微分中值定理与导数的应用ppt课件
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最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
则 (a, b)，使 f ( ) M .
由费马引理, f ( ) 0 .
7
注意： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结
论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
aO
bx a O c
bx a O
bx
f(x)不满足条件(1) f(x)不满足条件(2) f(x)不满足条件(3)
8
例1 f ( x) sin x ，
在 [0, ] 上连续,(0, ) 内可导,
且 f (0) f ( ) 0 ,
验证 f ( x) cos x ，f ( ) 0， (0, ) .
2
2
9
例2 不求导数，判断函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导 数有几个零点，以及其所在范围。
由于f ( x)在x0达到最大值，所以只要x0 x在(a, b)内, 就有f ( x0 x) f ( x0 ), 即 f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
从而 f ( x0 x) f ( x0 ) 0,当x 0时;
x
f ( x0 x) f ( x0 ) 0,当x 0时;
证明 在(a, b)内任取两点 x1 , x2 ( x1 x2 ), 在 [x1, x2 ] 上对 f ( x) 使用拉格朗日定理,
则 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 ) f ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ) 0， 即 f ( x2 ) f ( x1 ) .
如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a, b]上 连续，(2)在开区间(a, b)内可导，(3) f(a)f(b)，则至少
存在一点(a, b)，使得f () 0。
几何解释:
如果连续光滑的曲线 yf(x) 在端点 A、B 处的 纵坐标相等。那么，在 曲线弧上至少有一点
C( , f())，曲线在 C点
ba
几何意义：
y
C1
y=f(x) B
在 曲 线 弧AB 上
至 少 有 一 点C , 在
C2
该点处的切线平
A
行 于 弦 AB.
O a
hbx
11
证明 作辅助函数
F(x) f (x) f (b) f (a) (x a)， ba
容易验证,F(x) 满足罗尔定理的条件,
于是 a,b ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
12
例3 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,
f ( x) 1 ， x
f (e) f (1) 1 ，
e1
e1
解 f(1)f(2)f(3)0，f(x)在[1, 2]，[2, 3]上满足罗尔 定理的三个条件。
在 (1, 2) 内至少存在一点 1，使 f (1)0，1是 f (x)
的一个零点。
在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是f (x)
的一个零点。 f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间
第四章
微分中值定理与 导数的应用
1
第一节 微分中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。
1. 预备定理——费马(Fermat)定理
若函数 f ( x)在 (a, b)内一点x0取得最值， 且f ( x)在点x0可导，则 f ( x0 ) 0.
特别地,
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1).
或 y f ( x0 x) x (0 1).
增量y的精确表达式.
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
14
推论1 如果在 (a, b) 内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x) 在 (a,b) 内为一常数.
费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共 同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。
2
3
y
几何解释:
曲线在最高点和最低点
显然有水平切线，其斜
率 续
滑 为0动，时当，切就线必沿然曲经线过连o
位于 水平 位置 的那 一点.
y f (x)
1
2
x
4
证明: 只就f ( x)在x0达到最大值证明。
e 1 (1,e)，
使 f ( ) f (e) f (1) .
e1
13
拉格朗日中值公式另外的表达方式：
f (b) f (a) f ( )(b a)，介于a和b之间 或 f (b) f (a) f [a (b a)](b a) ,0 1 ,
(1, 2)及(2, 3)内。
10
将罗尔定理条件中去掉 f (a) f (b), 得到
3. 拉格朗日(Lagrange)中值定理
如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a, b]上连续，(2)在
开区间(a, b)内可导，则至少存在一点(a, b)内，使得
f ( ) f (b) f (a) .
的切线平行于 x 轴。
y
C
yf(x)
A
B
Oa
bx
6
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0.
(2) 若 M m. f (a) f (b),
x
这样
f
( x0
0)
源自文库
lim
x0
f ( x0 x) f ( x0 ) 0 x
f
(
x0
0)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) 0.
而f ( x)在 点x0可 导 ，所 以f ( x0 ) 0 .
