第5章回归模型的函数形式

9-20
5.2 比较线性和双对数回归模型
对线性模型而言，其弹性系数随着需求曲线 上的点的不同而变化，而对双对数模型而言， 它在需求曲线上任何一点的弹性系数都是相同 的。因此，在这两类模型之间进行选择模型时， 我们可以根据这个特点作出判断。
9-21
5.2 比较线性和双对数回归模型
对于线性模型的弹性通常用平均弹性系数来计算 :
回顾数学S.A.T函数一例，建立了家庭收入(x)与数 学S.A.T成绩(Y)的双变量线性回归模型：
EYi B2 B2 X i
对于变量之间是线性的模型来说，解释变量每 变动一个单位，应变量的变化率为一常数。
9-3
5.1 如何度量弹性：双对数模型
能否使用如下的指数形式来描述数学S.A.T成绩(Y) 与家庭收入(X)的关系呢?
Yˆ

e L K Bˆ1 Bˆ2
Bˆ3
9-26
5.3 多元对数线性回归模型
例5-2 excel原始数据表
9-27
5.3 多元对数线性回归模型
例5-2 取对数后Eviews数据表
9-28
5.3 多元对数线性回归模型
例5-2 C-D函数Eviews回归过程
9-29
5.3 多元对数线性回归模型
例5-2 C-D函数Eviews回归结果
5.1 如何度量弹性：双对数模型
双对数线性模型的假设检验
就假设检验而言，线性模型与对数线性模型并没有 什么不同。在随机误差项服从正态分布(均值为0，方 差为 2)的假定下，每一个估计的回归系数均服从正态 分布。或者，如果用 2 的无偏估计量代替它，则每一 个估计的回归系数服从自由度为(n－k)的t分布，其中k 为包括截距在内的参数的个数。
9-34
5.4 如何测度增长率：半对数模型
测度增长率的方法
Yt Y0 (1 r)t
两边求对数：
InYt InY0 tIn(1 r) 令B1 InY0 , B2 In(1 r) InYt B1 B2t 引入误差项 InYt B1 B2t u t 称为半对数模型
下面进行对数变换，令
Yi* LnYi
X
* i

LnX i
则InYi B1 B2 InXi ui可写成：
Yi*

B1

B2
X
* i
ui
与前面讨论的模型相似：它不仅是参数线性的，而且也是变量线性的。
9-5
5.1 如何度量弹性：双对数模型
双对数模型中斜率 B2的经济意义：
LnYi B1 B2LnX i ui
9-19
5.2 比较线性和双对数回归模型
能否用判定系数R2来选择模型?
如果两个模型的被解释变量形式是相同的,可用 R 2作 为选择标准。
但下列两模型, R2度量的意义不同
Y B BX u
i
1
2i
i
InYi B1 B2InX i ui
不能根据最高 R2值这一标准(high r 2value criterion)来 选择模型
根据回归结果有b1 LnY0的估计值 5.3593 如果取5.3593的反对数，得到：anti log(5.3593) 212.5761 即当t 0时的Y值，也即Y的初始值。本例中的样本初始于1975年，所以21（3 百万） 可以解释为1974年末的人口值。
9-41
5.4 如何测度增长率：半对数模型
9-40
R 2 0.998163
5.4 如何测度增长率：半对数模型
斜率0.0107表示:平均而言，lnY的相对变化率为 0.0107, Y的年增长率为1.07%。
因此，半对数模型又被称为增长模型，通常用此
模型来测量许多变量的增长率。 对截距5.3593解释如下：
令B1 InY0
Y ALB2 K B3 eu
其中， Y---表示产出， L---表示劳动投入， K---表示资本投入。
两边取对数后:
ln Yi ln A B2 ln Li B3 ln Ki ui
得到原模型的估计方程：ln Yˆ Bˆ1 Bˆ2 ln Li Bˆ3 ln Ki 因此，C-D 函数的估计形式为：
第5章 回归模型的函数形式
Essentials of Econometrics
第5章回归模型的函数形式
本章讨论以下几种形式的回归模型
(1) 双对数线性模型或不变弹性模型 (2) 半对数模型 (3) 倒数模型 (4) 多项式回归模型 (5) 过原点的回归模型，或零截距模型
9-2
5.1 如何度量弹性：双对数模型
引起Y的变化为100* B2 %
9-36
5.4 如何测度增长率：半对数模型
9-37
5.4 如何测度增长率：半对数模型
例5-4 1975-2007年美国人口取对数的数据
9-38
5.4 如何测度增长率：半对数模型
例5-4 1975-2007年美国人口取对数后对时间的散点图
图5-3 半对数模型
9-39
定义弹性E为：
E

