数学建模缺失数据补充及异常

数学建模缺失数据补充及异常数据修正

题目：数据的预处理问题

摘要 数据处理贯穿于社会生产和社会生活的各个领域。数据处理技术的发展及其应用的广度和深度，极大地影响着人类社会发展的进程。数据补充，异常数据的鉴别及修正，在各个领域也起到了重要作用。

对于第一问，我们采用了多元线性回归的方法对缺失数据进行补充，我们将1960-2015.xls （见附表一）中的数据导入matlab 。首先作出散点图，设定y(X59287)与x1(X54511)、x2(X57494)的关系为二元线性回归模型，即y=b0+b1x1+b2x2。之后作多元回归，求出系数b0=18.014，b1=0.051，b2=0.354，所以多元线性回归多项式为:Y=18.014+0.051*x1+0.354*x2。再作出残差分析图验证拟合效果，残差较小，说明回归多项式与源数据吻合得较好。若x1=30.4，x2=28.6时，y 的数据缺失，则将x1，x2带入回归多项式，算出缺失值y=29.6888。类似地，若x1=40.6,x2=30.4时，y 的数据缺失，则将x1，x2带入回归多项式，算出缺失值y=30.8462，即可补充缺失数据。

对于第二问，我们使用了异常值检验中标准差未知的t 检验法。将除可疑测定值d x 以外的其余测定值当做一个总体，并假设该总体服从正态分布。由这些测定值计算平均值x 与标准差s ，而将可疑值d x 当做一个样本容量为1的特殊总体。如果d x 与其余测定值同属于一个总体，则它与其余测定值之间不应有显著性差异。检测统计量为：σx x k d -=，假设可由标准差s 替代σ来进行检验,则检测统计量可视为：s x x k d -=。若统计量值大于相应置信度α下的t 检验法的临界值αT （该临界值通过查表法得出），则将d x 判为异常值。由此算法即可鉴别出相应的异常数据。

对于第三问，对于问题三，我们采用了分段线性插值，最近方法插值，三次样条函数插值以及三次多项式方法插值法来修正数据异常。同时也需利用外插法修正最后一个数据的异常。通过各种插值方法的比较，发现三次样条方法较为准确，并较好的对异常数据进行修正。

关键词：多元线性回归，t 检验法，分段线性插值，最近方法插值，三次样条插值，三次多项式插值

C38 姓名学号专业

队长康伟振20141387032 应数长望

队员一卜维新20141346033 网络工程

队员二李兰馨20141302059 应用气象

一、问题重述

1.1背景

在数学建模过程中总会遇到大数据问题。一般而言，在提供的数据中，不可避免会出现较多的检测异常值，怎样判断和处理这些异常值，对于提高检测结果的准确性意义重大。

1.2需要解决的问题

（1）给出缺失数据的补充算法；

（2）给出异常数据的鉴别算法；

（3）给出异常数据的修正算法。

二、模型分析

2.1问题（1）的分析

属性值数据缺失经常发生甚至不可避免。

（一）较为简单的数据缺失

（1）平均值填充

如果空值为数值型的，就根据该属性在其他所有对象取值的平均

值来填充缺失的属性值；如果空值为非数值型的，则根据众数原

理，用该属性在其他所有对象的取值次数最多的值（出现频率最

高的值）来补齐缺失的属性值。

(2) 热卡填充（就近补齐）

对于包含空值的数据集，热卡填充法在完整数据中找到一个与其

最相似的数据，用此相似对象的值进行填充。

(3) 删除元组 将存在遗漏信息属性值的元组删除。

(二)较为复杂的数据缺失

(1)多元线性回归 当有缺失的一组数据存在多个自变量时，可以考虑使用多元线性回归模型。将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。

2.2问题（2）的分析

属性值异常数据鉴别很重要。

我们可以采用异常值t 检验的方法比较前后两组数据的平均值，与临界值相比较即可辨别数据异常并剔除异常数据。 将除可疑测定值d x 以外的其余测定值当做一个总体，并假设该总体服从正态分布。由这些测定值计算平均值x 与标准差s ，而将可疑值d x 当做一个样本容量为1的特殊总体。如果d x 与其余测定值同属于一个总体，则它与其余测定值之间不应有显著性差异。检测统计量为：σx x k d -=，假设可由标准差s 替代σ来进行检验,则检测统计量可视为：s x x k d -=。若统计量值大于相应置信度α下的t 检验法的临界值αT （该临界值通过查表法得出），则将d x 判为异常值。

2.3问题（3）的分析

对于数据修正，我们采用各种插值算法进行修正，这是一种行之有效的方法。

（1）分段线性插值

将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作()x I n ，它满足()i i n y x I =，且()x I n 在每个小区间[]1,+i i x x 上是线

性函数()x I n ()n i ,,1,0⋅⋅⋅=。

()x I n 可以表示为

()x I n 有良好的收敛性，即对于[]b a x ,∈有，

用 ()x I n 计算x 点的插值时，只用到x 左右的两个节点，计算量与节点个数n 无关。但n 越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。

(2) 三次多项式算法插值

当用已知的n+1个数据点求出插值多项式后，又获得了新的数据点，要用它连同原有的n+1个数据点一起求出插值多项式，从原已计算出的n 次插值多项式计算出新的n+1次插值多项式很困难，而此算法可以克服这一缺点。

（3）三次样条函数插值[4]

数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。三次样条函数为：对于[]b a ,上的分划∆：n x x x a <⋅⋅⋅<<=10=b ，则，