条件概率课堂讲解
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这 两 个 人 谁 更 对 呢 ？ 为 什 么 ？
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
14
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5.
则 A 表i 示“第i个人未抽到入场券”
显然，P(A1)=1/5，P( A 1 )＝4/5
也就是说， 第1个人抽到入场券的概率是1/5.
15
概率论
1
第三讲 条件概率与事件的独立性
• 本讲要点 • 1.理解条件概率的概念 • 2.理解事件独立性的概念 • 3.理解伯努利定理 • 4.应用上述概念与定理解决简单问题
2
条件概率
例：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点} P ( A ) 1
6 问假设事先知道抛出的是偶数点则事件A发生的概率
• 假设有n个事件 A1,A2, An，（n>2）,且
P(A1A2 An)0
12
一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券 5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,让5个人依次抽取.
13
大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会 都 一样大.”
P ( A 3 ) P ( A 1 A 2 A 3 ) P ( A 1 ) P ( A 2 |A 1 ) P ( A 3 |A 1 A 2 )
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.
这就是有关抽签顺序问题的解答.
通常成为
抽签原理问题.
PBAP(B) PABP(A)
• 定理： A,B相互独立 P (A B ) P (A )P (B )
定 理 由 乘 法 原 理 ， 可 以 推 出 . 这 是 一 个 常 用 的 公 式
19
例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
问事件A、B是否独立？
1 非:负 对性 于任 B ,P B 意 |A 的 0; 事
2 规 范 性 :P |A 1 ;
3 可 数 可 加 性 : 设 B 1 , B 2 , 是 两 两 互 斥 事 件 , 则 有
Pi 1Bi Ai 1PBi A
所 有 在 第 二 讲 中 证 明 的 性 质 对 条 件 概 率 都 成 立 .
解 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2,
P(AB)=2/52=1/26.
可见,
P(AB)=P(A)P(B)
故 事件A、B独立.
事 实 上 ， 判 断 事 件 的 独 立 性 通 常 靠 经 验 。 用 公 式 判 断 通 常 比 较 复 杂 ， 也 没 有 必 要 。 20
10
课后证明
• 假设 B1 B2 证明：
P (B 1 B 2A ) P (B 1A ) P (B 2A )
11
乘法公式
• 由条件概率公式可以推出
P(AB)P(B)P(AB)P(A)P(B A)
• 我们把上面的式子称为乘法公式.
• 利用乘法公式可以计算两个事件同时发生 的概率
• 乘法公式可以推广：
15
10
• (1)在刮风的条件下，下雨的概率.
• (2)在下雨的条件下，刮风的概率.
• 分析：设A={刮风} B={下雨}
P(A) 4 , 15
P(B) 2 15
P(AB) 1 10
7
• 由条件概率的定义得到：
P(B A) P ( A B ) 1 15 3 P ( A ) 10 4 8
在事件B发生的条件下求事件A发生的概率就称 为条件概率，记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
3
分析：已知事件B发生，此时试验所
有可能结果就变少了，即样本空间减缩 了
掷骰子
{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } { 2 ,4 ,6 }
P(A|B)即在新的样本空间下求A发生 的概率
17
事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然事件B的发生,并不影响事件A发生的概率,这时 称事件A、B独立.
即
P(A|B)=P(A)
18
定义
• 如果事件A,B的发生不相互影响，则称事件A,B相 互独立.
• 若A,B相互独立，则有
P (B )
5
条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称
P(A| B) P(AB)
(1)
P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
A ABB
若事件B已发生, 则样本空 间发生变化，B 则事件A在 新的样本空间中概率就是
P(A B) P(AB)
P(B)
6
例子
4
• 1概.某率地是区2一年，内既刮刮风风的又概下率雨是的1概5 率,是下雨1 的求:
例如
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，
故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
21
思考
• 事件A与B互不相容与A和B相互独立是一回 事吗？如图事件A与B相互独立吗？
由于 A2 A1A2
由乘法公式
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人
肯定没抽到.