Y变动的％ ＝ Y Y
X 变动的％
X X
100 100

Y X

X Y
斜率 X slope( X )
Y
Y
9-7
5.1 如何度量弹性：双对数模型
图5-1 不变弹性模型
9-8
5.1 如何度量弹性：双对数模型
例5.1 数学S.A.T分数函数
9-9
5.1 如何度量弹性：双对数模型
9-35
5.4 如何测度增长率：半对数模型
对数-线性模型中斜率 B2的经济意义：
LnYt B1 B2 X 2t ut
dLnY B2 dX
B2
1 Y
dY dX

dY /Y dX

Y的相对变化量 X的绝对变化量

Y / Y X
Y / Y B2 (X )
在对数线性模型中，X变化一个单位（X =1）
5.4 如何测度增长率：半对数模型
例5-4 1975-2007年美国人口取对数后对时间的回归结果
LnˆYt 5.3593 0.010748time se (0.001614)(8.28R 05)
t (3321.127)(129.7794)
p 0.000(0.0000)(0.0000)
9-15
5.2 比较线性和双对数回归模型
回归模型的函数形式成为一个经验性问题。 在模型选择过程中，要遵循哪些经验规律呢？
9-16
5.2 比较线性和双对数回归模型
9-17
5.2 比较线性和双对数回归模型
Yˆi = 432.4138+0.0013Xi Se= (16.9061)(0.000245) t= (25.5774)(0.0006) r2=0.7869
9-30
LnˆYt 1.6524 0.3397LnX 2t 0.8460LnX 3t se (0.6062)(0.1857)(0.09335) t (2.73)(1.83)(9.06)
p 0.014 (0.085)(0.0000)
R2 0.99508 Rˆ 2 0.99450 F 1719.335
9-18
P值=（5.85*10-9）（0.0006） d.f.=8
5.2 比较线性和双对数回归模型
如何来选择模型 规律之一是根据数据作图。如果散点图表
明两个变量之间的关系近似线性的(也即是一 条直线)，那么假定模型是线性的就比较合适。
但如果散点图表明变量之间的关系是非线 性的，则需要作logY对logX的图形，如果这 个图形表明它们之间是近似线性的，则假定 模型是对数线性模型就比较合适。(只适用于 双变量的情况)
平均弹性系数 Y X X Y
9-22
5.2 比较线性和双对数回归模型
数学S.A.T分数函数
X 56000 ,Y 507 .因而，本例的平均弹性 为：
根据上表，我们知道 X 56000,Y 507 因而，本例的平均弹性为：
平均分数弹性 0.0013 56000 0.1436 507
9-23
5.3 多元对数线性回归模型
假设建立如下随机多元指数模型：
Yi

