前提 下，估计值服从正态分布，因此，我们不能完全信赖 点估计量，而是要围绕点估计量构造一个区间，试图 在一定的水平下 ，能够让构造的区间包含真实的估计 值。
落入置信区间之外，则拒绝H0 。
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假设检验：显著性检验法（t检验）
Ｈ ０： β 2
=
β
* 2
；Ｈ１
：
β
2
≠
β
* 2
。
计算 t = βˆ2 − β 2 = βˆ2 − β 2
se(βˆ2 )
σˆ2
/
∑
x2 i
比较 ｜t ｜与tα ：
2
｜t ｜＞tα （ｔ 值大）⇔
2
“统计量的值落入 临界域 上
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回归系数β1和β2的置信区间
14
回归系数β1和β2的置信区间
u β２的显著水平为α的置信区间为：
[βˆ2 − tα se( βˆ2 ), βˆ2 + tα se(βˆ2 )]
2
2
置信区间的宽度与估计量的 标准误成正比。标准越小，对
真值估计的不确定性越小，因此，估计量的标准误喻为估
计量的精度（Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ）。
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基金黑幕
u 思考与讨论
u 问题背景 u 前几年我国证券投资基金被认为具有能力和动机操纵市
场，导致小股东利益受到剥削 ，自然有一些小股民会状 告基金公司，试图通过法律渠道保护自身利益，但常常 面临证据不足的问题。 如果把法官判定基金是否有罪的 问题看作是假设检验的问题，那么法官事实上假定了：
u 基金有罪 ？ u 基金无罪 ？
u 同样，β１显著水平为α的置信区间为：
[βˆ1 − tα se(βˆ1 ), βˆ1 + tα se(βˆ1 )]
15
2
2
例子
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17
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σ2的置信区间
在正态性的假设下，变量 χ 2 = (n − 2) σˆ2 σ2
服从自由度为 ｎ－２ 的χ 2 分布。故可以用其来建立 σ２ 的置信区间。
由 Pr(
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关于置信区间法与显著性检验法
u 总体而言：置信区间法优于显著性检验法。
u 但是，必须指出的是，这里的优于事实上更多的 是指置信区间为研究提供了更多的信息（关于系 数大小和分布范围的信息），即参数的置信区 间。
u 就判断系数是否显著这一点而言，在同一样本、 相同H0和H1情况下，两者并无什么区别。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ）相符？此处用“相符”一词表示观测的值与假设的值
“足够相近”，因而我们不拒绝所声称的假设。
虚拟假设（Ｎｕｌｌ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ）：一种信以为真的、意在维护的或理
论上的假设，并用 Ｈ０ 表示。
与之对立的假设称为 对立假设（ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ），记为 Ｈ１。
u 假设检验的基本思想：反证法— — 小概率事件在一 次实验中不大可能出现。
u 一个例子： H0：海底只有一棵针 H1：海底不只一棵针
u 进行抽样试验— — 下海捞针（构造的小概率事件） u 检验统计量— — 是否捞到针
u 结果 1： 捞到针（小概率事件发生） 。 统计推断： 拒绝 H0 。 u 结果 2： 未捞到针（ 小概率事件未发生）。 统计推断： 不拒绝H 0。
P值。
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统计显著性与实际显著性
u 统计显著性：
u 从计量的角度来判断， 我们是否拒绝或者不拒绝原假设的问题。
u 经济上的显著性 ：
u 试图强调的是， 研究结论在实际应用中是否非常的重要， 或者说具 有 非 常 强 的 影 响 力 。关 心 的 是 估 计 量 的 大 小 问 题。
u 要义：不要把统计上的显著性和实际上或经济上的显著性混 同起来。当样本含量变得非常大时，统计显著性变得并不重 要。而是否具有经济意义（经济显著性）变成了至关重要的 问题。
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置信区间
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置信区间的含义
u 置信区间并不表示β2落入区间的概率是1 -α。 而是说构造 的区间包含β2的概率为1-α。
u 置信区间是随机区间， 一个样本对应一个 βˆ2 ，βˆ2 本身也是
随机变量。
u 由于置信区间是随机的 ，那么所谓置信区间 包含β2的概率 为1-α，其涵义是在多次重复抽样的样本中，所构造的置信 区间也非常多（比如100个），平均而言，这些区间将有 100(1-α)个区间包含真实的β2 。
u 假定 ：基金有罪 （ 有罪推断 代 替 无罪推断 ） u 辨方举证 （ 代替 谁主张罪举证）
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假设检验：置信区间法
H0 : β2 = β*2 ; H1 : β2 ≠ β*2
构造β*2的置信区间（显著性水平α）：
在H0条件下：t =
βˆ2 −β2 se(βˆ2 )
=
βˆ2 − β*2 se(βˆ2 )
因此无法度量犯纳伪的可能性 。也就不能给出不拒绝H0 （录取进大学）的可靠性（1- β ）。
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不拒绝H0是无可奈何
u 就一次试验而言，不拒绝H0是无可奈 何，不能以接受H0作为我们研究的结 论。欲证明H0成立必须继续抽样、继续 检验。
u 不拒绝H0 VS. 接受H0
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关于设定H0与H1的一些问题
u H0在假设检验中通常处于，被保护的地位，不致于 轻易被否定。往往把久已存在的状态作为原假设， 而对立假设则反映新问题。
1 n
+
(
X0
− X2 x2
)
])
i
将未知σ 2的代为它的无偏估计量σˆ2，可以推知统计量：
t
=
Yˆ0 − ( β1 + β2 se(Yˆ0)
X 0
)
~
t(n
−2)
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个值预测(individual prediction)
在个值预测中我们关心的是uˆ0 = Y0 − Yˆ0的分布，
∑ V a r(uˆ0 )
决定：拒绝或者不拒绝一个原假设。
u 显著性检验法 u 置信区间法
u 为了检验虚拟假设（即检验其真实性 ），通常利用样本信息 以获得所需的检验统计量，这个统计量常常就是未知参数的 点估计量，然后，根据推导得出的检验统计量的抽样或者概 率分布，利用置信区间法或显著性检验方法去检验虚拟假 设。
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假设检验的基本思路