矩阵特征值问题的数值解法
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0.25,以二阶均差代替二阶导 数，按自然Байду номын сангаас序离散化 可得下列矩阵特征值问 题
1 Bu u,
h2
其中矩阵B和向量u分别与第5章首先叙述的实例中的分数矩阵和求解向量 相同。在电磁学、机械和结构振动等问题也会遇到类似的（或更复杂的） 固有值、临界值等问题，所以特征值的计算有重要的意义。 因为一般不能通过有限 次运算准确求解方程 （） 0的根，而且有的问题
第7章
第七章 特征值与特征向量的数值求法
矩阵特征值问题的数值解法
教学目的 1. 掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法； 2. 掌握求矩阵特征值的QR方法。
教学重点及难点 重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及
反幂法求矩阵特征值的QR方法； 难点是求矩阵特征值的带原点位移的QR方法。
第七章 特征值与特征向量的数值求法
称（）为特征多项式。方程 （） 0有n个根，包括重根和复根 。
在很多科学与工程问题中会遇到特征值和特征向量的计算。例如， 弹性薄膜的固有振动问 题可描述为：求 和非零函数 u（x, y)，满足
(u xx u yy ) u, (x, y) ,
u 0, (x, y) 。
第七章 特征值与特征向量的数值求法 为了简单，取 （x, y) : 1 x, y 1, 为的边界。若取x y h
(1)对任何非零向量x Rn ,有n R(x) 1。
(2)1
max
0 xRn
R(x)
R(x1 )。
(3)n
min
0 xRn
R(x)
R(xn )。
证：设x 0，则有表达式
第七章 特征值与特征向量的数值求法
n
x i1 i xi ,
n
(x, x)
2
i1 i
0,
n
n
n
n
2
i1 i
i 1
第七章 特征值与特征向量的数值求法
定义7.1: 设A为n阶实对称矩阵 , 对于任一非零向量 x, 称
R(x) ( Ax, x) (x, x)
为对应于向量x的Rayleigh商.
定理7.3 设A为n阶实对称矩阵,其特征值都为实数,排列为
1 2 ...... n ,
对应的特征向量 x1, x2 ,...... xn组成正交向量组 ,则有
(I A)x 0。
记x (x1, x2 ,.....,xn )T , xi max xk ,则xi 0,
n
( aii )xi
j 1, j i
aij
x
。
j
由于 x j / xi 1( j i),有
aii
j i
aij
x j / xi
j i
aij
.
说明属于Di .定理得证.
从定理的证明可见,如果一个特征向量的第i个分量按模最大,则对应 的特征值一定属于第i个圆盘中.利用定理7.2,我们可以由A的元素估计 特征值的范围.A的n个特征值均落在n个圆盘上,但不一定每个圆盘都有 一个特征值.
2 i
i
( Ax,
x)
1
i 1
2。
i
由此可见,(1)成立,(2)和(3)是显然的.定理得证.
对于复矩阵A C n*n ,亦有类似性质, 但应注意" A为对称阵"应改为" A为 Hermite阵”，即AH A,其特征值都是实数，特征向量也构成正交向量组.
7.1 特征值问题的性质与估计
第7章
第七章 特征值与特征向量的数值求法
矩阵特征值问题的数值解法
对于矩阵 A R n*n (或C n*n ), 特征值问题是求 C及非零向量 x, 使
Ax x
称为矩阵A的特征值, x为对应于的特征向量.上述方程是一个非线性 方
程组，它有非零解x的充要条件是
（） det(I A) n c1n1 ..... cn1 cn 0
只需要求部分特征值和 特征向量,因此特征值问题的数值 方法通常采用迭代法 .
第七章 特征值与特征向量的数值求法
7.1 特征值问题的性质与估计
定理7.1设A n
(aij
)
Rn*n , i
(i
1,2,......,n)是A的特征值,则有
(1)
i 1
i
det( A)
n
n
(2)
i 1
i
i 1
aii
tr( A),称之为A的迹.
