25.6相似三角形的应用第二课时-冀教版九年级数学上册课件(共21张PPT)
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冀教版九年级上册数学《相似三角形的判定》PPT教学课件
A.AB 2=BC·BD
B.AB 2=AC·BD
C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=AD·CD
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一
点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，
DE=3，则AD的长为（ B ）
A．3
B．4
C．5
D．6
A
B
D
C
随堂训练
1.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个
B′
上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE.
C′
A
∠A=∠A′，这样，△ADE≌△A′B′C′.
∵A′B′:AB=A′C′:AC ，
D
E
∴ AD:AB=AE:AC ，
∴DE∥BC ，
∴△ADE∽△ABC ，
∴△ABC∽△A′B′C′.
B
C
知识讲解
相似三角形判定
定理： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图所示,此时，
=
1
，
3
=
1
，
3
∠=∠,
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的
两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这
两个三角形一定相似吗？
一定相似
新课导入
已知：如图△ABC和△A′B′C′中，∠A＝
A′
∠A′，A′B′:AB=A′C′:AC.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明:在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)
P
解：⑴∵∠A=∠A，
∴当∠1= ∠ACB (或∠2= ∠B)时,
△ACP∽△ABC .
⑵ ∵∠A=∠A，
B.AB 2=AC·BD
C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=AD·CD
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一
点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，
DE=3，则AD的长为（ B ）
A．3
B．4
C．5
D．6
A
B
D
C
随堂训练
1.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个
B′
上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE.
C′
A
∠A=∠A′，这样，△ADE≌△A′B′C′.
∵A′B′:AB=A′C′:AC ，
D
E
∴ AD:AB=AE:AC ，
∴DE∥BC ，
∴△ADE∽△ABC ，
∴△ABC∽△A′B′C′.
B
C
知识讲解
相似三角形判定
定理： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图所示,此时，
=
1
，
3
=
1
，
3
∠=∠,
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的
两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这
两个三角形一定相似吗？
一定相似
新课导入
已知：如图△ABC和△A′B′C′中，∠A＝
A′
∠A′，A′B′:AB=A′C′:AC.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明:在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)
P
解：⑴∵∠A=∠A，
∴当∠1= ∠ACB (或∠2= ∠B)时,
△ACP∽△ABC .
⑵ ∵∠A=∠A，
25.6 相似三角形的应用课件(共22张PPT)
归纳总结
求不能直接测量物体的宽度的实际问题，同样可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解.
1.A字型.
2.X字型.
1.在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？
解得x = 54，
即这栋高楼的高度为54 m.
随堂练习
如图，在学校操场上，高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道学校操场上旗杆的高度，那么怎样测量和计算旗杆的高呢？（1）请设计一个测量旗杆高度的方案，说明理由，并与大家交流.（2）思考下面“大刚设计的方案”是否可行.如果可行，请说明其中的道理.若标杆CD=2 m，标杆影子BD=3 m，旗杆影子BO=12 m，求旗杆的高.
探究二
知识点2 利用相似三角形求距离
1.如图25-6-5，在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台.为求古塔和观景台之间的距离，请你设计测量方案，并给出计算结果.2.如图25-6-6，小明给出的测量方案是否可行？若可行，请按他的测量方案和所得数据求出结果.
解：构造相似三角形求解.
例2 如图，△ABC为一块铁板余料.已知BC=120 mm，高AD=80 mm.要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形的边长应为多少毫米？
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST. ∴ ，即 ， ,PQ×90=（PQ+45）×60.
解得PQ=90（m）.因此河宽大约为 90 m.
已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.
第 二十五章 图形的相似能运用三角形相似知识解决不能直接测量物体的高度和距离等实际问题.
求不能直接测量物体的宽度的实际问题，同样可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解.
1.A字型.
2.X字型.
1.在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？
解得x = 54，
即这栋高楼的高度为54 m.
