微分近似计算、中值定理

当 x 很小时,
y
x x0
dy
x x0
f ( x0 ) x
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
当x很小时,x0 0
f ( x ) f (0) f (0) x
B
A
C2

o a
1
2
b
x
y
y f ( x)
B
C2
C1


x
o a
A
1
2 b
定理1（Lagrange）若函数f ( x )满足 （） 1 在闭区间 a , b 上连续， （） 2 在开区间 (a , b ) 上可导, 则在 (a , b )内至少有一点ξ，使得 f (b ) f (a ) f ( ξ ) ba
1 f (0) 0, f ( x ) , 由上式得 ln(1 x ) x , 1 x 1 1 1 又0 x 1 1 1 x 1, 1 x 1 x x x x, 即 ln(1 x ) x . 1 x 1 1 x
补例4
解
计算 1.05
1.05 1+0.05
比1小得多
由（ 1 x） 1 x,有：
1 1.05 1 0.05 1 0.05 2 1.025
利用计算器 1.05 1.024695
补例5 计算下列各数的近似值.
(1) 3 998.5;
解 (1)
补例1半径10厘米的金属圆片加热后 , 半径伸长了
0.05厘米,问面积增大了多少 ?
解 设A r 2 , r 10厘米, r 0.05厘米.
2 ( 厘米 ). 2 10 0 . 05 A dA 2r r
补例2 在一直径为10cm的金属球表面上镀铜，
水平切线
注（1）: 若罗尔定理的三个条件中有一个 不满足，其结论可能不成立
y x , x [2, 2] 没有水平切线
条件(2)不满足 x 0 不可导，
y x , x [0,1] 没有水平切线
f (0) f (1) ，条件(3)不满足
y sin x , x [ , ] 有水平切线
定理1（Lagrange）若函数f ( x )满足 （） 1 在闭区间 a , b 上连续， （） 2 在开区间 (a , b ) 上可导, 则在 (a , b )内至少有一点ξ，使得 f ( ξ ) f (b ) f (a ) ba
或 f(b) f(a) f ( )(b a)
第四节 导数的应用
拉格朗日中值定理
一、 中值定理
罗尔定理
y
C1

y ຫໍສະໝຸດ Baidu f ( x)
B
A
C2

o a
1
2
b
x
一、 中值定理
定理2（Rolle）若函数f ( x )满足 （） 1 在闭区间 a , b 上连续， （） 2 在开区间 (a , b) 可导, （） 3 f ( a ) f ( b ), 则在 (a , b)内至少有一点ξ，使得 f ( ξ ) 0
cos x esin x d sin x sin xesin x dx
cos2 xesin x dx e sin x sin xdx
(cos2 x sin x)esin x dx
练习
设 y e
1 x x2
1 x x2
, 求dy.
解 dy e
d(1 x x2 )
( t )dt dx,
dy f ( x)dx.
dy f ( x )dx
结论： 无论 x是自变量还是中间变量 , 函数
y f ( x )的微分形式总是
微分形式的不变性
d (uv ) vdu udv
例5
y esin x cos x, 求dy.
sin x sin x e d cos x cos x dy de 解：
当x 1时，等式成立 .
设 f ( x) arcsin x arccosx, x (1,1)
证
f ( x )
1 1 x
2
(
1 1 x
2
) 0.
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数
第三节 函数的微分 复习：
4.微分的定义
y A x (x) 函数是可微的
dy A x
函数的微分
自变量的微分
可导 可微，且 A f ( x )
dx x
dy f ( x)dx
dy f ( x) dx
或 f(b) f(a) f ( )(b a)
拉格朗日中值公式
f (b) f (a ) f ( ξ ) ba
几何意义:连续光滑的曲线段一定存在平行于弦的切线．
物理意义:变速直线运动的物体，至少某一时刻的瞬时
速度s ( ) v( ) 等于某时间段的平均速度
s (b) s (a ) . ba
设 f ( x)在 (a, b)内可导 , x0 , x0 x (a, b), 则有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x (0 1).
也可写成 y f ( x0 x ) x (0 1). 有限增量公式
铜的厚度为0.005cm，问约需用铜多少克？ （铜的比重为8.9克/cm3) 4 3 2 解 半径为R的球的体积 V R , 从而 V 4 R . 3 2 所以铜的体积为： V dV V R 4 R R
将 R 5, R 0.005代入，得 V 4 3.14 5 0.005 1.57
3
(1)
998.5 3 1000 1.5
3
Δx ( f ( x ) x )
1 3
1 1 1000 ( 1.5) 3 2 3 1000 1 10 0.015 3
9.995.
(2) e
0.03
1 0.03 0.97.
ex 1 x
★ 近似计算的基本公式
f ( x) C, x (1,1)
例2
x 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x
定理1（Lagrange）若函数f ( x )满足 （） 1 在闭区间 a , b 上连续， （） 2 在开区间 (a , b ) 上可导, 则在 (a , b )内至少有一点ξ，使得 f ( ξ ) f (b ) f (a ) ba
3
( 2) e 0.03 .
998.5 3 1000 1.5
(想利用（ 1 x） 1 x)
1 . 5 3 1000(1 ) 103 1 0.0015 1000 1 x 10(1 0.0015) 9.995 3
另解
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x .
医用高等数学
第二章
一元函数微分学
Differential Calculus of One Variable
数学教研室 徐清华
第二节 导数的运算 复习：
1.复合函数求导法则 dy dy du 链式法则 dx du dx 2.隐函数求导法则 F ( x, y) 0 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 3.对数求导法
e
1 x x2
(1 2 x) dx
1 x x2
(2 x 1)e
dx
五、微分在近似计算中的作用 （一）计算函数增量的近似值
若y f ( x)在点x0处的导数f ( x0 ) 0, 且 x 很小时,
y
x x0
dy
x x0
f ( x0 ) x .
注（2）：罗尔定理中三个条件是充分而不必要的
因Rolle定理的结论是 : 在(a, b)内至少有方程f ( x ) 0 的一个根.故常用Rolle定理来讨论方程的根的范围.
例如， f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 5)( x 6)
y
C1

