第二章重心和截面的几何性质

第二节 截面的几何性质
二. 静矩的定义
z dA ：微面积对y轴的静矩
y dA ：微面积对z轴的静矩
S z y dA
A
S y z dA
A
S z、S y
：分别表示截面对z轴和y轴的静矩(面积矩）。
其值可正、可负、可为零 单位为 mm3 或 m3
第二节 截面的几何性质
一. 形心 形心：图形的几何中心。
h/ 2
2 y dA A
取微段dA=b dy
3 h/ 2
y I z y 2 b dy b 3 h / 2
b/2 2
h / 2
bh3 12
熟记
z I y z h dz h 3 b / 2
3 b/2
b / 2
hb 12
3
第二节 截面的几何性质
i 1 i 1
n
形心位置：
yc
A y
i 1 i
n
i 1
***注意静矩的正负号
ci
A
i 1
n
Sz A
zc
A z
i 1 i
n
ci
i
A
i 1
n

Sy A
i
第二节 截面的几何性质
例：求图示组合图形的形心与静矩
sz sz1 sz 2
sz1 300 30 15 sz 2 270 50 (135 30)
S z 135000 2227500 2362500mm3
Sz yc 105mm A
第二节 截面的几何性质
四、惯性矩和极惯性矩
１. 惯 性 矩
y 2 dA ——微元对Z轴的惯性矩
I z y 2 dA 图形对z轴的惯性矩
A
I y z 2 dA 图形对y轴的惯性矩
i i
yc
Gy
i
i
G
zc
Gz G
i i
第二节 截面的几何性质
在建筑力学以及建筑结构的计算中，经常 要用到与截面有关的一些几何量。例如轴向拉 压的横截面面积A、圆轴扭转时的抗扭截面系数 WP和极惯性矩 IP 等都与构件的强度和刚度有关。 以后在弯曲等其他问题的计算中，还将遇到平 面图形的另外一些如形心、静矩、惯性矩、抗 弯截面系数等几何量。这些与平面图形形状及 尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。
钢管
也可视为简单图形
上述截面形式常见于钢结构、混凝土结构等
第二节 截面的几何性质
组合截面的静矩：总静矩为各简单截面的静矩代数和。
S z ydA
A
A1 A2
ydA ydA ydA
A1 A2
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
n n
S z1 S z 2
z
S z S zi Ai yci yc Ai
h
2、求形心 y 轴坐标
yc
Sx

h
第二节 截面的几何性质
讨论
b/2,h/2
对称图形的形心必在对称轴上 简单图形：形心已知的图形
简单图形的静矩直接用其面积与形心坐标的乘积计算
第二节 截面的几何性质
组合截面（图形）的静矩和形心 由几个简单截面组合而成的截面—— 组合截面
工字钢
槽钢
角钢 T形钢梁 箱形梁
第三节 平行移轴公式
已知T型组合截面，尺寸如图所示，试求截面形心C点的位置，以及对形心轴的 惯性矩。
解：3、求组合图形对zo轴的惯性矩
I z 0 I z 01 I z 02 371.5 107 (mm4 )
z01 z02
I z 01
I z 02
1 600 1203 (460 323) 2 120 600 12
钢结构中钢构件的常见截面形式
工字钢梁
钢结构中钢构件的常见截面形式
槽钢
钢结构中钢构件的常见截面形式
角钢
常见截面形式
T形吊车梁
钢结构中钢构件的常见截面形式
箱形吊车梁
第二章 重心和截面的几何性质
第一节 重心
一、 重心的概念
地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力 称为物体的重力。可将物体看作是由许多微小部分组成， 每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于 地球中心。但是，由于一般物体的尺寸远比地球的半径 小得多，因此，这些引力近似地看成是空间平行力系。 这些平行力系的合力就是物体的重力。由实验可知，不 论物体在空间的方位如何，物体重力的作用线始终是通 过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为 物体的重心。
A
**是对某一根坐标轴而言
量纲：m4、mm4
I>0
第二节 截面的几何性质
2. 极惯 性 矩
2 dA
A
微面积对原点的极惯性矩 图形对原点的极惯性矩
I P 2 dA
2 y2 z2
IP Iz I y
第二节 截面的几何性质
3. 常见截面的惯性矩
① 矩形截面
求矩形对形心轴y、z的惯性矩 解： I z
1 200 4003 (323 200) 2 200 400 12
回顾
1、静 矩：
S z y dA A yc
2、形心位置：
yc
i 1
Ai y ci
i 1
A n
S y z dA A z c
Ai
n
Sz A
zc
i 1
Ai z ci
i 1
A n
Ai
n

