浅谈Cantor集

【标题】<B style='color:black;background-color:#ffff66'>浅谈</B>Cantor集【作者】刘勇【关键词】Cantor集??函数??测度【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】
1引言
集合论自19世纪80年代由Cantor创立以来，现在已经发展成为一个独立的数学分支，它的基本思想与基本方法已渗透到各个数学分支，成为近代数学的基础.Cantor集，又称为三分集，是一个构思非常巧妙的特殊的点集.Cantor集是Cantor在解三角级数的时候构造出来的.学习和掌握Cantor集具有的重要特征，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.
2基本理论
2.1定义
Cantor集的两种定义
1.?区间定义cantor集合
将闭区间?三等分，去掉中间的开区间；再将余下的两个闭区间?和?分别三等分，去掉中间的两个开区间?和?；再将余下的四个闭区间分别三等分，去掉中间的开区间，这种过程无限次地做下去，?中余下的点所组成的集合，称为康托集，记为??(见图2.1)? ?????????? 0??????????????????????????????????????????????????????????
?????????????? 1 ?????????????????????????????????????图 2.1
显然?.?因为每次去掉的开区间的端点都属于?，去掉的所有开区间所组成的集合记为?，则?为开集.?通常称为康托余集.?[[]1]
2.映射定义cantor集
先定义映射?，?：?使得对于任何?有
?和?.容易验证映射?和?都是同胚，因此任何开集?的?象?和?的象?都是开集.
现在按归纳原则定义一系列开集，?如下：令?；对于任何?，定义?.事实上，?是两个开区间?和?之并，?是四个开区间?，?，?，?之并，…令?，它是可数个开集之并，当然是一个开集，容易验证，?.集合?称为cantor集，或称为标准cantor三分集.它是一个闭集.
由康托集的定义可知下列事实成立.?
??从??中第?次去掉??个长度为??的开区间后，余下的每个闭区间的长度仍是??.?
??无论去掉开区间的过程进行多少次，?的点必属于每次留下来的某个闭区间.?
??从??中每次去掉开区间后，开区间的端点都属于?.?
2.2性质
Cantor集的主要性质[[]2]
性质1??非空.
在?的构造过程中,被挖去的开区间的端点及0、1都不会被除去而留
在?内.
性质2??的基数为?.
已知(0,1)和?进位无限小数全体是一一对应的，考虑三进位小数表示法，由?的作法，每次都是把区间三等分，然后去掉中间的开区间.所以去掉的点，即?中的点在用三进位小数表示时，必出现1这个数字，令?为三进位无限小数中不出现数字1的全体，即
?
则?且?.故?，但?显然与二进位无限小数全体可建立一一对应，只要令?即可.故?.而?，由伯恩斯坦定理，?.
性质3??是闭集.
因??为可数个互不相交的开区间的并集，故?为开集，而?为闭集. 性质4??是完备集.
被挖去的开集?没有相邻接的构成区间，故?没有孤立点.
性质5??是疏朗集.
在?的构造过程中，“挖去”手续进行到第?次后，剩下的是?个长度为?的小闭区间，对于以?中某点?为中心的无论怎样小的开区间??，当?充分大时总有? ?，因此这个小区间不可能包含在?中.
性质6??是可测集且测度为零.
第?次挖去的开区间记为?，共有?个，每个小区间的测度?，这?个互不相交的开区间的并集的测度?是?的构成区间，从
?.因此?.
性质7??上的任何函数均是可测函数.
零测度集上的任何函数都是可测函数.
性质8??上的任何函数Lebesgue可积.
零测度集上的任何函数Lebesgue可积，且积分值为零.
3具体举例
为了推广区间长度的概念，对一般点集建立一种能反映集合的“容量”、与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念，又必须保留长度概念的一些最基本的性质，也就是集合的“测度”，测度理论是建立新型积分理论的基础.
例1 设在[[]0,1]中作点集：??={?|在?的十进位小数表示中只出现9个数码}，试问??的测度与基
数是多少？[[]3]
解?不妨设?在的十进位制小数中不出现数字“2”(约定采用0.2=0.1999…,0.62=0.61999…等表示)，于是按照Cantor集的方法作一开集?，?.其中，?是将[[]0,1]分成十等分所得的第三个开区间，显然?中任一小数点后第一位数字是“2”；将[[]0,1]十等分并去掉?后所余下的9个区间分别再十等分，各自的第三个开区间之并记为?，?中任一数，其小数点后第二位数字是“2”…，将余下的?个区间每个进行十等分，取各自的第三开区间，它们的并记为?，则?中任一数，其小数点后第?位数字是“2”；…
令?，由?的作法知，?中任一数，其小数点后任一数字都不是“2”，且?与Cantor集的构造完全类似，由性质2及性质6有
(1)??的基数是?；
(2)??可测，且?，事实上?.
例2 试作一闭集?，使Ｆ中不含任何开区间，且?.
