浅谈如何提高数学解题能力

浅谈如何提高数学解题能力

陕西教育学院04数本陈勇

解题能力的高低是衡量数学能力强弱的重要标志，提高学生解题能力是数学教育的主要目标。“解题是数学的心脏”。解数学问题是学习数学的重要环节和基本途径。

对待一个数学命题，首先需要考虑的是：探索解决它的途径，给出它的严格证明或解法。或读懂前人已有的论证或解法中，常会受到某种启迪，也可能从中总结出值得借鉴的经验。但如果仅仅会读、会证或会解，很难达到深入理解，更谈不上灵活运用。数学是“思维的体操”，仅仅读懂、会证、会解，能力的培养也只能停留在初级阶段。

可见，读懂、会证、会解之后，还要继续深入思考并作许多方面的探索。弄清问题的来龙去脉，进而适当变换题目的形式，如寻求多种证法、解法，以广开思路，增强分析和理解能力，为灵活运用奠定基础，再广泛联想，从横向对比中挖掘出联系，甚至由此发现巧妙的解法……

我以为要提高数学解题能力，必须做到以下几个方面：

一、一题多解，广开思路，培养思维的发散性。

发散性思维是从某一点出发，不依常规，寻找变异进行放射性联想，从多方面寻求答案的思维。发散思维又叫求异思维，求异是创造的核心。

所谓一题多解就是同一个题目，因思考的角度不同，可得到多种不同的思路，广泛寻求不同的解法，有助于拓宽解题思路，发展思维能力。一题多解有利于培养学生综合运用数学知识的能力，一题多解能使我们广泛地、综合的应用基础知识，提高基本技能，更有效的发挥逻辑思维，提高全面分析问题的能力，找到最便捷的解题途径，又能增强学习数学的兴趣。

对于一个题目，寻求多种证法，即能广开思路，以收培养发散思维，又可帮助我们加深对问题的认识。因为不同的解法往往是从各自的侧面，相异的渠道反映出条件与结论间的联系。解法的繁简，实质上又是联系紧松、深浅的标志，而奇解、妙法则是发现某种新的联系的反映。因而寻求多种解法或证法是培养能力的重要方面。

例１、已知：如图，在⊙Ｏ直径AB延长线上取一点C作CD切⊙O于E，连接AE 并过点E作EF⊥AB于F。求证：AE平分∠DEF

分析：此题有四种证法

证法1：连接BE，由AB为直径得∠AEB＝90º

AB为⊙Ｏ直径＝>∠AEB＝90º

∠AED+∠AEB+∠BEC＝180º

＝>∠AED+∠BEC＝90º

∠A=∠BEC ＝>∠AED=∠AEF

EF⊥AB＝>∠AEF+∠A＝90º

证法2：连接OE

EF⊥AB＝>∠AEF+∠A＝90º

CD为⊙O切线

＝>∠AED+∠AEO＝90º＝>∠AED=∠AEF

OE为半径

OE=OA＝>∠AEO=∠A

证法3：延长EF交⊙O于M,连接AM,

EF⊥AB

＝>EF=FM

AB为⊙Ｏ直径＝>AM=AE＝>∠AEM=∠M

＝>∠AEM=∠AED

AF⊥ME ∠AED=∠M

证法4：过点A作⊙Ｏ切线AD交CE延长线于D

AF为⊙Ｏ切线

＝>AD=DE＝>∠AED=∠DAE

DE为⊙Ｏ切线

AD为⊙Ｏ切线＝>∠AEF＝∠AED ＝>AD⊥AB

AB为⊙Ｏ直径＝>AD∥EF＝>∠AEF＝∠AED

EF⊥AB

二、一题多变，应机思索，培养思维的灵活性。

对于一个数学题，解完后还应考虑能否能一题多变，一题多变是题目结构的变式，指变换题目的条件或结论，变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度不同方面揭示题目的实质。用这种方法考虑问题可随时根据变化了解情况，积极进行探索，迅速提出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；可以保留条件，改变结论；可以同时改变条件和结论；也可以将某项条件和结论对换。从一题多变中抓住问题的核心，揭示问题的根本原因，掌握问题的根本原因，是数学思维得到训练和发展。

例：如图，PA 切圆于A ，PA=PB ，线段BCD 是圆的割线，DP 交圆于E ，BE 交圆于F ，连接CF

证明：由切割线定理有PA 2=PE·PD BP=PA =〉BP 2=PE·PD

=〉PD PE =PD

PB

=〉△PE B ∽△PBD

∠BPD=∠BPD

=〉∠1=∠D

=〉∠1=∠F=〉BP ∥CF ∠D=∠F

可将此题作如下几种变化：

1、如果假设点A 、P 、B 在一条直线上，其他条件不变圆求证结论CF ∥BP 是否成立？

证明过程同上。

2、若把CF ∥BP 换成条件，把PA=PB 换成结论，所得题目是否成立？

证明：CF ∥BP=〉∠1=∠F

〉∠1=∠D

∠F=∠D =

〉△PE B ∽△PBD

∠2=∠2

=〉

PE

BP =PB

PD

=〉

BP 2=PE·PD

=〉PA 2=PE·PD

AP=PB

若能这样把题目演变，使题目由一道题变为一类题，他们的解法彼此具有紧密的联系，能起到举一反三、逐类旁通的作用，而这正是思维灵活性得到形成的体现。

三、多题一解、透表求里，培养思维的深刻性。

解数学题时，经常会遇到一些题目，表面上看互不相干，但实质上结构相同，因而他们可以用同一种方法解答，将这类题归类分析，可透表及里，从而自觉注意到从本质上看问题，以形成思维的深刻性。

例1、如图1：从C 点测旗杆AB 的仰角为30°，前进10米到点D ，从点D 测旗杆AB 的仰角为60°，求旗杆AB 的长。

例2、如图2，圆形暗礁群半径为4.8海里，在礁群中心有一灯塔A ，某船在点C 处测得灯塔在北偏东30处，前进10海里到D 处，测得灯塔在北偏东30°处，问船继续向东航行，能否触礁？

例3、如图3：山上有一铁塔高10米，从点A 测得点C 仰角为60°，点D 仰角为30°，求AB 长。