河海大学弹性力学徐芝纶版 第五章

f 1 ( )0 ( f1 f 3 ), x 2h 2 f 1 ( 2 )0 2 ( f1 f 3 2 f 0 ). x h
(b)
式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出 高阶导数公式。
第五章 用差分法和变分法解平面问题 抛物线差分公式
应用泰勒级数导出差分公式，可得出
第一节 第二节
差分公式的推导 应力函数的差分解
第三节
第四节 第五节 第六节
应力函数差分解的实例
弹性体的形变势能和外力势能 位移变分方程 位移变分法
源自文库第七节 例题
位移变分法例题
第五章 用差分法和变分法解平面问题
近似解法
§5-1 差分公式的推导
弹性力学的基本解法是，根据静力平衡 条件，形变与位移之间的几何条件和形变与 应力之间的物理条件，建立微分方程和边界 条件。 因此，弹性力学问题属于微分方程的 边值问题。通过求解，得出函数表示的精 确解答。
例1 稳定温度场中的温度场函数T(x，y) 应满足下列方程和边界条件：
T 0, （在 A 中）, (a)
2
Ts Tb,
（在 S1 上）,
(b)
T 上）. ( ) s qb（在 , S2 n
(c)
第五章 用差分法和变分法解平面问题
稳定温度场的基本方程 (a) 是拉普拉
斯方程；在 S1 上的第一类边界条件是已
x3 x0 h, 结点3，
f h2 2 f f1 f o h( )o ( )o ; 2 x 2 x
f h2 2 f f 3 f 0 h( )0 ( ) 0。 2 x 2 x
第五章 用差分法和变分法解平面问题 抛物线差分公式
从上两式解出o点的导数公式，
4T0 (T1 T2 T3 T4 ) 0;
(d)
（2）若x边界516上为第一类边界条件，则
T 1 已知。
（3）若y边界627上为第二类边界条件，已
知 (q y ) 2，则
T ( ) 2 ( q y ) 2 , y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
由于 ( T ) 2 T
于是，求解微分方程的问题化为求解差分 方程的问题。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
导数差分公式
导数差分公式的导出： 在平面弹性体上划分等间距h 的两组 网格，分别∥x ，y 轴。网格交点称为结 点，h称为步长。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
应用泰勒级数公式 将 f ( x)在 xo点展开，
f 1 2 f f ( x) f ( xo ) ( ) o ( x xo ) ( 2 ) o ( x xo ) 2 o(x 3 ). x 2! x
(a)
第五章 用差分法和变分法解平面问题 抛物线差分公式
抛物线差分公式--略去式(a)中x3 以上项， 分别用于结点1，3， 结点1， x1 x0 h,
35 30 25
a
b
22
22
20
17
第五章 用差分法和变分法解平面问题
解
4Ta (3235 22Tb) 0, 4Tb (Ta 30 20 22) 0。
解出
（度）。 Ta 28.53, Tb 25.13
第五章 用差分法和变分法解平面问题
思考题
1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分
公式的区别。
2.应用抛物线差分公式 (5-2)，试导出 3阶
3 f 导数 的差分公式。 2 x y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
按 Φ求解
§5-2
应力函数的差分解
对于单连体，按应力函数 Φ 求解时， Φ 应满足:
(1) (2) Φ 0;
第五章 用差分法和变分法解平面问题
近似解法
对于工程实际问题，由于荷载和边界 较复杂，难以求出函数式的解答。为此， 人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要 有变分法，差分法和有限单元法。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
差分法
差分法是微分方程的一种数值解法。 它不是去求解函数 f ( x)，而是求函数在一 些结点上的值 f 1, f 2 。
统一的格式，避免任意性，并可估计其误
差量级，式(b)的误差为 o(x 3 ) 。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
线性差分公式
线性差分公式─在式(a)中仅取一，二项时， 误差量级为 对结点1， 得：
f f1 f 0 h( )0 , x
2 。 o( x )
f 1 ( )0 ( f 0 f3 ) , x h
y
10
T0 , 2h
所以得
2h( q y ) 2
T1 0 T0

.
(e)
这时，边界点2的 T2 是未知的，对2点 须列出式（d）的方程。此方程涉及到 T1 0 值，可将式（e）代入。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
例2
稳定温度场问题的 40 差分解。设图中的矩 形域为6m×4m ，取 32 网格间距为h=2m，布 置网格如图，各边界 点的已知温度值如图 24 所示，试求内结点a， b的稳定温度值。
知边界上的温度值；在 S 2 上的第二类边
界条件是已知热流密度值，其中 是导
热系数。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
现在我们将式(a)，(b)，(c)转化为差 分形式。应用图 5 － 1 网格，和抛物线差 分公式，
第五章 用差分法和变分法解平面问题
（1）将 ( 2T )0 0 化为差分公式，得
(c)
式(c)称为向前差分公式。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
f f 3 f 0 h( ) 0 , 对结点3， x
f 1 ( )0 ( f 0 f3 ), x h
得：
(d)
式(d)称为向后差分公式。 线性的向前或向后差分公式，主要 用于对时间导数的公式中。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
f
f ( x)
f1 f 2 f3
o
x1 x2 x3
x
第五章 用差分法和变分法解平面问题
差分法
差分法的内容是： 将微分用有限差分来代替，
d x x x2 x1 , d f f f 2 f 1; 将导数用有限差商来代替，
d f f f 2 f1 ; d x x x2 x1 将微分方程用差分方程（代数方程）代替，