积商幂的对数 PPT课件

10
3 (lg 3 2 lg 2 1) 2
lg 3 2 lg 2 1
3 2
其他重要公式3:
log
a
b
1 log b
a
a,b (0,1) (1,)
证明:由换底公式
log a
N
log c log c
N a
取以b为底的对数得：
log a
b
log b log b
b a
logb b 1,
log
a
b
1 log b
其他重要公式:
log am
Nn
n m
log
a
N
log a
N
log c log c
N a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
log a b • logb a 1 a,b (0,1) (1,)
其他重要公式2:
log a
N
log c log c
N a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
证明：设 log a N p
由对数的定义可以得： N a p , log c N log c a p , logc N p logc a,
p logc N 即证得 logc a
log a
N
log c log c
N a
这个公式叫做换底公式
讲解范例
（3） log 2 3• log 3 7 • log 7 8
解（1）
log a
xy z
loga (xy) loga
z
loga x loga y loga z
解（2） log a
x2
3
y z
1
loga (x2 y 2 ) loga
1
z3
1
1
log a x2 log a y 2 log a z 3
2 loga
x
1 2
log a
y
1 3
log
a
z
∴
M ap N aq
a pq
log a
M N
pq
即证得
loga
M N
logaM
logaN
(2)
证明：③设 log a M p,
由对数的定义可以得：M a p , ∴ M n anp log a M n np
即证得
logaMn nlogaM(n R) (3)
上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数
证明：①设 log a M p, loga N q,
由对数的定义可以得：M a p , N aq ∴MN= a p aq a pq loga MN p q
即证得
loga (MN) logaM logaN (1)
证明：②设 log a M p, loga N q,
由对数的定义可以得：M a p , N aq
loga (MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
loga N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
为了证明以上公式，请同学们
再回顾一下指数运算性质 ： a m a n a mn (m, n R)
(a m )n a mn (m, n R)
(ab)n a n bn (n R)
（1） log 2 (25 47 )
解 : log 2 (25 47 ) log 2 25 log 2 47 log 2 25 log 2 214
=5+14=19
（2） log 3 27
解 : log3 27 log 3 33 3log3 3 3
练习 2.求下列各式的值：
（1）log 2 6 log 2 3
④对公式容易错误记忆，要特别注意：
log a (MN ) log a M log a N, log a (M N) log a M log a N
讲解范例
例1 用 log a x, log a y, log a z 表示下列各式：
(1)log
a
xy ; z
x2 y (2) log a 3 z
43 (3) log 2 125
a/(12b)
小结 : 积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
log a (MN) log aM log aN (1)
log a
M N
log aM
log aN
(2)
log aMn nlog aM(n R) (3)
讲解范例
例3计算： （2） lg 243 lg 9
(3) lg 27 lg 8 3lg 10 lg 1.2
解： (2) lg 243
lg 9
lg 35 lg 32
5lg 3 2 lg 3
5g 1.2
1
1
10
lg(33 ) 2
lg 23 3lg(10) 2 lg 3 22
1
42 2
log 4
2
1 2
102 0.01
log10 0.01 2
复习上节内容 有关性质： ⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵ log a 1 0, log a a 1
⑶对数恒等式
(1)aloga N N
(2) log a ab b(a 0, a 1,b R)
复习上节内容 ⑷常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。
⑸自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。
为了简便，N的自然对数 log e N 简记作lnN。
（6）底数a的取值范围： (0,1) (1,) 真数N的取值范围 : (0,)
一创设情境：
• 指数幂运算有那些性质？ a m a n a mn (m, n R) (a m )n a mn (m, n R) (ab)n a n bn (n R)
对数运算也有相应的运算性质吗？如果有，它们之间 有什么样的联系呢？
三师生探究：
积、商、幂的对数运算性质： 如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
lg14 lg( 7)2 lg 7 lg18 3
lg
14 7 (7)2 18
3
lg1 0
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
lg(2 7) 2 lg 7 3
lg 7 lg(2 32 )
lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) lg 7 (lg 2 2 lg 3) 0
(5) lg100000 5/2 lg 100
(2) lg 5 100 2/5 (4) log2 (4 4) 3 (6) log 2 (47 25 ) 19
巩固练习
2．已知log2 3 a, log2 5 b，用 a, b 的式子表示
(1) log2 0.6 a-b
(2) log 2 30 ½(1+a+b)
a
还可以变形,得
log a b • log b a 1
其他重要公式1:
log am
Nn
n m
log a
N
证明：设 logam N n p,
由对数的定义可以得： N n (am ) p ,
∴ N n amp
mp
N an
log a
N
m n
p
即证得
log am
Nn
n m
log a
N
再见
对数的运算性质
复习上节内容 定义： 一般地，如果 a
a 0, a 1
的b次幂等于N, 就是 ab N ，那么数 b叫做
以a为底 N的对数，记作 log a N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
复习上节内容
例如：
42 16
log 4 16 2
102 100
log10 100 2
6 log 2 3
log2 2 1
（2） lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
（3）
log 5
3
log 5
1 3
（4） log 3 5 log 3 15
log
5
(3
1) 3
log5 1
0
log
3
5 15
log3 31 1
巩固练习
1.计算 (1) log9 3 log9 27 2 (3) lg 1 2lg 5 -2 4
解 : log2 3• log3 7 • log7 8 lg 3 • lg 7 • lg 8 lg 2 lg 3 lg 7
lg 23 lg 2
3lg 2 lg 2
=3
讲解范例
例3计算：（1）lg 14 2 lg 7 lg 7 lg 18
3
解法一：
解法二：
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
练习
1. 用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：
（1） lg( xyz) ＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；
（2） lg xy2 z
（3） lg xy3 z
＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；
＝lgｘ＋３lgｙ－
1 2
lgｚ；
（4） lg x 1 lg x 2 lg y lg z
y2z
2
讲解范例 例2 计算
式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；
然后再根据对数定义将指数式化成对数式。
loga (MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
loga N