基于数值积分法灵敏度的快速切负荷算法
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ABSTRACT: Load shedding is a frequently used method in maintaining the transient stability of power system. In this paper, the relative maximum swing angle among the machines is taken as transient stability constraint function as widely used. Then the formula of sensitivity calculation of transient stability constraint function relative to the amount of load shedding is derived by means of numerical integration. On this basis a new load shedding algorithm is put forward. Because the amount of computation to find for once the solution of all the sensitivities is about twice that for transient stability, so the presented algorithm is considered to be fast for calculating the load to be shed to maintain the system stability. Besides, the principle of the presented algorithm is simple, it has good convergence and high control efficiency. KEY WORDS: power system；transient stability controls ； load shedding 摘要： 快速切除负荷是电力系统在故障后保持稳定的一种常 用措施。 作者以工程上普遍采用的发电机组最大相对摇摆角 小于某一给定值为暂态稳定约束函数， 然后基于数值积分法 给出了暂态稳定约束函数相对于切负荷控制量的灵敏度计 算公式，并在此基础上提出一种新的切负荷算法。 由于求解 1 次所有控制量灵敏度的计算量只相当于计算 2 次暂态稳 定，该算法能快速地计算出使系统保持稳定的切负荷量。 此 外，该算法还具有原理简单、不存在收敛性问题、控制效果 好等特点。 关键词： 电力系统；暂态稳定控制；切负荷 中图分类号：TM734 文献标识码 A：
2.2 暂态稳定约束函数及其梯度 紧急控制的目的是保持系统的暂态稳定性，暂 态稳定性通常由发电机转子间最大相对摇摆角δmax 来判断，而具体计算时存在着 2 种不同的方法[6]：一 种是使整个摇摆过程中各个时刻的δ max 都不大于某 一规定值（通常取 180°） ；另一种是适当选定一终 端时刻 Te，使该时刻下的δ max 不大于规定值。Te 的 选取与考虑的稳定性要求有关，例如，当只考虑第 一摇摆周期的稳定性时，Te 可在 1.5 s 和 2 s 之间取 值，否则可取更大的数值。第一种处理方法可能偏 于保守， 因为在某些情况下， 即使在摇摆过程中δ max 大于 180°（有时甚至达到 260°） ，系统仍可能保持 稳定。第二种处理方法，将允许在摇摆过程中最大 相对摇摆角 Te 超过规定值， 从而在一定程度上减少 了结果的保守性。 使用第二种处理最大相对摇摆角方法，并定义 暂态稳定约束函数为 i = 1,⋅ ⋅ ⋅, N G ; j = 1,⋅ ⋅ ⋅, N G } ≥ 0 (2) 所以，当系统保持稳定时， g ( u) 的值应大于 0。 从表达式看，g (u) 只含有状态变量δ，而不含有控 制量 u，但实际上 g (u) 隐含控制量。随着控制量 u 的取值不同，系统将沿着不同的状态轨迹运动，约 束函数 g (u) 也将取不同的值。 文献 [5]根据文献 [7]提出的最优控制问题的控 制参数化方法，推导出系统动态过程由微分代数方 程组描述的约束函数梯度的计算公式。对于式(1) 所描述的动态系统， 其暂态稳定约束函数(2)对于切 负荷控制矢量 u 的梯度计算公式为
