浅谈Cantor集

【标题】浅谈Cantor集【作者】刘勇【关键词】Cantor集??函数??测度【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】

1引言

集合论自19世纪80年代由Cantor创立以来，现在已经发展成为一个独立的数学分支，它的基本思想与基本方法已渗透到各个数学分支，成为近代数学的基础.Cantor集，又称为三分集，是一个构思非常巧妙的特殊的点集.Cantor集是Cantor在解三角级数的时候构造出来的.学习和掌握Cantor集具有的重要特征，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.

2基本理论

2.1定义

Cantor集的两种定义

1.?区间定义cantor集合

将闭区间?三等分，去掉中间的开区间；再将余下的两个闭区间?和?分别三等分，去掉中间的两个开区间?和?；再将余下的四个闭区间分别三等分，去掉中间的开区间，这种过程无限次地做下去，?中余下的点所组成的集合，称为康托集，记为??(见图2.1)? ?????????? 0??????????????????????????????????????????????????????????

?????????????? 1 ?????????????????????????????????????图 2.1

显然?.?因为每次去掉的开区间的端点都属于?，去掉的所有开区间所组成的集合记为?，则?为开集.?通常称为康托余集.?[[]1]

2.映射定义cantor集

先定义映射?，?：?使得对于任何?有

?和?.容易验证映射?和?都是同胚，因此任何开集?的?象?和?的象?都是开集.

现在按归纳原则定义一系列开集，?如下：令?；对于任何?，定义?.事实上，?是两个开区间?和?之并，?是四个开区间?，?，?，?之并，…令?，它是可数个开集之并，当然是一个开集，容易验证，?.集合?称为cantor集，或称为标准cantor三分集.它是一个闭集.

由康托集的定义可知下列事实成立.?

??从??中第?次去掉??个长度为??的开区间后，余下的每个闭区间的长度仍是??.?

??无论去掉开区间的过程进行多少次，?的点必属于每次留下来的某个闭区间.?

??从??中每次去掉开区间后，开区间的端点都属于?.?

2.2性质

Cantor集的主要性质[[]2]

性质1??非空.

在?的构造过程中,被挖去的开区间的端点及0、1都不会被除去而留

在?内.

性质2??的基数为?.

已知(0,1)和?进位无限小数全体是一一对应的，考虑三进位小数表示法，由?的作法，每次都是把区间三等分，然后去掉中间的开区间.所以去掉的点，即?中的点在用三进位小数表示时，必出现1这个数字，令?为三进位无限小数中不出现数字1的全体，即

?

则?且?.故?，但?显然与二进位无限小数全体可建立一一对应，只要令?即可.故?.而?，由伯恩斯坦定理，?.

性质3??是闭集.

因??为可数个互不相交的开区间的并集，故?为开集，而?为闭集. 性质4??是完备集.

被挖去的开集?没有相邻接的构成区间，故?没有孤立点.

性质5??是疏朗集.

在?的构造过程中，“挖去”手续进行到第?次后，剩下的是?个长度为?的小闭区间，对于以?中某点?为中心的无论怎样小的开区间??，当?充分大时总有? ?，因此这个小区间不可能包含在?中.

性质6??是可测集且测度为零.

第?次挖去的开区间记为?，共有?个，每个小区间的测度?，这?个互不相交的开区间的并集的测度?是?的构成区间，从

?.因此?.

性质7??上的任何函数均是可测函数.

零测度集上的任何函数都是可测函数.

性质8??上的任何函数Lebesgue可积.

零测度集上的任何函数Lebesgue可积，且积分值为零.

3具体举例

为了推广区间长度的概念，对一般点集建立一种能反映集合的“容量”、与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念，又必须保留长度概念的一些最基本的性质，也就是集合的“测度”，测度理论是建立新型积分理论的基础.

例1 设在[[]0,1]中作点集：??={?|在?的十进位小数表示中只出现9个数码}，试问??的测度与基

数是多少？[[]3]

解?不妨设?在的十进位制小数中不出现数字“2”(约定采用0.2=0.1999…,0.62=0.61999…等表示)，于是按照Cantor集的方法作一开集?，?.其中，?是将[[]0,1]分成十等分所得的第三个开区间，显然?中任一小数点后第一位数字是“2”；将[[]0,1]十等分并去掉?后所余下的9个区间分别再十等分，各自的第三个开区间之并记为?，?中任一数，其小数点后第二位数字是“2”…，将余下的?个区间每个进行十等分，取各自的第三开区间，它们的并记为?，则?中任一数，其小数点后第?位数字是“2”；…

令?，由?的作法知，?中任一数，其小数点后任一数字都不是“2”，且?与Cantor集的构造完全类似，由性质2及性质6有

(1)??的基数是?；

(2)??可测，且?，事实上?.

例2 试作一闭集?，使Ｆ中不含任何开区间，且?.

解?仿照Cantor集的作法步骤完成?的构作，

第一步：在[[]0,1]的中央挖去长为?的开区间?；

第二步：在余下的两个闭区间?和?中分别挖去中央处的长为?的开区间，它们的并是?.

……

第?步：在余下的?个闭区间中，分别挖去其中央处长为?的开区间，记这?个互不相交的开区间之并为?.

……

令?，则?为开集，且??=?与Cantor集具有类似的性质；从而?为可测集，且

?.

故?

再看看Cantor集的结构公式.

????第一步：在实直线Ｒ上将单位闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间?剩下两个分离的区间?，??，记

?

?

第?步：设已得到?上的点集?为?个闭区间的分离并，其长均为?，记? 第?步：对?，把闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间，将剩下的两个闭区间记作?与?得到?个长度为?的不交闭区间，有