5
2. 罗尔(Rolle)定理
则 (a, b)，使 f ( ) M .
由费马引理, f ( ) 0 .
7
注意： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结
论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
aO
bx a O c
bx a O
bx
f(x)不满足条件(1) f(x)不满足条件(2) f(x)不满足条件(3)
8
例1 f ( x) sin x ，
在 [0, ] 上连续,(0, ) 内可导,
且 f (0) f ( ) 0 ,
验证 f ( x) cos x ，f ( ) 0， (0, ) .
2
2
9
例2 不求导数，判断函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导 数有几个零点，以及其所在范围。
由于f ( x)在x0达到最大值，所以只要x0 x在(a, b)内, 就有f ( x0 x) f ( x0 ), 即 f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
从而 f ( x0 x) f ( x0 ) 0,当x 0时;
x
f ( x0 x) f ( x0 ) 0,当x 0时;
证明 在(a, b)内任取两点 x1 , x2 ( x1 x2 ), 在 [x1, x2 ] 上对 f ( x) 使用拉格朗日定理,
则 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 ) f ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ) 0， 即 f ( x2 ) f ( x1 ) .
如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a, b]上 连续，(2)在开区间(a, b)内可导，(3) f(a)f(b)，则至少
存在一点(a, b)，使得f () 0。
几何解释:
如果连续光滑的曲线 yf(x) 在端点 A、B 处的 纵坐标相等。那么，在 曲线弧上至少有一点
C( , f())，曲线在 C点
ba
几何意义：
y
C1
y=f(x) B
在 曲 线 弧AB 上
至 少 有 一 点C , 在
C2
该点处的切线平
A
行 于 弦 AB.
O a
hbx
11
证明 作辅助函数
F(x) f (x) f (b) f (a) (x a)， ba
容易验证,F(x) 满足罗尔定理的条件,
于是 a,b ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
12
例3 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,
f ( x) 1 ， x
f (e) f (1) 1 ，
e1
e1
解 f(1)f(2)f(3)0，f(x)在[1, 2]，[2, 3]上满足罗尔 定理的三个条件。
在 (1, 2) 内至少存在一点 1，使 f (1)0，1是 f (x)
的一个零点。
在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是f (x)
的一个零点。 f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间
第四章
微分中值定理与 导数的应用
1
第一节 微分中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。
1. 预备定理——费马(Fermat)定理
若函数 f ( x)在 (a, b)内一点x0取得最值， 且f ( x)在点x0可导，则 f ( x0 ) 0.
特别地,
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1).
或 y f ( x0 x) x (0 1).
增量y的精确表达式.
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
14
推论1 如果在 (a, b) 内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x) 在 (a,b) 内为一常数.
费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共 同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。
2
3
y
几何解释:
曲线在最高点和最低点
显然有水平切线，其斜
率 续
滑 为0动，时当，切就线必沿然曲经线过连o
位于 水平 位置 的那 一点.
y f (x)
1
2
x
4
证明: 只就f ( x)在x0达到最大值证明。
e 1 (1,e)，
使 f ( ) f (e) f (1) .
e1
13
拉格朗日中值公式另外的表达方式：
f (b) f (a) f ( )(b a)，介于a和b之间 或 f (b) f (a) f [a (b a)](b a) ,0 1 ,
(1, 2)及(2, 3)内。
10
将罗尔定理条件中去掉 f (a) f (b), 得到
3. 拉格朗日(Lagrange)中值定理
如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a, b]上连续，(2)在
开区间(a, b)内可导，则至少存在一点(a, b)内，使得
f ( ) f (b) f (a) .
的切线平行于 x 轴。
y
C
yf(x)
A
B
Oa
bx
6
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0.
(2) 若 M m. f (a) f (b),
x
这样
f
( x0
0)
源自文库
lim
x0
f ( x0 x) f ( x0 ) 0 x
f
(
x0
0)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) 0.
而f ( x)在 点x0可 导 ，所 以f ( x0 ) 0 .
5
2. 罗尔(Rolle)定理