第四讲 常系数线性齐次微分方程

(2) 从上述推演过程,我们知(4.30) 有形如y ekt的解,
从而(4.29)有形如y xk的解, 因此可直接求欧拉方程的
形如y xk的解, 以y xk代入(4.29)得到确定k的代数方程,
k(k 1) (k n 1) a1k(k 1) (k n 2)
an 0
(4.31)
dxn a1 dxn1 L ank dxk f (x)
(4.35)
dny dxn
a1
d n1 y dxn1
L
ank
dky dxk
L[ y] b0 xm b1xm1 L bm (4.32)'
y k0 xm k1xm1 L km , (4.33) 特解, ki (i 1, 2,L , m)为待定常数.
把y代入(4.32)' ,比较两端同次幂的系数,
得k0 , k1,L , km应满足的方程
k0an b0
k1an mk0an1 b1
例4
求方程
d4x dt 4
2
d2x dt 2
x
0的通解.
解 特征方程为 4 22 1 (2 1)2 0,
即有特征根1,2 i, 1,2 i都是二重根 ,
即有实值解
cost,t cost,sin t,t sin t;
故方程的通解为
x(t) (c1 c2t) cost (c3 c4t) sin t; 这里c1, c2 , c3, c4为任常数;
由此求得(4.19)的两个实值解为
ex cos x, ex sin x;
(2) 特征根是重根的情形
设特征方程 (4.21)有k重根 1,则有 F (1) F ' (1) F (k1) (1) 0, F (k) (1) 0;
下面分1 0和1 0两种情形加以讨论
(a) 设1 0 特征方程(4.21)的k重零根对应着 方程(4.19)的k个线性无关的解 1, x, x2,L , xk1; (b) 设1 0 因而对应着方程(4.19)的k个解
练习 求方程y 2 y 3y 0的通解. 求方程y-3y 9 y 13y 0的通解. 求方程y（4）-4y+5y 4 y 4 y 0的通解.
2 欧拉(Euler)方程
形如
xn
dny dxn
a1xn1
d n1 y dxn1
an1
x
dy dx
an y
0,
(4.29)
的方程,称为欧拉方程. 这里a1, a2 , , an为常数,
b1
d n1 y dt n1
bn y
0,
(4.30)
其中b1, b2 , , bn为常数.
(4.29)
因而可以用上述方法求出(4.30)的通解,再代回 原来的变量就可得到方程(4.29)的通解.
例5
求解方程 x2
d2y dx2
x
dy dx
y
0.
解 作变换 x et (即t ln x) 则
e1t , te1t , t e2 1t ,L , t k1e1t ; (4.25)
类似地,假设方程(4.21)的其它根2, , m的重数 依次为k2 , , km ,而且k1 k2 km n, i j (i j),
则方程(4.19)的相应解为
e2t , te2t , t 2e2t , , t k2 1e2t ;
例1
求方程
d3y dx3
3
d2y dx2
4
y
0的通解.
解 特征方程为 3 32 4 ( 1)( 2)2 0,
有根 1 1, 2,3 2, 1是单根, 2,3是二重根 ,
因此有解 ex , e2x , xe2x ;
故通解为 y(x) c1ex c2e2x c3xe2x ; 这里c1, c2 , c3为任常数 ;
emt , temt , t e2 mt , , t km 1emt ;
(4.26)
下面我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基 本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可,
对特征方程有复根的情况: 譬如有k重复根 i , 则 i也是k重复根, 如同单根时那样,我们也可以
解 设y xk代入方程, 得到确定k的代数方程
k(k 1) k 1 (k 1)2 0
上面代数方程的根为 k1 k2 1
故方程的通解为:
y(x) (c1 c2 ln x )x; 这里c1, c2为任常数;
例7
求解方程 x2
d2y dx2
3x
dy dx
5y
0.
解 设y xk代入方程, 得到确定k的代数方程
y1 e( i)x e x (cos x i sin x), y2 e( i)x e x (cos x i sin x);
1 2
y1
y2
e x
cos
x是方程的解.
1 2i
y1
y2
e x
sin
x也是方程的解.
由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解,这样,对
方程的一对共轭复根: 1 i ,
把方程 (4.19 )的2k个复值解 , 换成2k个实值解.
et cos t, tet cos t, , t k1et cos t; et sin t, tet sin t, , t k1et sin t.
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2, , k ,
f (x)
(一) 比较系数法
(4.31)
1 类型I: f (x) b0 xm b1xm1 L bm ,即方程为
L[ y] b0 xm b1xm1 L bm
(4.32)'
其中bi (i 1,2, , m)为实常数.
注意到,一个多项式的各阶导数仍为多项式,且方程
(4.32)' 右端是一个m次多项式,因此方程(4.32)' 有形如
y(t) c1e1x c2e2x L cnenx
其中c1, c2 , cn是任常数.
若i (i 1,2, , n)中有复数,
则因方程的系数实常数,复根将成对共轭出现,
设1 i是特征根,则2 i也是特征根 ,
相应方程(4.19)有两个复值解,
e( i)x e x (cos x i sin x), e( i)x e x (cos x i sin x);
3
d3x dt3
3
d2x dt 2
dx dt
0的通解.