随堂练习
如图，在学校操场上，高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道学校操场上旗杆的高度，那么怎样测量和计算旗杆的高呢？（1）请设计一个测量旗杆高度的方案，说明理由，并与大家交流.（2）思考下面“大刚设计的方案”是否可行.如果可行，请说明其中的道理.若标杆CD=2 m，标杆影子BD=3 m，旗杆影子BO=12 m，求旗杆的高.
探究二
知识点2 利用相似三角形求距离
1.如图25-6-5，在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台.为求古塔和观景台之间的距离，请你设计测量方案，并给出计算结果.2.如图25-6-6，小明给出的测量方案是否可行？若可行，请按他的测量方案和所得数据求出结果.
解：构造相似三角形求解.
例2 如图，△ABC为一块铁板余料.已知BC=120 mm，高AD=80 mm.要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形的边长应为多少毫米？
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST. ∴ ，即 ， ,PQ×90=（PQ+45）×60.
解得PQ=90（m）.因此河宽大约为 90 m.
已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.
第 二十五章 图形的相似能运用三角形相似知识解决不能直接测量物体的高度和距离等实际问题.
冀教版-数学-九年级上册-25.6相似三角形的应用 教学课件
D
B
A
┐
┐
C
E
方案三： 如图，把镜子放在离旗杆DE不远处点A处， 然后沿着直线AE后退到C，这时恰好在镜子 里看到旗杆顶点D，再用皮尺量得AC、AE、 观察者目高BC；利用相似即可解决。
D
B
┐
┐
C
A
E
1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时 刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的 影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
冀教版九年级上册 25.6相似三角形的应用
一、问题导入
例题：如图，已知零件的外径为a，要求它的 厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交 叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若 OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x 。
O
解：∵ OA:OC=OB:OD=n
且∠AOB=∠COD
O
Ｏ
怎 样Ｏ 测′
Ａ
ＢＡ Ｂ
′′
求旗杆高度的方法:
因为旗杆的高度不能直 接测量,我们可以利用
旗杆的高度
人身高和
和影长组成 相似于 影长组成
的三角形
的三角形
再利用相似三角形对
应边成比例来求解.
方案二： 在阳光下的某一时刻，将一根标杆竖立在旗杆影子上，使标杆 的影子落在旗杆的影子上，且使它们的影子重合，这时量出BC 、AC、AE的长，利用相似解决旗杆DE长。
解:设高楼的高度为X米，则
1.8 x 3 60 x 601.8
3 x 36
答:楼高36米.
• 练习 • 教材P89 1、2
课堂小结:
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
B
A
┐
┐
C
E
方案三： 如图，把镜子放在离旗杆DE不远处点A处， 然后沿着直线AE后退到C，这时恰好在镜子 里看到旗杆顶点D，再用皮尺量得AC、AE、 观察者目高BC；利用相似即可解决。
D
B
┐
┐
C
A
E
1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时 刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的 影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
冀教版九年级上册 25.6相似三角形的应用
一、问题导入
例题：如图，已知零件的外径为a，要求它的 厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交 叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若 OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x 。
O
解：∵ OA:OC=OB:OD=n
且∠AOB=∠COD
O
Ｏ
怎 样Ｏ 测′
Ａ
ＢＡ Ｂ
′′
求旗杆高度的方法:
因为旗杆的高度不能直 接测量,我们可以利用
旗杆的高度
人身高和
和影长组成 相似于 影长组成
的三角形
的三角形
再利用相似三角形对
应边成比例来求解.
方案二： 在阳光下的某一时刻，将一根标杆竖立在旗杆影子上，使标杆 的影子落在旗杆的影子上，且使它们的影子重合，这时量出BC 、AC、AE的长，利用相似解决旗杆DE长。
解:设高楼的高度为X米，则
1.8 x 3 60 x 601.8
3 x 36
答:楼高36米.