∫ ∫
Te Tc Te
T ∂f ( x, y , u) λ dt ∂u ∂φ T ∂f +ξ T λ dt ∂ u ∂u
(3)
Tc
其中， λ 和 ξ 为如下协状态微分代数方程的解
T T &= − ∂f λ − ∂φ ξ λ ∂x ∂x ∂ç [x (Te u)] λ (Te ) = ∂x T ∂f ∂ T φ λ ∂y + ξ ∂y = 0
1 引言
切负荷是电力系统安全稳定紧急控制的主要措 施之一。当系统发生严重故障或突然失去大量电源 后，快速切除部分负荷可以减小发电机组输入输出
基金项目：国家自然科学基金资助项目（59977020） 。
之间的功率不平衡，从而保证系统的稳定[1]。 快速性和准确性是评价切负荷控制策略算法 的主要指标，用最快的计算速度确定保证系统安全 稳定的最少切负荷量，是切负荷算法追求的目标。 穷举法一定可以找到切负荷控制的最优解，但是当 安全稳定控制系统的可切负荷点较多，且每一可切 负荷点的切负荷级数较多时，将产生组合爆炸，于 是不需要多少理论基础的试凑法便成了最早被使 用的方法。常见的试凑法有 2 种，一种是按照优先 级顺序进行穷尽式搜索，当找到第一个使系统保持 稳定的解后停止。显然，这种方法同样需要进行大 量的计算，且当同一优先级的可切负荷较多时，得 到的解完全是随机的，很难取得最佳的效果。另一 种是同比例法，即按照相同的比例切除各可切负荷 点的负荷。当使用快速的搜索方法时，这种方法的 计算量较穷举法少很多，但如果安全稳定控制系统 的可切负荷点较多时，同比例法得到的解与最优解 相差较大。 近年来，国内外学者对暂态稳定切负荷控制算 法进行了大量的研究工作，但基本上都是基于各种 直接法，根据暂态能量裕度的灵敏度计算切负荷控 制量。文献[2]基于 PEBS 法，利用暂态能量裕度相 对于发电机有功出力的灵敏度，确定切机和切负荷 量。文献[3]基于 BCU 法，利用暂态能量裕度相对 于发电量或负荷的灵敏度，确定保证系统暂态稳定 的切机和切负荷量。文献[4]基于 EEAC 法，利用稳 定裕度相对于控制代价的灵敏度，确定暂态稳定紧 急控制决策。当只考虑经典模型时，各种直接法的 误差还是可以接受的。但考虑复杂模型及各种负荷 特性时，各种直接法的复杂性都大大增加，而且计 算精度也难以保证，特别是在系统出现多摆失稳的
第 26 卷 第 8 期 2002 年 8 期 文章编号：1000-3637（2002）08-0004-04
电 网 技 术 Power System Technology
Vol. 26 No. 8 Aug. 2002
基于数值积分法灵敏度的快速切负荷算法
毕兆东，王建全，韩祯祥
（浙江大学电气工程学院，浙江省 杭州市，310027）
第 26 卷 第 8 期
电
网
技 术
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情况下更是如此。到目前为止，各实际安全稳定控 制系统的控制决策计算，仍然采用基于数值积分的 同比例法。 基于最优控制理论，各种紧急控制决策计算均 可描述为以控制代价最小为目标，以维持系统安全 稳定性为约束条件的最优控制问题。由于各种常用 紧急控制的控制量或者为常数，或者可描述为某几 个参数的函数，因此，这类最优控制问题实质上就 是最优参数选取问题。 文献[5]将切负荷问题描述为 最优控制问题，提出了一种系统化的决定最小切负 荷量及其在各切负荷点分配的算法，但是切负荷控 制的特点决定了它是一种非线性整数规划问题，求 解过程较为复杂，且无论用何种非线性数值规划方 法求解，都存在着某些算例不能收敛、或者收敛到 局部最优解的问题。 值得关注的是，文献[5]提出了一种基于数值积 分法计算暂态稳定约束梯度的新方法，该方法具有 计算量少、速度快、精确度高的优点。本文在这种 梯度计算方法的基础上提出了一种快速切负荷算 法，经新英格兰和西南某实际电力系统的算例计算 表明了该算法的有效性。
∇g (u ) = =
g (u ) = ð 2 − max [δ i (Te u) − δ j (Te u) ] 2
{
2 算法原理
