第九章 方差分析

第九章 方差分析

第一节 方差分析的基本原理及步骤

一、方差分析的基本原理

假设从一个实验中抽取了9名被试的学习成绩，如表9-1所示。随后又抽取了9名被试的学习成绩，如表9-2所示。你能从这些数据发现什么问题吗？

首先，从数据可知，不仅组与组之间存在不同，而且同一组内部也存在着不同。前者称组间变异，后者称组内变异。

其次，从组间变异看，表9-1组间变异大于表9-2。

表9-1 第1次抽取结果

表9-2 第2次抽取结果 方法 学生实验成绩 X

t X

方法 学生实验成绩 X

t X

A 6 5 7 6

A 1 7 4 4

B 11 9 10 10 7

B 6 2 8 6 5

C

5

4

6

5

C

3

6

5

5

再次，从看组内变异看，表9-1比 9-2差异小。

综上所述，表10-1组间变异较大而组内变异较小，表10-2组间变异较小而组内变异较大，组间变异大小与组内变异大小并非正比关系。这表明，若组间变异与组内变异的比率越大，各组平均数的差异越大。因此，通过组间变异和组内变异比率大小来推论几个相应平均数差异显著性的思想就是方差分析的逻辑依据或基本原理。所以说，方差分析是将实验中的总变异分解为组间变异和组内变异，并通过组间变异和组内变异比率的比较来确定影响实验结果因素的数学方法，其实质是以方差来表示变异的程度。

总变异

组间变异

实验条件

随机误差

组内变异

个体差异

随机误差

实验误差

图10-1 总变异的分解图

二、方差分析的基本过程

（一）综合虚无假设与部分虚无假设

方差分析主要处理多于两个的平均数之间的差异检验问题，需要检验的虚无假设就是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异。

综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均数都相等 备择假设：至少有两个总体的平均数不相等

（二）方差的可分解性

总变异 = 组间变异 + 组内变异

变异（V ariance ，用V 表示）即方差（S 2），又称均方差或均方（M ean S quare ，MS ），其公式为

()

df SS n X X MS V S =

--=

∑1

),(2

2或或

其中，分子为离均差平方和，简称平方和，记为SS ；分母为自由度，记为df ，所以总变异及各变异源记为

w b t MS MS MS +=

总变异的数学意义是每一原始分数（X ）与总平均数（t X ）的离差，记为

()t

X X -

组间变异的数学意义是每一组的平均数（i X ）与总平均数的离差，记为

()t i

X X

-

组内变异的数学意义是每一组内部的原始分数与其组平均数（i X ）的离差，记为

()i

X X -

（二）总变异的分解及各部分的计算 1．平方和的分解与计算 1）平方和的定义式

根据变异的可加性，任何一个原始分数都有 ()()()i t i

t

X X X X

X X -+-=-

对容量为n 的某一小组而言，则有

()()()[]∑∑-+-=-i t i

t X X X X

X X

为了使平方和不为0，须做代数的处理，即有

()()()[]2

2∑∑-+-=-i t i

t

X X X X

X X

对k 组页言，则有

()()()[]∑∑∑∑-+-=-2

2i

t

i

t

X X X X X X

()()()()

∑∑∑∑∑∑-+--+-=2

2

2i

i t i t i X X X X X X X X ∵

()()0=--∑∑i t i

X X X X

∴ ()∑∑

-2t

X X ()()∑∑∑∑-+-=2

2

i t i

X X X X

即 总平方和 = 组间平方和 + 组内平方和

或 w b t SS SS SS += 2）平方和的计算式

()()n

X X

X X 2

2

2∑∑∑-

=-

总平方和：

()()∑∑∑∑∑∑∑-

=-=n

X X X X SS t t 2

2

2

组间平方和：

()()()∑∑∑∑

∑∑∑-=-=n X n X X X SS t i

b

2

2

2

组内平方和：()∑∑-=2

i

w

X X SS ()∑∑-=2

i

w

X X SS b

t SS SS -=

例9-1：要探讨噪音对解决数学问题的影响。噪音是自变量，划分为三个强度水平：强、中、无。因变量是解决数学问题时产生的错误频数。随机抽取12名被试，分到三个组中。每组被试在接受数学测验时戴上耳机。强噪音组的被试通过耳机接受100分贝的噪音，中度噪音组接受50分贝的噪音，无噪音组则没有任何噪音。数学测验完毕后，计算每位被试的错误频数。如表9-3所示。

表9-3 不同学习方法的方差分析计算表

噪音强度

错误频数（X

）

∑X

2

∑X

强 16 14 12 10 52 696 中

4 5 5 6 20 102 无

1

2 2

3 8 17 ∑

80

715

总平方和： ()67.28212

807152

2

2

=-=-

=

∑∑∑∑∑n

X X

SS t

组间平方和：67.25812

80486522

22=-++=

b SS 组内平方和： 2467.25867.282=-=-=b t w SS SS SS 2．自由度的分解

总自由度为总容量减去1。本例有12个数据，所以

11112=-=t df

组间自由度为组数（k ）减1，本例有3个组，所以

213=-=b df

组内自由度为总容量减组数或用总自由度减去组间自由度，即有 9211=-=w df 3．变异的分解

变异同样分解为总变异、组间变异和组内变异。

()()t

t

t

t

t

t df SS

n X X MS V S =

--=∑∑1

,22

或或 ()()w

w

i

w

w

w

df SS

k

n X X MS V S =

--=∑∑22,或或 本例各变异为

34.1292

67

.258===b b b df SS MS

67.29

24

===

w w w df SS MS