• 练习 • 教材P89 1、2
课堂小结:
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
【冀教版】九年级数学上册：25.6《相似三角形的应用(2)》ppt课件
九年级数学上 新课标 [冀教]
第二十五章 图形的相似
学习新知
检测反馈
E C
G
F
D标 杆
学习新知
A 如图所示,观察 者的视线与标 杆的顶端及旗 杆的顶端在同
H 一条直线上时, 通过测量哪些 数据可以求出
B 旗杆的高度?如 何计算?
1.如图所示,在一条小河的北岸A处 有一古塔,南岸C处有一观景台.为 求古塔和观景台之间的距离,请你 设计测量方案,并给出计算结果.
解析:∵M,N分别是AC,BC的中点, ∴MN∥AB,MN= 12AB.故选项B正确. ∵MN=12 m,∴AB=2MN=2×12=24(m).故选 项A正确.∵MN∥AB,∴△CMN∽△CAB.故选项 C正确.∵M是AC的中点, ∴CM=MA.∴CM∶MA=1∶1.故选项D错误.故 选D.
2.如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过 下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点 C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的 长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他 这次探究活动的描述错误的是 ( D ) A.AB=24 m B.MN∥AB
∴
CE CD . BE AB
又∵BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,
∴
10 20
20 AB
，解得AB＝40（m）.故选B.
2.如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过 下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点 C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的 长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他 这次探究活动的描述错误的是 ( ) A.AB=24 m B.MN∥AB C.△CMN∽△CAB D.CM∶MA=1∶2
近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在 BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得 BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB 等于 ( B ) A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
第二十五章 图形的相似
学习新知
检测反馈
E C
G
F
D标 杆
学习新知
A 如图所示,观察 者的视线与标 杆的顶端及旗 杆的顶端在同
H 一条直线上时, 通过测量哪些 数据可以求出
B 旗杆的高度?如 何计算?
1.如图所示,在一条小河的北岸A处 有一古塔,南岸C处有一观景台.为 求古塔和观景台之间的距离,请你 设计测量方案,并给出计算结果.
解析:∵M,N分别是AC,BC的中点, ∴MN∥AB,MN= 12AB.故选项B正确. ∵MN=12 m,∴AB=2MN=2×12=24(m).故选 项A正确.∵MN∥AB,∴△CMN∽△CAB.故选项 C正确.∵M是AC的中点, ∴CM=MA.∴CM∶MA=1∶1.故选项D错误.故 选D.
2.如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过 下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点 C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的 长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他 这次探究活动的描述错误的是 ( D ) A.AB=24 m B.MN∥AB
∴
CE CD . BE AB
又∵BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,
∴
10 20
20 AB
，解得AB＝40（m）.故选B.
2.如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过 下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点 C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的 长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他 这次探究活动的描述错误的是 ( ) A.AB=24 m B.MN∥AB C.△CMN∽△CAB D.CM∶MA=1∶2
近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在 BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得 BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB 等于 ( B ) A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
冀教版九年级数学上册ppt课件25.6相似三角形的应用
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（1•）第测•二高第级三级（不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 测量不• 第能四•到级第达五级顶部的物体的高度，通常用“在同一时
刻物高与影长成比例”的原理解决.
（2）测距 （不能直接测量的两点间的距离）
测量不能直接到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解.
2023/9/25
14
2023/9/25
10
单解：击如图此，假处设观编察母者从版左向标右走题到点样E时式，他的眼睛
的位置点F与两棵树的顶端点A、C恰在一条直线上．
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距 离小于８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在
2023/9/25
12
单3.击△A此BC是处一块编锐角母三角版形标余料题，边样BC=式120毫米，高
AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在
B•C单上，击其此余处两编个辑顶母点分版别文在本A样B、式AC上，这个正方形零件的
边长•是第多二少级？
解：设正• 方第形三级PQMN是符合要求的，△ABC
求金字塔的高度BO.
2023/9/25
4
单击此处编母版标题样式 如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA得为201m,
求金字塔的高度BO.
•解单:太击阳此光处是编平行辑的母光版线文,因本此样∠式BAO=∠EDF.
• 第二级 又 ∠• A第O三B=级∠DFE=90°.