2.1 系统模型 考虑系统中已给定 r 个可切负荷节点，每个可 切负荷节点的单级容量为 Si，i＝1，2， … ， r。假 定执行紧急控制决策的时间为 tc ， 在 0 到 tc 之间系 统可能发生各种扰动和操作，因此将整个暂态过程 划分为 0≤t < tc 期间过程和 t ≥tc 即切负荷后的过 程。对每段过程，系统的暂态过程可以用下面的微 分代数方程组描述 &= f (x , y , u ) x (1) 0 = φ ( x , y , u ) 式中 x 是由系统中各发电机组的状态变量组成的 矢量；y 是由电力网络运行参数所组成的矢量；u 表示切负荷控制矢量，其分量 ui（i＝1，2， … ，r） 表示第 i 个切负荷节点切除负荷的级数。 对于控制矢量 u， 在 t < tc 的各段过程中， u=0； 在 t= tc 时，u 产生突变；而在 t> tc 后，u 保持常数， 因此其定义可以描述为 u ={ui | t<tc 时，ui =0；t≥tc 时，0≤ui≤ni； i =1，2，…，r } 其中， ni 为第 i 个可切负荷节点可切负荷级数。
(4)
由于式(1)和式(4)采用数值解，因此式(3)的积 分运算将化为求和运算。无论控制矢量 u 的维数是
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Power System Technology
V安全稳定控制系统有多少个可切负荷 点，只需要相当于进行 2 次暂态稳定数值积分的计 算量，就可以求出暂态稳定约束函数对于每 1 个控 制量的导数。 若采用摄动法， 当可切负荷点较多时， 计算量将非常大。 2.3 切负荷算法 如以总切负荷量最小的为目标函数，并将式(2) 作为约束函数，则切负荷计算可以描述为最优参数 选取问题，利用式(3)给出的梯度计算方法，可以应 用非线性整数规划的方法来求得最优的切负荷量。 但由于不能保证可行解的空间是凸的，采用任何非 线性数值规划方法求解都有可能收敛到一个局部最 优解，甚至在某些情况下可能不收敛。因此希望找 到一种不存在收敛性问题的切负荷算法。 电力系统虽然具有很强的非线性，但是约束函 数对于控制量的梯度仍然可以提供重要的控制信 息。 利用式(3)求得的梯度是暂态稳定约束函数对于 各个切负荷控制量的导数，该导数可以理解为切除 一级负荷后系统稳定性的改善程度。若稳定约束函 数对某个控制量的导数越大，则表明在该可切负荷 点切除一级负荷后，提高稳定性的效果越好。显然， 暂态稳定约束函数对某个控制量的导数与该控制 量所对应的单级切负荷容量成正比。将暂态稳定约 束函数梯度的各个分量与其所对应的单级容量相 除，得到的结果与单级切负荷容量无关，而仅仅与 该切负荷节点的位置、系统运行状况和系统扰动情 况有关，笔者将其称为该节点的切负荷灵敏度 dg 1 Ki = ⋅ (5) d ui S i 式中 Ki 是第 i 个切负荷节点的灵敏度， Si 为该节 点的单级容量。 若某个点的切负荷灵敏度最大，则表明在该处 切除单位容量负荷后，系统提高稳定性的效果最 佳。大量的算例计算表明，在灵敏度最大的可切负 荷点切除部分或全部可切负荷后，各个可切负荷节 点灵敏度大小的顺序通常能够保持不变。显然，一 个好的切负荷算法应该在保持系统稳定的前提下 尽量少地切除用户的负荷，于是采用切负荷灵敏度 计算切负荷控制决策的过程为：求得各个可切负荷 点的切负荷灵敏度 Ki， 根据各可切负荷点 Ki 由大到 小的顺序， 依次增加切负荷控制量 ui 以及切负荷的 节点数 l，直至系统稳定为止，此时的稳定约束函 数在理论上应该大于或等于 0。于是使用差分法由
A FAST LOAD SHEDDING ALGORITHM BASED ON INTEGRAL SENSITIVITY
BI Zhao-dong, WANG Jian-quan, HAN Zhen-xiang （Zhejiang University, Hangzhou 310027, Zhejiang Provicne, China）
2.2 暂态稳定约束函数及其梯度 紧急控制的目的是保持系统的暂态稳定性，暂 态稳定性通常由发电机转子间最大相对摇摆角δmax 来判断，而具体计算时存在着 2 种不同的方法[6]：一 种是使整个摇摆过程中各个时刻的δ max 都不大于某 一规定值（通常取 180°） ；另一种是适当选定一终 端时刻 Te，使该时刻下的δ max 不大于规定值。Te 的 选取与考虑的稳定性要求有关，例如，当只考虑第 一摇摆周期的稳定性时，Te 可在 1.5 s 和 2 s 之间取 值，否则可取更大的数值。第一种处理方法可能偏 于保守， 因为在某些情况下， 即使在摇摆过程中δ max 大于 180°（有时甚至达到 260°） ，系统仍可能保持 稳定。