北师大版勾股定理
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
北师大版八年级数学上册知识点归纳：第一章勾股定理
北师版八年级数学第1章 勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDC B A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DC B A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A。
北师大版八年级数学勾股定理
北师大版八年级数学勾股定理一、背景介绍在北师大版的八年级数学教材中，勾股定理是一个重要的知识点。
勾股定理是几何学中的基础理论，也是历史上最早的、被人们广泛接受的定理之一。
在中国，勾股定理又被称为“商高定理”，因为它最早出现在商代，由商高提出。
而在西方，勾股定理则通常被称为“毕达哥拉斯定理”，因为毕达哥拉斯学派在公元前6世纪首次明确证明了这一定理。
二、知识概述勾股定理的内容是：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
用数学公式表示就是c² = a² + b²，其中 c 是斜边，a 和 b 是两条直角边。
三、深入分析1.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法有很多种，其中最著名的可能是毕达哥拉斯的证明方法。
毕达哥拉斯学派发现，如果将一个直角三角形的三条边分别看作三个正方形的边长，那么斜边和其中一条直角边构成的正方形面积等于另外两条直角边构成的两个正方形面积的和。
因此，正方形面积之和等于斜边平方。
1.勾股定理的应用：勾股定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
例如，在解决平面几何问题时，可以通过勾股定理来计算点之间的距离；在物理学中，勾股定理可以用来解决与重力、弹力等相关的问题；在工程学中，勾股定理则被用来进行测量和计算等。
四、案例研究假设我们有一个直角三角形，已知其中两条直角边的长度分别为3和4，我们要求出斜边的长度。
根据勾股定理，我们可以先计算出斜边的平方：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，因此，斜边的长度为5。
五、结论总结北师大版八年级数学的勾股定理是一个非常重要的知识点，它不仅揭示了直角三角形中斜边与直角边的关系，也为很多实际问题提供了解决方案。
通过对勾股定理的学习和研究，我们可以更好地理解和应用这个重要的数学定理，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
北师大版八年级数学上册《勾股定理》课件(共18张PPT)
知识要点
1．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么__________ . 2．勾股定理各种表达式： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对 边也分别为a，b，c，则c=_________， b=_________，a=_________.
知识要点
3．勾股定理的逆定理： 在△ABC中，若a、b、c三边满足___________， 则△ABC为___________. 4．勾股数： 满足________的三个________，称为勾股数. 5．几何体上的最短路程是将立体图形的 ________展开，转化为_________上的路程问 题，再利用___________两点之间， ___________,解决最短线路问题.
2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各
组条件，判定△ABC的形状．
（1）a 4 1 ， b 4 0 ， c 9 （2）a m 2 n 2 ， b m 2 n 2 ， c 2 m （ n m n 0 ）
合作探究
探究四：勾股定理及逆定理的综合应用
B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北 偏东60o方向以每小时8 n mile的速度前进， 乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙 船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙 船是沿哪个方向航行的吗？
第一章 勾股定理
回顾与思考
情境引入
勾股定理，我们把它称为世界第一定理． 首先，勾股定理是数形结合的最典型的代 表； 其次，正是由于勾股定理得发现，导致无 理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一 点，我们将在《实数》一章里讲到； 第三，勾股定理中的公式是第一个不定方 程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完 整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是 费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将 它证明．
1.勾股定理的验证课件北师大版数学八年级上册
即(8-x)2=(10-6)2+x2，
解得，x=3. 所以，CD的长为3cm.
A
E
C
D
B
综合建模
勾股定理在实际问题中的应用
将实际问题抽象为数学模型，画出对应的几何图形，
正确运用勾股定理求解.
勾股定理在折叠问题中的应用
原图形和折叠后得到的图形之间，对应角和对应线
段相等，根据这一性质综合运用勾股定理进行相关问题
∵0.82=0.64，1.19＞0.64，
∴能放进蕴藏室.
当堂检测
6．折叠长方形ABCD 的一边AD，使点D 落在BC 边的F 点处，
若AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长.
解：在Rt△ABF中，
BF2=AF2-AB2=102-82=36，
∴BF=6cm，
A
D
设EC=xcm，
在Rt△ECF中，
A
3m
B
4m
C
学以致用
例3 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，
BC＝8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它恰好落在
斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
解：在直角三角形ABC中，
AB2=AC2+BC2=62+82=100，
所以AB=10（cm）.