• 第四级
∴△ABO∽• 第△五D级EF.
8
单击此处编母版标题样式 例：己知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和
（1•）第测•二高第级三级（不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 测量不• 第能四•到级第达五级顶部的物体的高度，通常用“在同一时
刻物高与影长成比例”的原理解决.
（2）测距 （不能直接测量的两点间的距离）
测量不能直接到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解.
2023/9/25
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单解：击如图此，假处设观编察母者从版左向标右走题到点样E时式，他的眼睛
的位置点F与两棵树的顶端点A、C恰在一条直线上．
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距 离小于８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在
2023/9/25
12
单3.击△A此BC是处一块编锐角母三角版形标余料题，边样BC=式120毫米，高
AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在
B•C单上，击其此余处两编个辑顶母点分版别文在本A样B、式AC上，这个正方形零件的
边长•是第多二少级？
解：设正• 方第形三级PQMN是符合要求的，△ABC
求金字塔的高度BO.
2023/9/25
4
单击此处编母版标题样式 如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA得为201m,
求金字塔的高度BO.
•解单:太击阳此光处是编平行辑的母光版线文,因本此样∠式BAO=∠EDF.
• 第二级 又 ∠• A第O三B=级∠DFE=90°.
• 第四级
∴△ABO∽• 第△五D级EF.
8
单击此处编母版标题样式 例：己知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和
冀教版九年级数学上册25.6《相似三角形的应用》(共17张PPT)
Thank you!
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
据史料记载，古希腊数学家、天 文学家泰勒斯曾经利用相似三角 形的原理，在金字塔影子的顶部 立一根木杆，借助太阳光线构成 的两个相似三角形来测量金字塔 的高度.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 9:39:57 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/262021/8/262021/8/26Aug-2126-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/262021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021
∴ __E_F__=___F_D __
∴ BO=__O ___FA __E D __F ___2___03__12___134
因此，金字塔的高为134米.
五、高度问题 合作学习
1、如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔 AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20m，镜子与小华 的距离ED=2m时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A. 已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5m，求：铁塔AB 的高度。
四、例题讲解
冀教版-数学-九年级上册-25.6相似三角形的应用 课件
性质是求线段长度的常用方法.
下课了
再见
B
小明此时测的院内另一棵小树高为1.5米，其影长 为1.2米，测得大树地面上的影长为6.4米，留在 墙上部分的影长为1.4米.那么这棵大树高约有多 少米呢？
A
C 1.4m B 6.4m D
A
C
1.4m
B
6.4m
D
A
A
C
G
1.4m
B
6.4m
D
C
1.4m
B
6.4m
D
A
A
C
G
1.4m
B
6.4m
D
C
只
A
现在测得CD=c1.6米，DE=2米，BE=9米。
┐
┐
D
E
B
小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小块
积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面
的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离
是40米.求塔高AB?
A
D
EC
1.4m
B
6.4m
D
小明此时测的院内另一棵小树高为1.5米，其影长 为1.2米，测得大树地面上的影长为6.4米，留在 墙上部分的影长为1.4米.那么这棵大树高约有多 少米呢？
A
C 1.4m B 6.4m D
小结
1. 实际问题 数学问题
数学问题的解
检验
2. 数学思想方法: 化归思想 3.通过构造三角形，利用相似三角形的
即AB=2CD
怎样利用相似三 角形的有关知识测 量旗杆的高度?
太阳光线可以看成是平行光线。
A
C
E
D
F
B
A
A
下课了
再见
B
小明此时测的院内另一棵小树高为1.5米，其影长 为1.2米，测得大树地面上的影长为6.4米，留在 墙上部分的影长为1.4米.那么这棵大树高约有多 少米呢？
A
C 1.4m B 6.4m D
A
C
1.4m
B
6.4m
D
A
A
C
G
1.4m
B
6.4m
D
C
1.4m
B
6.4m
D
A
A
C
G
1.4m
B
6.4m
D
C
只
A
现在测得CD=c1.6米，DE=2米，BE=9米。
┐
┐
D
E
B
小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小块
积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面
的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离
是40米.求塔高AB?