第二种处理方法，将允许在摇摆过程中最大 相对摇摆角 Te 超过规定值， 从而在一定程度上减少 了结果的保守性。 使用第二种处理最大相对摇摆角方法，并定义 暂态稳定约束函数为 i = 1,⋅ ⋅ ⋅, N G ; j = 1,⋅ ⋅ ⋅, N G } ≥ 0 (2) 所以，当系统保持稳定时， g ( u) 的值应大于 0。 从表达式看，g (u) 只含有状态变量δ，而不含有控 制量 u，但实际上 g (u) 隐含控制量。随着控制量 u 的取值不同，系统将沿着不同的状态轨迹运动，约 束函数 g (u) 也将取不同的值。 文献 [5]根据文献 [7]提出的最优控制问题的控 制参数化方法，推导出系统动态过程由微分代数方 程组描述的约束函数梯度的计算公式。对于式(1) 所描述的动态系统， 其暂态稳定约束函数(2)对于切 负荷控制矢量 u 的梯度计算公式为
∫ ∫
Te Tc Te
T ∂f ( x, y , u) λ dt ∂u ∂φ T ∂f +ξ T λ dt ∂ u ∂u
(3)
Tc
其中， λ 和 ξ 为如下协状态微分代数方程的解
T T &= − ∂f λ − ∂φ ξ λ ∂x ∂x ∂ç [x (Te u)] λ (Te ) = ∂x T ∂f ∂ T φ λ ∂y + ξ ∂y = 0
1 引言
切负荷是电力系统安全稳定紧急控制的主要措 施之一。当系统发生严重故障或突然失去大量电源 后，快速切除部分负荷可以减小发电机组输入输出
基金项目：国家自然科学基金资助项目（59977020） 。
之间的功率不平衡，从而保证系统的稳定[1]。 快速性和准确性是评价切负荷控制策略算法 的主要指标，用最快的计算速度确定保证系统安全 稳定的最少切负荷量，是切负荷算法追求的目标。 穷举法一定可以找到切负荷控制的最优解，但是当 安全稳定控制系统的可切负荷点较多，且每一可切 负荷点的切负荷级数较多时，将产生组合爆炸，于 是不需要多少理论基础的试凑法便成了最早被使 用的方法。常见的试凑法有 2 种，一种是按照优先 级顺序进行穷尽式搜索，当找到第一个使系统保持 稳定的解后停止。显然，这种方法同样需要进行大 量的计算，且当同一优先级的可切负荷较多时，得 到的解完全是随机的，很难取得最佳的效果。另一 种是同比例法，即按照相同的比例切除各可切负荷 点的负荷。当使用快速的搜索方法时，这种方法的 计算量较穷举法少很多，但如果安全稳定控制系统 的可切负荷点较多时，同比例法得到的解与最优解 相差较大。 近年来，国内外学者对暂态稳定切负荷控制算 法进行了大量的研究工作，但基本上都是基于各种 直接法，根据暂态能量裕度的灵敏度计算切负荷控 制量。文献[2]基于 PEBS 法，利用暂态能量裕度相 对于发电机有功出力的灵敏度，确定切机和切负荷 量。文献[3]基于 BCU 法，利用暂态能量裕度相对 于发电量或负荷的灵敏度，确定保证系统暂态稳定 的切机和切负荷量。文献[4]基于 EEAC 法，利用稳 定裕度相对于控制代价的灵敏度，确定暂态稳定紧 急控制决策。当只考虑经典模型时，各种直接法的 误差还是可以接受的。但考虑复杂模型及各种负荷 特性时，各种直接法的复杂性都大大增加，而且计 算精度也难以保证，特别是在系统出现多摆失稳的
第 26 卷 第 8 期 2002 年 8 期 文章编号：1000-3637（2002）08-0004-04
电 网 技 术 Power System Technology
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基于数值积分法灵敏度的快速切负荷算法
毕兆东，王建全，韩祯祥
（浙江大学电气工程学院，浙江省 杭州市，310027）
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情况下更是如此。到目前为止，各实际安全稳定控 制系统的控制决策计算，仍然采用基于数值积分的 同比例法。 基于最优控制理论，各种紧急控制决策计算均 可描述为以控制代价最小为目标，以维持系统安全 稳定性为约束条件的最优控制问题。由于各种常用 紧急控制的控制量或者为常数，或者可描述为某几 个参数的函数，因此，这类最优控制问题实质上就 是最优参数选取问题。 文献[5]将切负荷问题描述为 最优控制问题，提出了一种系统化的决定最小切负 荷量及其在各切负荷点分配的算法，但是切负荷控 制的特点决定了它是一种非线性整数规划问题，求 解过程较为复杂，且无论用何种非线性数值规划方 法求解，都存在着某些算例不能收敛、或者收敛到 局部最优解的问题。 值得关注的是，文献[5]提出了一种基于数值积 分法计算暂态稳定约束梯度的新方法，该方法具有 计算量少、速度快、精确度高的优点。本文在这种 梯度计算方法的基础上提出了一种快速切负荷算 法，经新英格兰和西南某实际电力系统的算例计算 表明了该算法的有效性。