定理7.2(Gershgorin圆盘定理)设矩阵A (aij ) C n*n ,则A
的每一个特征值
n
u
i 1
Di
,
其中Di为第i个圆盘 :
Di
z
:
z
aii
n
a j1, ji ij
, i
1,2,.....,
n。
第七章 特征值与特征向量的数值求法
证 : 设为A的任意一个特征值 , x 0为对应的特征向量 ,即
1 Bu u,
h2
其中矩阵B和向量u分别与第5章首先叙述的实例中的分数矩阵和求解向量 相同。在电磁学、机械和结构振动等问题也会遇到类似的（或更复杂的） 固有值、临界值等问题，所以特征值的计算有重要的意义。 因为一般不能通过有限 次运算准确求解方程 （） 0的根，而且有的问题
第7章
第七章 特征值与特征向量的数值求法
矩阵特征值问题的数值解法
教学目的 1. 掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法； 2. 掌握求矩阵特征值的QR方法。
教学重点及难点 重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及
反幂法求矩阵特征值的QR方法； 难点是求矩阵特征值的带原点位移的QR方法。
第七章 特征值与特征向量的数值求法
称（）为特征多项式。方程 （） 0有n个根，包括重根和复根 。
在很多科学与工程问题中会遇到特征值和特征向量的计算。例如， 弹性薄膜的固有振动问 题可描述为：求 和非零函数 u（x, y)，满足
(u xx u yy ) u, (x, y) ,
u 0, (x, y) 。
第七章 特征值与特征向量的数值求法 为了简单，取 （x, y) : 1 x, y 1, 为的边界。若取x y h
(1)对任何非零向量x Rn ,有n R(x) 1。
(2)1
max
0 xRn
R(x)
R(x1 )。
(3)n
min
0 xRn
R(x)
R(xn )。
证：设x 0，则有表达式
第七章 特征值与特征向量的数值求法
n
x i1 i xi ,
n
(x, x)
2
i1 i
0,
n
n
n
n
2
i1 i
i 1
第七章 特征值与特征向量的数值求法
定义7.1: 设A为n阶实对称矩阵 , 对于任一非零向量 x, 称
R(x) ( Ax, x) (x, x)
为对应于向量x的Rayleigh商.
定理7.3 设A为n阶实对称矩阵,其特征值都为实数,排列为
1 2 ...... n ,
对应的特征向量 x1, x2 ,...... xn组成正交向量组 ,则有
(I A)x 0。
记x (x1, x2 ,.....,xn )T , xi max xk ,则xi 0,
n
( aii )xi
j 1, j i
aij
x
。
j
由于 x j / xi 1( j i),有
aii
j i
aij
x j / xi
j i
aij
.
说明属于Di .定理得证.
从定理的证明可见,如果一个特征向量的第i个分量按模最大,则对应 的特征值一定属于第i个圆盘中.利用定理7.2,我们可以由A的元素估计 特征值的范围.A的n个特征值均落在n个圆盘上,但不一定每个圆盘都有 一个特征值.
2 i
i
( Ax,
x)
1
i 1
2。
i
由此可见,(1)成立,(2)和(3)是显然的.定理得证.
对于复矩阵A C n*n ,亦有类似性质, 但应注意" A为对称阵"应改为" A为 Hermite阵”，即AH A,其特征值都是实数，特征向量也构成正交向量组.
7.1 特征值问题的性质与估计
第7章
第七章 特征值与特征向量的数值求法
矩阵特征值问题的数值解法
对于矩阵 A R n*n (或C n*n ), 特征值问题是求 C及非零向量 x, 使
Ax x
称为矩阵A的特征值, x为对应于的特征向量.上述方程是一个非线性 方
程组，它有非零解x的充要条件是
（） det(I A) n c1n1 ..... cn1 cn 0
只需要求部分特征值和 特征向量,因此特征值问题的数值 方法通常采用迭代法 .
第七章 特征值与特征向量的数值求法
7.1 特征值问题的性质与估计
定理7.1设A n
(aij
)
Rn*n , i
(i
1,2,......,n)是A的特征值,则有
(1)
i 1
i
det( A)
n
n
(2)
i 1
i
i 1
aii
tr( A),称之为A的迹.
定理7.2(Gershgorin圆盘定理)设矩阵A (aij ) C n*n ,则A
的每一个特征值
n
u
i 1
Di
,
其中Di为第i个圆盘 :
Di
z
:
z
aii
n
a j1, ji ij
, i
1,2,.....,
n。
第七章 特征值与特征向量的数值求法
证 : 设为A的任意一个特征值 , x 0为对应的特征向量 ,即