A
D
EC
1.4m
B
6.4m
D
小明此时测的院内另一棵小树高为1.5米，其影长 为1.2米，测得大树地面上的影长为6.4米，留在 墙上部分的影长为1.4米.那么这棵大树高约有多 少米呢？
A
C 1.4m B 6.4m D
小结
1. 实际问题 数学问题
数学问题的解
检验
2. 数学思想方法: 化归思想 3.通过构造三角形，利用相似三角形的
即AB=2CD
怎样利用相似三 角形的有关知识测 量旗杆的高度?
太阳光线可以看成是平行光线。
A
C
E
D
F
B
A
A
冀教版九年级上册数学：256 相似三角形的应用(公开课课件)
OA/OB=OC/OD= 1/2
故城县郑口镇育才中学
姜红芳
探究： 测量旗杆的高度
如图所示,在学校操场上,高高耸立的旗杆 上悬挂着五星红旗.你一定想知道学校操场 上旗杆的高度,那么怎样测量和计算旗杆的 高呢?请你设计一个测量高度的方案,说明 理由.
用相似三角形可以求旗杆的高度,常用的方法有: 1.同一时刻物高、影长及太阳光构成直角三角形.
米，则铁塔 AB 的高度是___1_5__米．
3．如图是测量小玻璃口径的量具 ABC，AB 的长为 5 mm，AC 被分为 50 等份，如果小玻璃管口 DE 正好对着量具上 30 份处(DE∥AB)，那
么小玻璃管口径 DE 的长为 3 mm
4．如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2 m，B 时又测得该树的影
[归纳总结]
利用相似三角形进行测量的一般步骤:
(1)利用平行线、标杆等构成相似三角形;
(2)测量与表示未知量的线段相对应的线段 的长,以及另外任意一组对应边的长度; (3)画出示意图,利用相似三角形的性质,列出 以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出 未知量; (4)检验并得出答案.
小试牛刀
据史料记载,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾利用相似 三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光 线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.
长为 8 m．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_______4_m.
5．如图，一油桶高 1 m，桶内有油，一根木棒长 1.2 m，从桶盖的 小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒 上浸油部分长为 0.48 m，求桶内油面的高度．
∵CD∥BE，∴△ACD∽△ABE， ∴AACB＝AADE，∴1.2－1.20.48＝1－1 h′， ∴h′＝0.4 m
故城县郑口镇育才中学
姜红芳
探究： 测量旗杆的高度
如图所示,在学校操场上,高高耸立的旗杆 上悬挂着五星红旗.你一定想知道学校操场 上旗杆的高度,那么怎样测量和计算旗杆的 高呢?请你设计一个测量高度的方案,说明 理由.
用相似三角形可以求旗杆的高度,常用的方法有: 1.同一时刻物高、影长及太阳光构成直角三角形.
米，则铁塔 AB 的高度是___1_5__米．
3．如图是测量小玻璃口径的量具 ABC，AB 的长为 5 mm，AC 被分为 50 等份，如果小玻璃管口 DE 正好对着量具上 30 份处(DE∥AB)，那
么小玻璃管口径 DE 的长为 3 mm
4．如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2 m，B 时又测得该树的影
[归纳总结]
利用相似三角形进行测量的一般步骤:
(1)利用平行线、标杆等构成相似三角形;
(2)测量与表示未知量的线段相对应的线段 的长,以及另外任意一组对应边的长度; (3)画出示意图,利用相似三角形的性质,列出 以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出 未知量; (4)检验并得出答案.
小试牛刀
据史料记载,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾利用相似 三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光 线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.
长为 8 m．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_______4_m.