解?仿照Cantor集的作法步骤完成?的构作，
第一步：在[[]0,1]的中央挖去长为?的开区间?；
第二步：在余下的两个闭区间?和?中分别挖去中央处的长为?的开区间，它们的并是?.
……
第?步：在余下的?个闭区间中，分别挖去其中央处长为?的开区间，记这?个互不相交的开区间之并为?.
……
令?，则?为开集，且??=?与Cantor集具有类似的性质；从而?为可测集，且
?.
故?
再看看Cantor集的结构公式.
????第一步：在实直线Ｒ上将单位闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间?剩下两个分离的区间?，??，记
?
?
第?步：设已得到?上的点集?为?个闭区间的分离并，其长均为?，记? 第?步：对?，把闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间，将剩下的两个闭区间记作?与?得到?个长度为?的不交闭区间，有
?
在形成Cantor集的过程中，对?，?其中，???????????????????????????????????（*）
这里?取值0或1，使?；可以这样理解，将?化为2进位制数，??，则取?即可
?及（*）式就是Cantor集合的结构式.[[]4]
4 Cantor集性质的应用
实变函数论的中心问题是建立一种新型的积分理论，从而扩大函数的可积性范围，诸如Dirichlet函数?之类的点点不连续的函数也能求出其积分值，而我们建立新积分的思路就是从研究集合的测度,到定义在可测集上函数的可测性，最终讨论可测函数的可积性问题，Cantor函数起着积极的作用.下面给出几个应用实例：
实例1 存在连续函数，将疏朗集映成区间.[[]5]
Cantor函数?即为一例，它将疏朗集?映成区间[[]0,1].下面说明?=[[]0,1]?.
只需说明?在?所取的值，?在?上也均能取到即可.而由?的定义这是明显的，因为每个余区间的右端点都属于?，而?在此点的取值等于?在该余区间上的值.所以??.
实例2 存在连续函数，它把零测集映成正测度集，把正测集映成零测度集.[[]6]
当?是区间?上的绝对连续函数时（?定义在?上,若?，使得对于任意两两不交的开区间族?，只要满足?，就有?，则称?是绝对连续的)，它
将零测度集仍然映射成零测度集.但是，如果?连续而非绝对连续，则它可将零测度集映成正测度集.
例如Cantor函数?是[[]0,1]上的连续增函数，由它的构造知，它将零测度集?映成测度为1的区间[[]0,1]；将?映成零测集，即将测度为1的集映成零测度集.
实例3??(1)?可测集在连续映射下的像未必可测.[[]7]
绝对连续函数将可测集映成可测集，然而，即使是严格单调的函数也不能保证可测集的像仍为可测集,当然可测函数更不能保证可测集的像仍为可测集.
反例?设?为[[]0,1]上的Cantor函数，令?，则?：[[]0,1]→[[]0,1]为严格递增的连续函数，使?，其中?为Cantor集，取?为不可测集，则?可测，使?不可测.[[]8]
(2)?可测集在连续映射下的原象未必可测.连续映射能保证Borel集的原像仍为Borel集，但不能保证可测集的原像仍为可测集，当然可测函数更不能保证可测集的原像为可测集.[[]9]
反例?上例中的?为[[]0,1]上的同胚映射，易知其反函数?于[[]0,1]上连续且递增.但此连续映射?使可测集?的原像?不可测.
(3)?连续函数与可测函数的复合函数未必可测.若?为?上的可测函数，??为?上的连续函数，则复合函数?仍为可测函数，但??未必是可测函数，从而两个可测函数的复合函数也未必是可测函数.
记?，则?连续且严格递增，并使?不可测，?可测；令?为?的特征函数，则?可测；记?，则由?不可测知，?为不可测函数.
实例4?（1）存在导数几乎处处为零的递增的连续函数.[[]10]
例如[[]0,1]上的Cantor函数?，它连续且单调不减，?，?，它在?的每个余区间上为常数,所以在[[]0,1]上几乎处处有?.(更强有,存在导数几乎处处为0的严格递增的连续函数)?.
（2）存在递增函数?，使得?.由实变函数中的知识，如果?为?上的递增函数，则?在?上可积且?，不等号可能成立，例如Cantor函数?，?几乎处处为0，?.
5结束语
Cantor29岁（1874）时在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇论文，提出了“无穷集合”这个数学概念，引起了数学界的极大关注，他引进了无穷点集的一些概念，如：基数，势，序数等，试图把不同的无穷离散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分，他还构造了实变函数论中著名的“Cantor集”，“Cantor序列”.
本文通过对cantor集性质，定义，定理及其基本概念的阐述，结合诸多具体实例，说明了cantor集在数学领域，在实际生活中的广泛应用.
Cantor函数是一类性质很好的函数，它的特有性质在上述实例中得以体现，决定了Cantor函数巧妙应用的广泛性. Cantor集合作为一个构思非常巧妙的特殊的点集，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.
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