设CD=xcm，
在直角三角形BDE中，
能.因为两种方法得到的正方形面积相等，即b2+a2=c2.
合作交流
如图是美国总统伽菲尔德于1876 年给出的一种验证勾股定理
的办法，你能利用它验证勾股定理吗？
右侧图形有两种表示方法：
2
ab
北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 勾股定理的应用
AB=2×6=12(千米),
AC=1×5=5(千米).
在Rt△ABC 中,
所以BC =13(千米)
即甲乙两人相距13千米.
BC2=AC2+AB2 =52+122=169=132
解：连接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，所以BD=5cm.又因为CD=12cm，BC=13cm,所以BC2=CD2+BD2，所以△BDC是直角三角形.所以S四边形ABCD=SRt△BCD-SRt△ABD=BD•CD-AB•AD = ×(5×12-3×4)=24 (cm2)．
解：因为AB=DC=8m，AD=BC=6m， 所以AB2+BC2=82+62=64+36=100. 又因为AC2=92=81， 所以AB2+BC2≠AC2，∠ABC≠90°， 所以该农民挖的不合格．
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
C
B
A
D
例 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC=12 cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面积.
解:因为S△ACD=30 cm2，DC=12 cm. 所以AC=5 cm. 又因为AB2+BC2=32+42=52=AC2, 所以△ABC是直角三角形, ∠B是直角. 所以
A
北师大版八年级数学上册《1.1.1勾股定理》教学课件(共19张PPT)
例1 高为2.5 m的木梯，架在高为2.4 m的墙上(如图)，
这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，
所以BC=0.7.
即梯脚与墙的距离是0.7 m.
C
B
例2 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三 角形的另一边长.
正方形C的面积应该怎么计算呢？
C A
B
图①
➢ 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC=12×2×3×4+1×1=13；
➢ 把C“补”成边长为5的正方形 SC=5×5-12×2×3×4=13.
观察：
C A
B
图①
正方形A中含有__4__个小正方形，即A的 面积是___4__. 正方形B中含有__9__个小正方形，即B的 面积是___9__. 正方形C中含有_1_3__个小正方形，即C的 面积是__1_3__.
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.经历探索勾股定理的过程，了解勾股定理的探 究方法；
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简 单问题.
新知引入
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，你 知道它的第三边长吗？
实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这个问题. 勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理.
观察：
A＇
C＇
B＇
图②
正方形A＇中含有__1_6_个小正方形，即 A＇的面积是__1_6__.
正方形B＇中含有__9__个小正方形，即 B＇的面积是__9___.
正方形C＇中含有__2_5_个小正方形，即 C＇的面积是__2_5__.
北师大版八年级上册数学第3讲《勾股定理复习》知识点梳理
北师大版八年级上册数学第3讲《勾股定理复习》知识点梳理【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系： 若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若时，△ABC 是锐角三角形； 若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a b c 、、a b c <<2a b c =+2729【思路点拨】根据题意正确表示出AD 2的值是解题关键.【答案与解析】解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x ，则CD=14﹣x ，由勾股定理得：AD 2=AB 2﹣BD 2=152﹣x 2，AD 2=AC 2﹣CD 2=132﹣（14﹣x ）2，故152﹣x 2=132﹣（14﹣x ）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S △ABC =BC •AD=×14×12=84．【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而解.举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得．∴ ．同理．∴ ．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．22222151281BD AB AD =-=-=9BD =22222131225CD AC AD =-=-=5CD=②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ 在Rt △CDM 中，，∴ ．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：.2222AM BM CM +=()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+222CD DM CM +=2222AM BM CM +=22AB AD BD CD -=⋅【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：……①在Rt △ADM 中：……②由①－②得： ＝ （MC ＋DM ）•BD ＝CD ·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2014秋•黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【答案与解析】解：∵△BEF 是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2=42+22=20，EF 2=DE 2+DF 