5．如图，一油桶高 1 m，桶内有油，一根木棒长 1.2 m，从桶盖的 小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒 上浸油部分长为 0.48 m，求桶内油面的高度．
∵CD∥BE，∴△ACD∽△ABE， ∴AACB＝AADE，∴1.2－1.20.48＝1－1 h′， ∴h′＝0.4 m
冀教版初中数学九年级上 相似三角形 课件 PPT
求证： ∆ADE∽∆ABC
A
证明： 过点E作EF//AB交BC于F点。
∵ DE//BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
D B
E
AD AE AB AC
又∵ EF//AB
F
C
∴ DE=BF，BF AE BC AC
∴
DE AE BC AC
∴ AD AE DE
AB AC BC
又∵∠A=∠A
∴ ∆ADE∽∆ABC
定理： 平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线） 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A
D B
E CB
E A
D
B
C
D
A
C E
DE//BC ∆ADE∽∆ABC
例2 如图，D为∆ABC的边AB上的一点，过点D作DE//AC， 交BC于E。已知BE：EC=2：1，AC=6cm,求DE的长
C E
相似三角形
知识回顾
A’
A
B’
C’
B
C
∆A’B’C’≌∆ABC
“≌”中的“=”表示大小相等，“∽”表示形状相似
观察与思考 相似
A'
75
3c
3b
A
75
2c
2b
60
45
60
45
B
2a
C
B'
3a
C'
.∠A´=∠A, ∠B´=∠B, ∠C´=∠C;
A 'B ' B 'C ' A 'C ' 3 AB BC AC 2
对应角相等，对应边成比例的两个三角形， 叫做相似三角形
A'
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80 120
H
K
∴HG∥BC
G
AK HG
解得，x=48 ∴正方形的边长为48mm.
AD BC
相似三角形的对应高
B
设正方形的边长为x
E D F C 则HG=x,AK=80-x
的比等于相似比
探究二：(拓展）三角形的内接矩形（4个顶点均在三角形的边上）
P BN
A Q
D MC
如图，△ABC是一块材料的余料，已知 BC=12cm,高AD=9cm.把它加工成矩形零件 如图，要使矩形的一边在BC上，其余两 个顶点分别在AB,AC上，且矩形的长与宽 的比为3:2，求这个矩形零件的边长.
A
B
C
D
E
若小明测得BC=40米， BD=10米，DE=50米，
你能求出河宽吗？
我们先转化为一个数学问题： 已知：如图，在Rt△ADE中，∠D=90°,点B在AD上，BC∥DE交AE 于点C,BC=40米，BD=10米，DE=50米.求AB.
A
解：∵BC∥DE
∴△ABC∽△ADE
BC AB DE AD
(1)如图，垂直于地面放置的正方形框架ABCD， 边长AB为30cm,在其正上方有一灯泡，在灯泡的 照射下，正方形框架的横向影子A'B,D'C的长度
A N D 和为6cm,则灯泡离地面的高度为1_8__0_c_m_.
A' B M C D'
(2)不改变灯泡的位置，将两个边长为30cm的正方形框架按
如图所示摆放，此时横向影子A'B,D'C的长度和为_1_2_c_m__.
B
C
即 40 AB
50 AB10
D
E
解得，AB=40
你有不同的 做法吗？来 吧，展示！
测量哪些 线段长度 可求出河 宽AB？
8型
换个方法：在河的对岸（北岸）找一个参照点A，在河的 南岸找一个参照点C,从C点沿正西方向走到点B处，使点B 恰好在点A的正南方向；从点C沿正东方向走到点D,然后 从点D向正南方向走到点E,使点E、C、A在同一条直线上.
B
E D F C 结合图形和已知，你想到解题思路了吗？
已知：如图，在△ABC中，BC=120mm,高AD=80mm.在△ABC内裁 一个正方形EFGH,使正方形的两个顶点E，F在BC上，另两个顶
点H,G分别在AB,AC上，求正方形EFGH的边长。
A
解：设HG与AD交于点K
80 x x
∵四边形EFGH是正方形
BC=120mm,高AD=80mm.要用这块余料裁出
一个正方形材料，怎样裁正方形的边长
最大？并求出最大边长.