∇g (u ) = =
g (u ) = ð 2 − max [δ i (Te u) − δ j (Te u) ] 2
{
2 算法原理
2.1 系统模型 考虑系统中已给定 r 个可切负荷节点，每个可 切负荷节点的单级容量为 Si，i＝1，2， … ， r。假 定执行紧急控制决策的时间为 tc ， 在 0 到 tc 之间系 统可能发生各种扰动和操作，因此将整个暂态过程 划分为 0≤t < tc 期间过程和 t ≥tc 即切负荷后的过 程。对每段过程，系统的暂态过程可以用下面的微 分代数方程组描述 &= f (x , y , u ) x (1) 0 = φ ( x , y , u ) 式中 x 是由系统中各发电机组的状态变量组成的 矢量；y 是由电力网络运行参数所组成的矢量；u 表示切负荷控制矢量，其分量 ui（i＝1，2， … ，r） 表示第 i 个切负荷节点切除负荷的级数。 对于控制矢量 u， 在 t < tc 的各段过程中， u=0； 在 t= tc 时，u 产生突变；而在 t> tc 后，u 保持常数， 因此其定义可以描述为 u ={ui | t<tc 时，ui =0；t≥tc 时，0≤ui≤ni； i =1，2，…，r } 其中， ni 为第 i 个可切负荷节点可切负荷级数。
(4)
由于式(1)和式(4)采用数值解，因此式(3)的积 分运算将化为求和运算。无论控制矢量 u 的维数是
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V安全稳定控制系统有多少个可切负荷 点，只需要相当于进行 2 次暂态稳定数值积分的计 算量，就可以求出暂态稳定约束函数对于每 1 个控 制量的导数。 若采用摄动法， 当可切负荷点较多时， 计算量将非常大。 2.3 切负荷算法 如以总切负荷量最小的为目标函数，并将式(2) 作为约束函数，则切负荷计算可以描述为最优参数 选取问题，利用式(3)给出的梯度计算方法，可以应 用非线性整数规划的方法来求得最优的切负荷量。 但由于不能保证可行解的空间是凸的，采用任何非 线性数值规划方法求解都有可能收敛到一个局部最 优解，甚至在某些情况下可能不收敛。因此希望找 到一种不存在收敛性问题的切负荷算法。 电力系统虽然具有很强的非线性，但是约束函 数对于控制量的梯度仍然可以提供重要的控制信 息。 利用式(3)求得的梯度是暂态稳定约束函数对于 各个切负荷控制量的导数，该导数可以理解为切除 一级负荷后系统稳定性的改善程度。若稳定约束函 数对某个控制量的导数越大，则表明在该可切负荷 点切除一级负荷后，提高稳定性的效果越好。显然， 暂态稳定约束函数对某个控制量的导数与该控制 量所对应的单级切负荷容量成正比。将暂态稳定约 束函数梯度的各个分量与其所对应的单级容量相 除，得到的结果与单级切负荷容量无关，而仅仅与 该切负荷节点的位置、系统运行状况和系统扰动情 况有关，笔者将其称为该节点的切负荷灵敏度 dg 1 Ki = ⋅ (5) d ui S i 式中 Ki 是第 i 个切负荷节点的灵敏度， Si 为该节 点的单级容量。 若某个点的切负荷灵敏度最大，则表明在该处 切除单位容量负荷后，系统提高稳定性的效果最 佳。大量的算例计算表明，在灵敏度最大的可切负 荷点切除部分或全部可切负荷后，各个可切负荷节 点灵敏度大小的顺序通常能够保持不变。显然，一 个好的切负荷算法应该在保持系统稳定的前提下 尽量少地切除用户的负荷，于是采用切负荷灵敏度 计算切负荷控制决策的过程为：求得各个可切负荷 点的切负荷灵敏度 Ki， 根据各可切负荷点 Ki 由大到 小的顺序， 依次增加切负荷控制量 ui 以及切负荷的 节点数 l，直至系统稳定为止，此时的稳定约束函 数在理论上应该大于或等于 0。于是使用差分法由
A FAST LOAD SHEDDING ALGORITHM BASED ON INTEGRAL SENSITIVITY
BI Zhao-dong, WANG Jian-quan, HAN Zhen-xiang （Zhejiang University, Hangzhou 310027, Zhejiang Provicne, China）