2=22+12=5，BF 2=BC 2+CF 2=42+32=25，∴BE 2+EF 2=BF 2，∴∠BEF=90°，222AB AM BM =+222AD AM DM =+22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+-即△BEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2.4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ． (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论． (2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【答案与解析】 解：(1)猜想：AP=CQ 证明：在△ABP与△CBQ中， ∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60° ∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ ∴△ABP≌△CBQ∴ AP=CQ (2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a 连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60° ∴△PBQ为正三角形∴ PQ=4a 于是在△PQC中，∵∴△PQC是直角三角形【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP≌△CBQ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，．5、如果ΔABC 的三边分别为，且满足，判断ΔABC 的形状.【答案与解析】解：由，得 ： ∴ ∵ ∴ ∵ , ∴ . 由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?22212513+=222AD BD AB +=22281,9DC AC AD DC =-==a b c 、、222506810a b c a b c +++=++222506810a b c a b c +++=++2226981610250a a b b c c -++-++-+=222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，，3,4, 5.a b c ===222345+=222a b c +=【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得．在图③中，由勾股定理，得．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】（2014秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？222311130AB =+=22268100AB =+=cm cm【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．。
1.1探索勾股定理课件 北师大版数学八年级上册
即BC 2 =30 2 + 402，
所以 BC=50
Rt △ CDE中，由勾股定理得： CE2 =CD2 + DE2
即CE 2 =50 2 + 1202，
所以 CE=130
所以 BE=BC+CE=180 KM
180 x 100=18000 万元
即：该沿江高速的造价估计是18000 万元
探索新知
(1) 如图，在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系， 那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系 呢？
A
（2）你能发现直角三 角形三边长度之间存 在什么关系吗？与同 伴进行交流。
B
图1-3
C A
B
图1-4
A a
Bb c
C
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间 的关系
a2+b2=c2
你能验证你的猜想吗？
动手画一画
分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直 角三角形，并测量斜边的长度。以上猜想对 这个三角形仍然成立吗？
返回
C A
（2）在图1-2中，正方形A，B，C 中各含有多少个小方格？它们的面 积各是多少？
B C
图1-1
A
（3）你能发现图1-1、图1-2中三 个正方形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？
B
图1-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
B
图1-3
C A
B
图1-4
分割成若干个直角边为 整数的三角形
（2）图1-3、图1-4
中三个正方形A，B， C的面积之间有什
A
2024年北师大版八年级上册第一章 勾股定理勾股定理的应用
课时目标1.能正确运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题,进一步发展应用意识.2.能熟练运用勾股定理求最短距离.3.通过问题情境的设立,帮助学生体会数学来源于生活,又应用于生活,积累利用勾股定理的知识解决生活中实际问题的经验和方法.学习重点利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题.学习难点把立体图形转化成平面图形,在实际问题中构造直角三角形并解决问题.课时活动设计回顾引入1.勾股定理的内容是什么?2.勾股定理逆定理的内容是什么?3.我们学过哪些关于“最短”的知识?设计意图:教师通过回顾已学的相关知识,引出本节课所学内容.探究新知问题情境:蚂蚁和食物分别在圆柱体上相对的顶点处,求蚂蚁怎样走最近.问题1:如图,蚂蚁从圆柱下底面边缘的点A沿圆柱的侧面爬到上底面的边缘B处,(1)如何爬路径最短?(2)若已知圆柱的高为12 cm,底面周长为18 cm,求最短路径.师生合作探究:(1)自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢?(2)如图所示,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗?(3)蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?解:圆柱的侧面展开是一个长方形,点B位于长方形长的中点位置.根据两点之间线段最短,线段AB就是从点A到点B的最短路线.在Rt△ABC中,△C是直角,BC=18÷2=9(cm),AC=12 cm,根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=122+92=225(cm2).