B
D
C
如图，使正方形的两个顶点E，F在BC上，另两个顶点H,G 分别在AB,AC上，此时的正方形EFGH是最大的.
A
思考：已知中的正方形给我们提供什么信息？
①相等的边
H
G
②直角
③平行
A型ห้องสมุดไป่ตู้似
构造合适 的相似三
角形
A型
我们来看看小明的做法：在河的对岸（北岸）找一个参 照点A，在河的南岸找一个参照点C,从C点沿正西方向走 到点B处，使点B恰好在点A的正南方向；再从点B沿正南 方向走到点D,然后从点D向正东方向走到点E,使点E、C、 A在同一条直线上.测量BC,DE,BD,的长度即可求出河宽AB.
A
解：∵∠B=∠D=90°,∠ACB=∠ECD
BC D E
∴△ABC∽△EDC
BC AB CD DE
即30 AB 15 20
解得，AB=40
当BC与DC具备 什么关系时，
会更简便？
BC=DC时， 两个三角形全等，DE=AB.
探究一：(拓展）测量小河两岸任意两点间的距离 A
原来的A型和8 型还可以用吗？
A
A
BC
D
E
BC D E
如图，在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台， 小明从点C沿正西方向走到点B,使点B恰好位于点A的正南方 向上，然后向南走到点E，再从点E向东走到点D，使得D,C,A
三点恰在一条直线上，量得EF=100m,BE=40m,DC=50m.求古塔 与观景台之间的距离AC.
测量BC,CD,DE的长度，可求出河宽AB.
A
BC D
若测得BC=30米， CD=15米，DE=20米，
你能求出河宽吗？
E
转化为一个数学问题：已知：如图，在△ABC中和△EDC中，
∠B=∠D=90°,点B,C,D在同一条直线上，点A,C,E在同一条直线上，
BC=30米，CD=15米，DE=20米.求AB.
冀教版九上
第二十五章 图形的相似
25.6 相似三角形的应用 第二课时
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
小明和妈妈散步来到小河的南岸
妈妈：这条小河会有
多宽呢？可惜咱们不能 到河的对岸量一量.
小明：我可以用刚学
的相似三角形的知识 测出来.
探究一：测量小河的宽度
要求： 1.选择合适的工具； 2.画出示意图，说出方案.
A
分析：由勾股定理，求出DF=30m
4B0
C50
E 100 F D
①由△ABC∽△AED,得 ②或由△CDF∽△ADE,得
AC 100 AC 50 100 30
50 30 AC 50 100 30
解得，AC 500 m 3
探究二：在三角形内截取一个最大的三角形
A
如图，△ABC是一块铁板余料，已知
A ND A' B M C D'
(3)有n个边长为a的正方形按如图所示摆放，测得横向影子
a2n ab
A'B,D'C的长度和为b，则灯泡离地面的距离为____b__.
A A' B
N
D
M
C D'
一、测量不可直接到达的两点之间的距离 多用A型和8型
二、三角形的内接矩形 相似三角形的对应高的比等于相似比
思考：
一样
P BN
A EQ D MC
分析：仍用△APQ∽△ABC后“相似三
角形的对应高的比等于相似比”
得 AE PQ AD BC
设矩形的长为3x,宽为2x
则9 2x 3x 9 12
解得，x 36 17
矩形的长 3 36 108，宽 2 36 72
17 17
17 17
小明和几位同学做手的影子的游戏时，发现对于同一物体，影子 的大小与光源到物体的距离有关.因此他们认为，可以借助物体 的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以下尝试.
C
测量小河两岸A 任意两点间(如AC)的距离时，A型A和8型仍可用
B
C
D
E
BC,DE,CE
BC
D
E
BC,CD,CE
测量无法直接到达的两点之间的距离时（如小河的宽度）
1.构造相似三角形；（A型和8型是比较常用的）
2.利用相似三角形的对应边成比例求出线段的长度.（将 不能直接测量的线段长转化为可直接测量的线段的长）