《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案

第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题
1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？
2．简述对偶单纯形法的计算步骤。

它与单纯形法的异同之处是什么？
3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？
4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？
5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？
6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？
7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k
n σ（标准形为
求最小值），其经济意义是什么？
8．将i j j
i b
c a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确
1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。

2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。

3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。

4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。

5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。

6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>*
i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。

7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=*
i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。

8．对于i j j
i b
c a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。

9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。

10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0<i x ，且i x 所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。

三、写出下列线性规划的对偶问题
（1）32123max x x x Z ++= （2）4321322max x x x x z +++=
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≤++≤-+≤++0,,92372452321321321321x x x x x x x x x x x x ； ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≥+--=+-≤+++无约束4321431
3214321,,0,313212
x x x x x x x x x x x x x x ；
（3）32132min x x x z --= （4）212min x x x z ++=
⎪
⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥=++-≥--≤+-无约束321321321321,0,1042742523x x x x x x x x x x x x ； ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≥-+-=--≤++无约束321321321321,0,3453532722x x x x x x x x x x x x ；
（5）321347max x x x z +-= （6）321345min x x x z +-=
⎪
⎪
⎩⎪⎪
⎨
⎧≤≥=+≥--≤-+无约束23132321221,0,030351546324
624x x x x x x x x x x x ； ⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨
⎧≥=+≤-+≥+无约束1323232131
,0,306415458872x x x x x x x x x x 。

四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题
（1）32123min x x x Z ++= （2）321422max x x x z ++=
⎪
⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≥-≥-≤++0,,346
3213231
321x x x x x x x x x x ； ⎪
⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≤++≤++≥++0,,5643732532321321321321x x x x x x x x x x x x ；
（３）43211216812min x x x x z +++= （４）321425min x x x z ++=
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥++≥++0
,,,342224243214213
21x x x x x x x x x x ； ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥++≥++0,,125367
23321321421x x x x x x x x x ；
五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时
j
c
与i b 的变化范围。

（１）1213max x x x z ++= （２）4211935089max x x x z x +++=
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤++≤++0
,,3232
22321321321x x x x x x x x x ； ⎪⎩⎪
⎨
⎧≥≤+≤+++0
,,,6418
410234321434321x x x x x x x x x x ；
（３）32134max x x x z ++= （４）432181026max x x x x z +++=
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,622422*********x x x x x x x x x ； ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≥≤++-≤++-≤--+0,,,1032425823320
44654321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ．
六、已知下表（表3—1）为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为松弛变量，问题的约束为 ≤ 形式
（２）写出原问题的对偶问题；
（３）直接由表３—１写出对偶问题的最优解。

七、某厂利用原料Ａ、Ｂ生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利
润及有关数据如表1—4所示，分别回答下列问题：
（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划；
（2）若产品乙、丙的单件利润不变，产品甲的利润在什么范围变化，上述最优解不变？ （3）若有一种新产品丁，其原料消耗定额：Ａ为３单位，Ｂ为２单位，单件利润为２．５
单位．问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划； （4）若原材料Ａ市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原材料Ｂ如数量不足可去市场购
买，单价为０．５，问该厂应否购买，以够劲多少为宜？
（5）由于某种原因该厂决定暂停甲产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划．
八、某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过Ａ、Ｂ、Ｃ三种设备加工。

已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润见表３—４。

（２）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到
50/6 ，求最优生产计划。

（４）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？
（５）设备A 的能力如为100+10θ ，确定保持原最优基不变的θ 的变化范围。

（６）如有一种新产品丁，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1、4、3小时，预期每件
的利润为8元，是否值得安排生产？
（７）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。

《运筹学》
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题解答
二．解：（1）√ （2）√（3）X （4）√(5) √（6）√（7）X （8）X （9）X （10）X 三、（1）
3
21975min y y y w ++= （2）
3
21312min y y y w +-=
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≥≥+-≥++≥++0,,12222334321321321321y y y y y y y y y y y y ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧≤≥=+=-+≥-≥++无约束
231
3132121321,0,0133222y y y y y y y y y y y y y ；
（3）3211075max y y y w ++= （4）321356max y y y w ++=
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧≥≤-=+--≤+--≤-+无约束321321321321,0,0342224123y y y y y y y y y y y y ； ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≤=--≤+-≤-+0
,02
421531322321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束， （5）321301524min y y y w ++= （6）32130158max y y y z ++= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤+---=+-≥+无约束32132132121,0,033464562734y y y y y y y y y y y ； ⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧≤≥≤+--≤+=+无约束3213213221,0,03647445582y y y y y y y y y y 。

四、解：（1）用对偶单纯形法求得的最终单纯形表如下：
表 ３—１
由于基变量4x 所在行的
j
i a 值全为非负，故问题无可行解。

（２）最优解为 T
X z ]0,2.1,2.0[,8.2==*
； （３）最优解为 T
X z ]0,0,1,5.0[,14==*
；
（４）最优解为 T
X z ]
0,2,34
[
,332
==
*
；
五、解：用单纯形法求得的最终单纯形表分别见表 ３— ２(1) , 2(2) , 2(3) , 2(4) ． （1）
且 +∞<≤≤<∞-≤<∞-3212,5
.1,3
c c c ；
+∞<≤≤≤211,60b b 。

(2)
且 205.18,525.47,26,134321≤≤≤≤≤≤∞-≤<∞-c c c c ；
2.75.4,24
1521≤≤≤≤b b 。

（3）
且 42,6
3,3
321≤≤≤≤≤<∞-x c c ；
84,6
321≤≤≤≤b b 。

(4)
资源3的影子价格为7/16 ，资源2的影子价格为5/8 。

且 4
21415,31638,833
.2833.1321≤≤≤≤≤≤x c c ；
3408,248,326322,114321≤≤≤≤≤≤+∞<≤b b b b 。

六、解：（１）原线性规划问题：3211026max x x x z +-=
⎪⎩⎪
⎨⎧
≥≤+-≤+0
,103522132122x x x x x x x ；
（２）原问题的对偶规划问题为：
21105min y y w +=
⎪
⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≥+-≥-≥0,1022632121212y y y y y y y ；
（３）对偶规划问题的最优解为：)2,4(=*
Y 。

七、解：（１）设321,,x x x 分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为 32154m a x x x x z ++=
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤++≤++0
,,3054345536321321321x x x x x x x x x ；
得此问题的最终单纯形表如下：（表 3—3）
可得T
X
]3,0,5[=*
，35=*z ；
（2）产品甲的利润变化范围为 [ 3，6 ] 。

（3）安排生产丁有利，新最优计划为生产产品丁15件，而0321===x x x ； （4）购进原料B 15单位为宜；
（5）新计划为 30,]
6,0,0[==*
*z X T 。

八、解：（1）设321,,x x x 分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为
3214610max x x x z ++=
⎪
⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≤++≤++≤++0,,3006226005410100321321321321x x x x x x x x x x x x ；得此问题的最终单纯形表如下：（表 3—
4）
可得T
X
]0,3/200,3/100[=*
，3/2200=*z ；
（2）T
X ]25,6/275,6/175[=*
；
（3）1561≤≤c ； （4）54≤≤-θ； （5）该产品值得安排生产； （6）T
X ]10,3/175,3/95[=*。