所以AB=15 cm.所以,蚂蚁爬行的最短路程是15 cm.小结:立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间线段最短确定最短路线.问题2:如图,点A和点B分别是棱长为10 cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,如何爬路径最短?教师分析:正方体有几个面组成?正方体怎么展开?至少需要展开几个面?解:如图所示,沿着线段AB爬行的距离最短.问题3:如图,蚂蚁从长、宽、高分别为4 cm、2 cm和1 cm的长方体的顶点A 沿表面爬到顶点B处,如何爬路径最短?你能求出这个最短路径吗?教师分析:长方体有几个面组成?长方体怎么展开?至少需要展开几个面?解:因为平面展开图不唯一,故分情况分别计算,进行比较,再从各个路线中确定最短的路线.△展开前面和上面,由勾股定理,得A B12=42+(1+2)2=25;△展开前面和右面,由勾股定理,得A B22=12+(4+2)2=37;△展开左面和上面,由勾股定理,得A B32=22+(1+4)2=29.因为37>29>25,所以AB1最短,最短路径AB1为5 cm.学生自主完成教材第13页做一做,教师进行点评.设计意图:本环节在圆柱体的基础上依次增加难度,先是变为正方体,再变为长方体,引导学生由浅入深,由圆柱体侧面展开一个面上的最短距离.到正方体再到长方体展开两个面才能找到最短距离;引导学生理解长方体有六种展开方式的原因(源于长,宽,高的组合),通过勾股定理计算比较得出最短距离.本环节很好地渗透了分类讨论思想.典例精讲例如图是一个滑梯示意图,若将滑道AC水平放置,则刚好与AB一样长,已知滑梯的高度CE=3 m, CD=1 m,试求滑道AC的长.解:设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m, AE的长度为(x-1) m.在Rt△ACE中,△AEC= 90°,由勾股定理,得AE2+CE2=AC2,即(x-1)2+32=x2,解得x=5.故滑道AC的长度为5 m.设计意图:通过例题讲解,及时巩固所学.巩固训练cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要1.如图,一圆柱高8 cm,底面半径为6π爬行的最短路程是10 cm.2.如图所示,一只蚂蚁在长方体(长10 cm,宽5 cm,高20 cm)的底面上的点A处,蚂蚁想吃到与点A相对的点C'处的食物,需要爬行的最短路程是多少?解:△展开前面和右面,得到长方形ACC'A',如图1.在长方形ACC'A'中, AC=15 cm, CC'=20 cm,则AC'2= AC2+CC'2=152+202=625;△展开前面和上面,得到长方形ABC'D',如图2.在长方形ABC'D'中, AB=10 cm, BC'=25 cm,则AC'2=AB2+BC'2=102+252=725;△展开左面和上面,得到长方形AB'C'D,如图3.在长方形AB'C'D中,AB'=30 cm,B'C'=5 cm,则AC'2=AB'2+B'C'2=302+52=925;因为925>725>625 ,所以最短AC'=25 cm,所以蚂蚁需要爬行的最短路程是25 cm.图1图2图3设计意图:进一步巩固本节课所学内容,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间.课堂小结1.本节课我们学到了哪些内容?2.如何解决最短路径问题?我们应注意什么?设计意图:以提问的形式让学生复述本节课所学知识,加强学生对知识的理解和掌握,培养分析问题,解决问题的能力.课堂8分钟.1.教材第14页随堂练习,习题1.4第1,2,3,4题.2.七彩作业.1.3勾股定理的应用1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.2.勾股定理的应用(1)最短路径问题:把立体图形转化为平面图形,构造出直角三角形,利用勾股定理来解决最短路径问题.(2)利用勾股定理逆定理来判断实际问题中是否垂直.教学反思。
北师大版八年级上第一章勾股定理(附习题和答案)
第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBAC A B ED 练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只CABDS 3S 2S 1C B A 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62+，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
北师大版八年级数学上册 (探索勾股定理)勾股定理教育教学课件
“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
C
4
B
3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
常用数据： 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361
15 cm 17 cm
64.cm²
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
a2 b2 c2
三、得出结论：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
a2 b2 c2
B
几何语言：
c
a
∵在Rt △ABC,∠C=90°
C
b
A
∴a2+b2=c2
说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；勾股定理是刻画 直角三角形三边平方的关系.
趣味小常识
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ，
较长的直角边称为 股 ，
在中国古代，
斜边称为 弦 .
人们把弯曲成直角
的手臂的上半部分 勾
弦
称为“勾”，下半
部分称为“股”.
（在西方称为毕达
股
勾2 + 股2 = 弦2
哥拉斯定理）
a2 b2 c2
四、探究活动
观察图片，分别求出正方形A，B，C的面积。
2. 思考：任意一个的直角三角形都满足你 所猜测的规律吗？用网格纸中画的直角三角 形尝试证明一下吧？
语言表述： 几何表示：
勾股定理 P3
A c
b
C
a
B
赵爽弦图
2002年国际数学家大会会标
1. 从这个会标中你能证明你的猜想吗？如何证明？ 你的思路是什么？ 2. 给四个完全一样的直角三角线，你能否把它们 拼成正方形？能同样推导出勾股定理吗？
第一章 勾股定理 思维图解+综合实践(课件)北师大版数学八年级上册
课标领航·核心素养学段目标
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单
的实际问题.
