全微分及其运用(行业内容)

分
dy x x0
df (x0 )
f (x0 )dx
y f ( x0 ) x (x)
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一、全微分
哈 尔
引例
考察函数z f ( x, y) xy在( x , y )处对应 00
滨 工
自变量x, y的全增量:
程
大 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
x0
0
大
y0
学 即 f ( x, y)在( x , y )连续; 00
微 另一方面,函数z x2 y2 在(0,0)点连续, 但两
积
分 个偏导不存在,而偏导存在是可微的必要条件,从而
z x2 y2 在 (0,0)点不可微.
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哈 可微与可导的关系:
尔 滨
可微一定可导(偏导数存在), 可导未必可微.
工
程
定理 1 说明可微必可导,
大
学
而函数 z
10,,
xy xy
00在原点处可导,但不连续,
微 积
而连续又是可微的必要条件,从而此函数在原点处
分
不可微, 即可导未必可微.
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定理２(充分条件) 如果函数z f ( x0 , y0 )的偏导数
哈 尔
f x ( x, y), f y ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 )点连续，则该函数在
学
( x0 x)( y0 y) x0 y0 ( y0x x0y) xy
微 积
z是两部分的和: 第一部分为 y0x x0y ，当
分 ( x0 , y0 )固定后，它是x, y的线性函数；
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哈
第二部分为x y，当 (x)2 (y)2 0时，
尔 滨
它是比 更高级的无穷小，即x y o( ) ( 0).
定理d1z(可微f的x (必x要0 ,条y件0 ))x f y ( x0 , y0 )y .
微 积
如果函数 z f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 )点可微分，则
分
该函数在 P0 ( x0 , y0 )点处的两个偏导数必存在，且
函数z f ( x, y)在点P0 ( x0 , y0 )的全微分为
工
程 大 学
0 | x y | x y 1 说明
(x)2 (y)2 2
x y o( ) ( 0)
微
积
由此可见, 当 很小时, | x y |更小, 从而函数z xy
分
的全增量z可近似地由第一部分 x0x y0y 代替. 这个第
一部分是很重要的. 为此我们引入全微分的概念.
0
0
微
称 A x B y为函数在z f ( x, y)在( x , y )点
0
0
积 分
相应于自变量增量x, y的全微分, 记为 dz, 即.
dz A x B y
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全微分的两个性质：
哈
dz A x B y
尔 滨
(1) dz是x与y的线性函数
工
z dz o( ) ( 0)
了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的 概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法 求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会 解一些简单应用题。
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4
重点与难点
重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概 念，多元复合函数的求导法则，用拉格 朗日条件极值求最大值应用问题，方向 导数与梯度。
滨 P ( x , y )点可微．
工
000
程 证 由拉格朗日中值定理, 我们知，
大 学
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
[ f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 y)]
微 积
[ f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )]
《微积分》A
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哈 尔 滨 工 程 大 学
微 积 分
－ －理 理学 学院 院工工科科数数学学教教学学中中心心－－
第八章 多 元 函 数 微 分 学
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3
教学内容和基本要求
理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上 连续函数的性质。 理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必 要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌 握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的 求法。会求隐函数的偏导数和全导数。
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定义 设函数z f ( x, y)在( x, y)的某邻域内有定义.
哈
尔 滨
若存在与x, y无关的常数 A, B使 得
工 程 大
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) Ax By o( ) ( 0) (x)2 (y)2
学 则称函数z f ( x, y)在( x , y )点是可微的. 此时,
积
分
dz f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y.
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哈 可微与连续关系: 可微一定连续, 连续未必可微.
尔 滨
事实上, 由z Ax By o( )( 0)
工 程
我们得到 lim z lim[A x B y o( )] 0,
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哈 尔
dz f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y .
滨
工 证 在 z Ax By o( ) 中 ， 令 y 0 , 得 到 ：
程
大 学
z A o(| xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ|)
x
x
f x ( x0 , y0 )
z
lim
x0 x
A.
微 同理, f y ( x0 , y0 ) B,进而
难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。
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5
§8.3 全微分及其应用
哈 尔
回 忆 ： 一 元 函 数 的 微 分概 念
滨
工 程
y f ( x0 x) f ( x0 ) a x (x)
大
学 dy xx0 df ( x0 ) a x (x 0)
微 积
f ( x0 ) a
程
大 学
(2) (z- dz)是关于的高阶无穷小
微
全微分是什么
积
分
全微分是全增量的线性主部
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哈
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函
尔 滨
数在 D 内可微分.
工 程
下面我们讨论函数z f ( x, y)在 P0 ( x0 , y0 )点的
大 学
可微性、可导性和连续性的关系.