y f ( x)
条件(2)不满足 x 0 不可导，
定理2（Rolle）若函数f ( x )满足 （） 1 在闭区间 a , b 上连续， （） 2 在开区间 (a , b) 可导, （） 3 f ( a ) f ( b ),
只强调存在性
则在 (a , b)内至少有一点ξ，使得 f ( ξ ) 0
或 f(b) f(a) f ( )(b a)
例2
x 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x
证 设 f ( x ) ln(1 x ),
f ( x)在[0, x]上满足Lagrange定理的条件 ,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
推论1 如果函数f ( x )在(a, b)内可导，且 f ( x ) 0，则f ( x ) C .
推论2 如果函数f ( x ), g( x )在(a , b)内可导, 且f ( x ) g( x ), 则有 f ( x ) g( x ) C(C 为常数).
例1
证明 arcsin x arccos x ( 1 x 1). 2
令 x0 0, x x .
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x ,
f ( x ) f (0) f (0) x .
常用近似公式 ( x 很小时)
(P44)
(1) e 1 x;
x
(2) ln(1 x ) x.
o 计算 sin31 的近似值. 补例3
解 利用 sin( x0 x) sin x0 cos x0 x
x0 30


6
180 o sin 31 sin cos 0.5151 6 6 180
, x 1


0.01745,
2.求f ( x )在点x 0附近的近似值;
2
于是镀球需用的铜约为 1.57 8.9 13.973 （克）
（二）计算函数的近似值
1.求f ( x )在点x x0附近的近似值;
y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x . f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x . ( x 很小时)
第三节 函数的微分
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d (u v ) du dv d (uv ) vdu udv
d (Cu) Cdu
u vdu udv d( ) 2 v v
三、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T N P
o( x )
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
(3) sin x x ( x为弧度); (4) tan x x ( x为弧度);
(5) （1 x） 1 x;
证明 (5) 设 f ( x ) （ 1 x） , f ( x) (1 x) 1 ,
f (0) 1, f (0) .
f ( x ) f (0) f (0) x 1 x .
o
y f ( x)
）
M
）
x

dy y
R

x0
x0 x
x
当 x 很小时, 在点M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
四、复合函数的微分(微分形式的不变性)
设函数 y f ( x )有导数 f ( x ),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量 t 的可 微函数 x (t ), 则 dy f ( x )( t )dt