第一章 勾股定理
本章内容要点
1 个关键概念：勾股数
2 个重要定理：勾股定理，勾股定理的逆定理
1 个重要证明：勾股定理的证明
2 种重要应用：求几何体表面上的最短路线长，判定直
角三角形
4 个核心素养：抽象能力，运算能力，推理能力，模型
观念
第一章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方.如果用 a，b
和c 分别表示直角三角形的两
直角边和斜边，那么 a2+b2=c2
勾
股
定
理
勾
股
定
理
已知两边求第三边
基本
应用 已知一边和另两边的关系，求第三边
已知一边和一特殊角，求第三边
第一章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
方位角问题
勾
股
定
理
实
际
应
用
最短路线问题
折叠问题
其他问题
第一章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
勾
股
定
理
勾
股
定
理
的
逆
定
理
a，b，c满足
内容 如果三角形的三边长
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
实质
勾股数
应用
由“数”到“形”
满足 a2+b2=c2 的三个正整数称为
勾股数，每组勾股数的正整数倍
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更进一步：
3.如右图，图中所有的三角形 都是直角三角形，所有的四边 形都是正方形，问A+B+C+D的 面积。
答案：49平方厘米
13
摩拳擦掌：
4.在直角三角形ABC中，AB=3,AC=4,那么以BC为边的正方 形的面积是多少？
分析：分情况讨论
解：情况一：当BC为斜边时
情况一：当BC为斜边时； 由勾股定理可知：AB2 AC 2 BC 2 情况二：当BC为直角边时 所以有BC 2 32 42 9 16 25
a2 b2 c2
b
c
∟
a
8
我国古代把直角三角形中较短的直 角边称为 勾，较长的直角边称为股，斜边 称为弦，“勾股定理”因此而得名. （在西 方称为毕达哥拉斯定理）
弦 勾
股
9
四、简单应用 小试牛刀：
1.求出下列直角三角形中未知边的长度.
A
8
∟
C
6B
答案：AB=10
A
13 5
∟
C
B
答案：BC=12
情况二：当BC为直角边时
由勾股定理可知：AB2 BC 2 AC 2
所以有BC 2 AC 2 AB2 16 9 7
总结：主要考查勾股定理的运用，以及分类讨论的数学思想
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跃跃欲试：
5.若直角三角形的两条直角边分别为3和4，问斜边上 的高是多少？
答案：斜边上的高为2.4
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大显身手：
7.如图所示，矩形ABCD沿AE折叠，使 A 点D落在BC边上点F处，若CD =6,FC=2, 求DE的值.
10
答案：DE=
3
B
D E FC
总结：此题与折叠问题结合，同时应用方程的思想
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五、课堂总结 ：
这堂课你学会了那些知识？学会了那些 数学思想？
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六、家庭作业
作业： 1.除了上课老师讲的一种证明勾股 定理的方法，请你尝试找到另外一 种证明勾股定理的方法； 2.课堂精炼相对应的练习题； 3.复习这节课的知识，预习下节内 容。
§1.1.1探索勾股定理
1
一、情境导入
《周髀算经》中国最古老的天文学和
数学著作，曾记载记录着商高和周公的
一段对话。
我早就听说您是擅长数 学的人，请问古代伏羲测量天文
制定历法，可没有登天的台阶，又
不能测量大地的尺寸，这数据是
怎么来的呢？
2
数是根据圆形和方形的 数学道理计算得来的。圆来自 方，而方来自直角三角形，直角三角 形是根据乘法九九表算出来的。如果 将一线段折成三段围成直角三角形， 一直角边（勾）为三，另外一直角 边（股）为四，则斜边（弦）
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就是五。
3
勾股定理是关于什么图形 的定理？
答：关于直角三角形三边的关系
4
二、探索发现：如何推导勾股定理？
• 求这个梯形的面积 方法一：
A
b
c
S梯形
1 2
a
ba
b
1 a2 2ab b2
B
2
c
a
1 a2 b2 ab 2
∟
D aE
b
C
5
方法二：
b
cC
A
∟
a
c B
b
∟
S梯形 S A SB SC
a
1 ab 1 ab 1 c2
222
ab 1 c2 2
所以： 1 a2 b2 ab 1 c2 ab
2
2
1 a2 b2 1 c2
2
2
a2 b2 c2
6
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
7
三、得出结论：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方.如果用 a，b和c 分别表 示直角三角形的两直角边和斜边，那 么
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实际问题
例一：如图，从电线杆离地面8m处向地面拉
一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离 电线杆底部6m,那么需要多长的钢索？AB NhomakorabeaC
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再接再厉：
2.分别以直角三角形三边为边长的 正方形的面积如下图，问另外一个正 方形的面积.
∟
62A5 400
225
81 ∟ 1B44
225
规律：以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积 和等于以斜边长的正方形面积。