随机变量的独立性

例3 设(X,Y)的概率密度为
( x y )
xe , x p 0 ,xy 0 p X ( x) pY ( y ) ( , y ) p ( x, y ) 故X,Y 独立 0 , 其它
问X和Y是否独立？
( x y ) x p ( x ) xe dy 解： X xe 0 pY ( y ) 0 xe ( x y ) dx e y
P{X xi ,Y yj } P{X xi } P{Y yj }
于是
P{X 1,Y 2} P{X 1} P{Y 2} 0.3 0.6 0.18,
P{X 1,Y 4} P{X 1}P{Y 4} 0.3 0.4 0.12, P{X 3,Y 2} P{X 3}P{Y 2} 0.7 0.6 0.42, P{X 3,Y 4} P{X 3}P{Y 4} 0.7 0.4 0.28. 因此 ( X ,Y ) 的联合分布律为 Y 2 4 X 0.18 1 0.12 0.42 0.28 3
p j P{Y yj } 1 2
1 故 与 应满足的条件是 : 0, 0 且 . 3
2 (1)由分布律的性质知 0, 0, 1, 3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi p j , ( i 1,2; j 1,2,3)
p ( x , y ), 边缘概率密度分别为 p X ( x ), pY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立

p( x , y ) p X ( x ) pY ( y )
3. X 和 Y 相互独立 , 则 f ( X ) 和 g (Y )也相互独立 .
P ( X x i , Y y j ) P ( X x i ) P (Y y j )
则称X和Y相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1) 1 3 ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) 1 6 1 9 1 18
特别有
p12 p1 p2 1 9 1 1 2 , 9 3 9
又
1 1 , 得 . 3 9
例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X PX 1 0 .3 3 0 .7 Y PY 2 0 .6 4 0 .4
求随机变量 (X,Y) 的分布律. 解 因为X与Y 相互独立, 所以
二、布律为
X 和 Y 相互独立 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }. 2. 设连续型随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为
P{ X x i , Y y j } pij , i , j 1,2,.
p(x, y ) p X ( x) pY ( y )
成立，则称X,Y相互独立 . 其中 p (x, y ) 是X,Y的联合密度，
p X ( x), pY ( y ) 分别是X的
边缘密度和Y 的边缘密度 .
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于： 对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F ( x, y ) FX ( x ) FY ( y )
则称X,Y相互独立 . 它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的 定义等价于： 若对任意的 x, y, 有
pij


(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立 , 求 与 的值 .
解 将 ( X , Y ) 的分布律改写为
X
1 2
Y
1 1 6 1 3
2 1 9
3 1 18

1 9

1 18
pi P{ X xi } 1 3 1 3 2 3
1, p X ( x) 0, 1, pY ( y ) 0, 0 x 1 其它 0 y 1 其它
由于X 与Y 相互独立，则（X ,Y )的密度函数 0 y 1 ， 1, 0 x 1， p ( x, y ) 0, 其它 1 要使两人能会面，则 | X Y | 4 则 7 1 P{| X Y | } p ( x, y )dxdy dxdy 16 4 D D
第3-3节 随机变量的独立性
一、随机变量的相互独立性
二、内容小结
一、随机变量的相互独立性
1.定义 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P( X x, Y y ) P( X x) P(Y y )
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
对一切x, y, 均有：
x>0
y >0
即：
xe , x 0 pX ( x ) 其它 0,
x
e y , pY ( y ) 0,
y0 其它
例4（会面问题）甲乙两人约定0时到1时在某 处会面，他们到达会面地点的时间均匀分 布在0～1时.设他们两人到达的时间是相互 独立，二人约定先到者等候另一人15分钟， 过时即可离去，求两人能会面的概率. 解：设X , Y 分表示甲,乙两人到达的时间,则