专题六 第3讲 母题突破2 定点问题

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母题突破2 定点问题 母题 已知椭圆C ：x 24

＋y 2＝1，点P (0,1)，设直线l 不经过P 点且与C 相交于A ，B 两点，若直线P A 与直线PB 的斜率的和为－1，求证：l 过定点．

思路分析

❶l 斜率k 存在时写出l 的方程

↓

❷联立l ，C 的方程，设而不求

↓

❸计算k P A ，k PB 并代入k P A ＋k PB ＝－1

↓

❹分析直线方程，找出定点

证明 设直线P A 与直线PB 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，

且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝

⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22， 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t

＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24

＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1

. 而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2

＝

kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2 ＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2

. 由题设k 1＋k 2＝－1，

故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0，

即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1

＝0，

解得k ＝－m ＋12

. 当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12

x ＋m ， 即y ＋1＝－m ＋12

(x －2)，所以l 过定点(2，－1)． [子题1] 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．若点E (－2,0)，直线l 不与坐标轴垂直，且∠AEO ＝∠BEO ，求证：直线l 过定点． 证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可设直线l 的方程为x ＝ny ＋b (n ≠0)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝ny ＋b ，y 2＝4x ，得y 2－4ny －4b ＝0， 则y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4b .

由∠AEO ＝∠BEO ，得k EA ＝－k EB ，

即y 1x 1＋2＝－y 2x 2＋2

， 整理得y 1x 2＋2y 1＋x 1y 2＋2y 2＝0，

即y 1(ny 2＋b )＋2y 1＋(ny 1＋b )y 2＋2y 2＝0，

整理得2ny 1y 2＋(b ＋2)(y 1＋y 2)＝0，

即－8bn ＋4(b ＋2)n ＝0，得b ＝2，

故直线l 的方程为x ＝ny ＋2(n ≠0)，

所以直线l 过定点(2,0)．

[子题2] (2020·湖南四校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 与过点(2,0)的直线l 交于M ，N 两点，若MP →＝12

MN →，PQ ⊥y 轴，垂足为Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点． 证明 由题意可知，直线l 的斜率不为0，设其方程为x ＝my ＋2(m ∈R )，

将x ＝my ＋2代入y 2＝4x ，消去x 可得y 2－4my －8＝0，

显然Δ＝16m 2＋32>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，

则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8，

因为MP →＝12

MN →，所以P 是线段MN 的中点， 设P (x P ，y P )，则x P ＝

x 1＋x 22＝m (y 1＋y 2)＋42

＝2m 2＋2， y P ＝y 1＋y 22＝2m ， 所以P (2m 2＋2,2m )，

又PQ ⊥y 轴，垂足为Q ，所以Q (0,2m )，

设以PQ 为直径的圆经过点A (x 0，y 0)，

则AP →＝(2m 2＋2－x 0,2m －y 0)，

AQ →＝(－x 0,2m －y 0)，

所以AP →·AQ →＝0，即－x 0(2m 2＋2－x 0)＋(2m －y 0)2＝0，

化简可得(4－2x 0)m 2－4y 0m ＋x 20＋y 20－2x 0＝0，①

令⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2x 0＝0，4y 0＝0，

x 20＋y 20－2x 0＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝2，y 0＝0， 所以当x 0＝2，y 0＝0时，对任意的m ∈R ，①式恒成立，

所以以PQ 为直径的圆过定点，该定点的坐标为(2,0)．

规律方法 动线过定点问题的两大类型及解法

(1)动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．

(2)动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 跟踪演练

1．(2020·北京东城区模拟)已知椭圆C ：x 26＋y 22

＝1的右焦点为F ，直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为P ′，求证：直线P ′Q 过x 轴上的定点．

证明 ∵c ＝6－2＝2，∴F (2,0)，

直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)过点F ，

∴m ＝－2k ，∴l ：y ＝k (x －2)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋3y 2＝6，y ＝k (x －2)，得(3k 2＋1)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0. 依题意Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝12k 2

3k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－63k 2＋1

. ∵点P 关于x 轴的对称点为P ′，则P ′(x 1，－y 1)．

∴直线P ′Q 的方程可以设为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1

(x －x 1)， 令y ＝0，x ＝x 2y 1－x 1y 1y 1＋y 2＋x 1＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2

＝kx 2(x 1－2)＋kx 1(x 2－2)k (x 1＋x 2－4)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)x 1＋x 2－4