AX X e B2 B3 ui 2i 3i
通过对原模型的对数变换，随机函数形式可变为：
ln Yi LnA B2 ln X 2i B3 ln X 3i ui
令变量
Y* i

ln
Yi
,
X
*
ki
ln
X ki
，B1 LnA 则回归函数可变为：
偏斜率系数 B2、 B3又称为偏弹性系数, B2是Y 对X2的弹性(X3保持不变,为一常量)， X2每变动 1%，Y变动的百分比。
同样, B3是Y对X3的弹性(X2保持不变,为一常 量) ，X3每变动1%，Y变动的百分比。
9-25
5.3 多元对数线性回归模型
例5-2 柯布-道格拉斯生产函数（C-D函数）
在样本区间内,美国人口年复合增长率为1.0757%. 3.两增长率的区别
9-42
5.4 如何测度增长率：半对数模型
5.4.2 线性趋势模型
Yt B1 B2t ut
9-13
5.1 如何度量弹性：双对数模型
数学S.A.T分数函数取对数后的回归结果
ˆInYi 4.887712773 0.1258045149InXi se (0.1573)(0.0148)
t (31.0740)(8.5095)
p (0.0000)(0.0000)
9-14
r2 0.900513
数学S.A.T分数函数取对数后的Excel数据
9-10
5.1 如何度量弹性：双对数模型
数学S.A.T分数函数取对数后的Eviews数据
9-11
5.1 如何度量弹性：双对数模型
图5-2数学S.A.T分数的双对数模型散点图
9-12
5.1 如何度量弹性：双对数模型
数学S.A.T分数函数取对数后的回归过程
5.3 多元对数线性回归模型
例 5-3 OECD国家的能源需求（1960-1982）
9-31
表5-3 OECD国家的能源需求（1960-1982）
5.3 多元对数线性回归模型
9-32
5.3 多元对数线性回归模型
9-33
LnˆYt 1.554555 0.997797LnX 2t 0.333169LnX 3t se (0.089630)(0.019008)(0.024179) t (17.34419)(52.49368)(13.77902)
Yi

AX
B2 i
两边求对数：
InYi InA B2InX i
令 B1 LnA
InYi B1 B2 InX i
9-4
5.1 如何度量弹性：双对数模型
得到模型---“双对数线性模型”
InYi B1 B2 InX i ui
问题：这样一个非线性模型是如何通过适当变换成为 线性模型的呢？
Y* i

B1

B2
X
*
2i

B3
X
*
3i
uiLeabharlann Baidu
根据解释变量的观测值，进行OLS估计，得到：
Yˆ * i

Bˆ1

Bˆ 2
X
*
2i

Bˆ3
Xˆ
*
3i
因此可得到原模型的估计方程：
ln Yˆi Bˆ1 Bˆ2 ln X 2i Bˆ3 ln X 3i
9-24
5.3 多元对数线性回归模型
InYi B1 B2InX 2t B2InX 3t ui
5.4.1 瞬时增长率与复合增长率
1. 根据半对数模型求的：lnY的相对变化率为0.0107，Y 的年增长率为1.07%。 2. 由于 b2 = B2 的估计值=ln(1+r)
所以 antilog(b2)=（1+r) r=antilog(b2)-1 =antilog(0.0107)-1=1.0108-1 =0.010757
dLnY B2dLnX
dY / Y Y的相对变化量 （Y / Y）100 B2 dX / X X的相对变化量 (X / X ) 100
在双对数模型中，X变化1%引起Y变化 B2 %
9-6
5.1 如何度量弹性：双对数模型
双对数线性模型的特点---不变弹性模型
斜率B2度量了Y对X的弹性，即 X的一个（微小） 变动引起 Y变动的百分比。
p 0.0000 (0.0000)(0.0000)
R2 0.994196 Rˆ 2 0.993615 F 1712.859
5.4 如何测度增长率：半对数模型
通常经济学家、工商业家和政府对某 一经济变量的增长率很感兴趣。比如说， 政府预算赤字规划就是根据预计的GNP增 长率这一最重要的经济活动指标而确定的。 类似地，联储根据未偿付消费者信贷的增 长率(自动贷款、分期偿还贷款等等)这一 指标来监视其货币政策的运行效果。