Sy A
3、惯 性 矩：
I z y 2 dA
I y z 2 dA
A
A
Baidu Nhomakorabea
4、极惯性矩：
I P 2 dA I z I y
A
5、平行移轴定理：
I z1 I z a 2 A
I y1 I y b2 A
600 120 460 400 200 200 600 120 400 200
323mm
2、求组合图形对y0轴的惯性矩
I y 0 I y 01 I y 02 243 107 (mm4 )
1 I y 01 120 6003 12 1 I y 02 400 2003 12
第一节 重心
二、一般物体重心的坐标公式
为确定物体重心的位置，将它分割成 n个微小 块，各微小块重力分别为 Gl、G2、……Gn， 其作用点的坐标分别为 (X1、Y1，、 z1)、(X2、 Y2、z2)…(Xn，Yn、Zn)，各微小块所受重力 的合力W即为整个物体所受的重力G ＝ΣGi， 其作用点的坐标为 C(xc，yc、zc)。对y轴应用 合力矩定理，有：
zc
zdA
A
A
yc

A
ydA A
第二节 截面的几何性质
三. 形心与静距的关系
SZ yc A
zc
讨论：
Sy A
——计算形心坐标的公式
1、若Sz=0
yc=0 该轴通过形心 则静矩为零
2、若轴通过形心(形心轴）
3、已知静矩可求形心；已知形心和面积也可求静矩
第二节 截面的几何性质
例：求图示矩形的形心位置
计算公式
I z1 I z a 2 A
I y1 I y b A
2
平行移轴公式
2. 公式运用
工字钢
槽钢
角钢
T形钢梁
组合截面的惯性矩
第三节 平行移轴公式
已知T型组合截面，尺寸如图所示，试求截面形心C点的位置，以及对形心轴的 惯性矩。 解：1、求形心轴
yc

A1 yc1 A2 yc 2 A1 A2
1、求静矩
S z y dA
A
h 0
y y bdy b 2
2 h
S y z dA
A
b
0
z x hdz h 2
0 2 b
bh2 2
0
hb 2
2
b/2,h/2
2、求形心
A bh
形心：
h 2b S h yc z 2 A bh 2
I P 2 dA 取微薄圆环 dA=2 d
A
I P 2 2 d 2
A

D 4 2
4

D 4
32
0
I P D 4 Iz I y 2 64
＊＊＊熟记
圆环形截面
d IP (1 ) D 32
4
D4
d D
第三节 平行移轴公式
zc
Sy A

b 2
第二节 截面的几何性质
例：求图示三角形对x轴的静矩与其形心的y轴坐标。 解：1、求静矩
Y
b（y） =b×(h-y)/h
微面积大小：dA=b(y)×dy 微面积静矩：dSz=b(y)×dy×y
dy h
y
O b
X
y 静矩： dS z b(1 ) ydy A 0 h 2 y b ( y )dy h 2 2 h h y bh b ydy b dy 0 0 h 6
②圆形截面
解： 微面积：
dA d d
y sin
dA
d
I z y 2 dA
A
d



2
0

D 2 0
2 sin 2 dd
D 4
64
Iz I y
D4
64
＊＊＊熟记
第二节 截面的几何性质
4.常见截面的极惯性矩 圆形截面
解：
xc
xdG G x
G
i i
G
G
第一节 重心
同理，对y轴取矩可得：
yc

G
ydG
将物体连同坐标转90o而使坐标面oxz成为水
平面，再对x轴应用合力矩定理，可得：
G
Gy
i
i
G
zc
zdG G z
G
i i
G
G
因此，一般物体的重心坐标的公式为：
xc
Gx G
１.公式推导
I z y 2 dA
A
I z1 y dA ( y a) dA
2 1
2
y 2 dA 2a ydA a 2 dA
A
A
Iz 0 a A
2
A
A
A
I z1 I z a A
2
注意：z、y为形心轴
第三节 平行移轴公式