解 特征方程为
4 33 32 ( 1)3 0, 有根 1 0, 2,3,4 1, 1 0是单根, 2,3,4 1是三重根 ,
故方程的通解为
x(t) c1 (c2 c3t c4t 2 )et ; 这里c1, c2 , c3, c4为任常数;
则(4.31)正好是(4.30)的特征方程, 因此,方程(4.31)的m重
根k k0, 对应于方程(4.29)的m个解
xk0 , xk0 ln x , xk0 ln 2 x , , xk0 ln m1 x ;
ekt , tekt , t 2ekt , , t m1ekt ;
而方程(4.31)的m重复根k i, 对应于方程(4.29)
例2
求方程
d4y dx4
y
0的通解.
解 特征方程为 4 1 0
有根 1 1, 2 1, 3 i, 4 i;
有两个实根和两个复根,均是单根 故方程的通解为
x(t) c1ex c2ex c3 cos x c4 sin x; 这里c1, c2 , c3, c4为任常数;
例3
求方程
d4x dt 4
4.5 常系数齐次线性方程和欧拉方程
• 常系数齐次线性微分方程的求解能够彻底解决 • 只须解一个代数方程而不必通过积分计算 • 某些特殊非齐次线性微分方程，可通过代数运算和微 分运算求通解 • 这一节的内容与质点振动理论、电磁振荡理论有紧密 的关系
4.5 常系数齐线性方程和欧拉方程
1 常系数齐线性方程的求解方法(求特征方程的根)
kman L bm
(4.34)
(1) 当an 0时, 这些待定常数ki (i 1, 2,L , m)可从方程(4.34)唯一地 逐个确定下来, 因此方程有形如(4.33)的解.
(2) an an1 ank1, ank 0,
这时相应地方程(4.32)将为
dny
d n1 y
dky
的2m个实值解
x cos( ln x ), x ln x cos( ln x ), , x ln m1 x cos( ln x );
x sin( ln x ), x ln x sin( ln x ), , x ln m1 x sin( ln x );
例6
求解方程 x2
d2y dx2
x
dy dx
y
0.
[
dk dt
y
k
1
d k 1 y dt k 1
k 1
dy ], dt
其中1, 2 , , k都是常数 , 将上述关系式代入(4.19)
得常系数齐线性方程.
xn
dny dx n
a1xn1
d n1 y dx n 1
an1
x
dy dx
an y
0,
x et (t ln x)
dny dt n
2
en x
n en x
L
e n1 nx n
1 1 1
e (1 2 L n ) x 1
2 n
n1 1
n1
2
n1 n
e(12 L n ) x
(i j ) 0
1 jin
故解组(4.22)线性无关.
若i (i 1,2, , n)均为实数,
则(4.22)是方程(4.19)的基本解组 ,从而(4.19)的通解为
第二步: 计算方程(4.19)相应的解
(a) 对每一个实单根k , 方程有解ek x; (b) 对每一个 m 1重实根k ,方程有m个解;
ek x , xek x , x e2 k x ,L , xm1ek x ;
(c) 对每一个重数是一的共 轭复数 i,方程有
两个如下形式的解
ex cos x, ex sin x;
这里是待定常数 ,可以是实数也可以是复 数,
把它代入方程(4.19)得
L[ex ] ( n a1 n1 L an1 an )ex 0
因此, ex为(4.19)的解的充要条件是 : 是代数方程
F () n a1n1 an1 an 0, (4.21)
的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为 方程(4.19)的特征根.
考虑方程
L[ y]
dny dxn
a1
d n1 y dxn1
L
an y 0
(4.19)
其中a1, a2 , , an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
我们知道,一阶常系数齐线性方程
dy ax 0 dx
有解 y ceax ,
受此启发,对(4.19)尝试求指数函数形式的解
y ex , (4.20)
(d ) 对每一个重数是 m 1的共轭复数 i,方程有
2m个如下形式的解
ex cos x, xex cos x,L , xm1ex cos x; ex sin x, xex sin x,L , xm1ex sin x;
第三步: 根据第二步中的(a),(b),(c),(d)情形, 写出方程(4.19)的基本解组及通解.
(1) 引进变换 x et (t ln x)
dy dy dt dx dt dx
et
dy dt
1 x
dy , dt
d2y dx2
d dy dx dx
d
dy dx
பைடு நூலகம்
dt
dt dx
et d (et dy ) dt dt
e2t
d2y ( dt2
dy ), dt
由归纳法原理可知
dky dxk
e
kt
k(k 1) 3k 5 k 2 2k 5 0
上面代数方程的根为
k1,2 1 2i,
故方程的通解为:
y(x)
1 x
[c1
c os(2 ln
x
)
c2
sin(2 ln
x
)];
这里c1, c2为任常数;
4.5.2常系数非齐线性方程的解法
L[ y]
dny dxn
a1
d n1 y dxn1
L
an y
dy 1 dy , dx x dt
把上式入原方程得
d 2 y 1 d 2 y dy
dx2
x2 ( dt2
), dt
d 2 y dy
dt 2
2 dt
y0
上述方程的通解为: y(t) (c1 c2t)et ;
故原方程的通解为:
y(x) (c1 c2 ln x )x; 这里c1, c2为任常数;
(1) 特征根是单根的情形
设1, 2, , n是特征方程(4.21)的n个彼此不相
等的特征根,则相应方程(4.19)有如下n个解
e1x , e2x ,L , enx
(4.22)
由于
e1x
e2 x
L
W [e1x , e2x ,L , enx ] 1e1x
L
2e2x L
LL
e n1 1x 1
e L n1 2x