P (A 2)P (A 1 )P (A 2|A 1 )
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到，计算得：
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
16
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
P(A B)
P(AB) P (B )
1 15 3 10 2 4
8
课堂练习
• 某人有一笔资金，他投入基金的概率是0.6， 购买股票的概率是0.3，两项都投资的概率 是0.2.
• （1）已知他已投入基金，再购买股票的概 率有多大？Hale Waihona Puke Baidu
• （2）已知他已购买股票，再投入基金的概
率有多大？
1
2
3
3
9
条件概率的性质(自行验证)
P(A B) 1 P ( A B ) 3 P(B)
4
又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正 品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取 一件，记
A={取到一等 品}， B={取到正品}
P(A )=3/10，
P(A|B) 3 7
P(AB) P (B )
事 实 上 ， 可 以 证 明 ： P (AB )P (A B )
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
14
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5.
则 A 表i 示“第i个人未抽到入场券”
显然，P(A1)=1/5，P( A 1 )＝4/5
也就是说， 第1个人抽到入场券的概率是1/5.
15
概率论
1
第三讲 条件概率与事件的独立性
• 本讲要点 • 1.理解条件概率的概念 • 2.理解事件独立性的概念 • 3.理解伯努利定理 • 4.应用上述概念与定理解决简单问题
2
条件概率
例：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点} P ( A ) 1
6 问假设事先知道抛出的是偶数点则事件A发生的概率
• 假设有n个事件 A1,A2, An，（n>2）,且
P(A1A2 An)0
12
一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券 5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,让5个人依次抽取.
13
大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会 都 一样大.”
P ( A 3 ) P ( A 1 A 2 A 3 ) P ( A 1 ) P ( A 2 |A 1 ) P ( A 3 |A 1 A 2 )
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.
这就是有关抽签顺序问题的解答.
通常成为
抽签原理问题.
PBAP(B) PABP(A)
• 定理： A,B相互独立 P (A B ) P (A )P (B )
定 理 由 乘 法 原 理 ， 可 以 推 出 . 这 是 一 个 常 用 的 公 式
19
例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
问事件A、B是否独立？
1 非:负 对性 于任 B ,P B 意 |A 的 0; 事
2 规 范 性 :P |A 1 ;
3 可 数 可 加 性 : 设 B 1 , B 2 , 是 两 两 互 斥 事 件 , 则 有
Pi 1Bi Ai 1PBi A
所 有 在 第 二 讲 中 证 明 的 性 质 对 条 件 概 率 都 成 立 .
解 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2,
P(AB)=2/52=1/26.
可见,
P(AB)=P(A)P(B)
故 事件A、B独立.
事 实 上 ， 判 断 事 件 的 独 立 性 通 常 靠 经 验 。 用 公 式 判 断 通 常 比 较 复 杂 ， 也 没 有 必 要 。 20
10
课后证明
• 假设 B1 B2 证明：
P (B 1 B 2A ) P (B 1A ) P (B 2A )
11
乘法公式
• 由条件概率公式可以推出
P(AB)P(B)P(AB)P(A)P(B A)
• 我们把上面的式子称为乘法公式.
• 利用乘法公式可以计算两个事件同时发生 的概率
• 乘法公式可以推广：
15
10
• (1)在刮风的条件下，下雨的概率.
• (2)在下雨的条件下，刮风的概率.
• 分析：设A={刮风} B={下雨}
P(A) 4 , 15
P(B) 2 15
P(AB) 1 10
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• 由条件概率的定义得到：
P(B A) P ( A B ) 1 15 3 P ( A ) 10 4 8
在事件B发生的条件下求事件A发生的概率就称 为条件概率，记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
3
分析：已知事件B发生，此时试验所
有可能结果就变少了，即样本空间减缩 了
掷骰子
{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } { 2 ,4 ,6 }
P(A|B)即在新的样本空间下求A发生 的概率
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事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然事件B的发生,并不影响事件A发生的概率,这时 称事件A、B独立.
即
P(A|B)=P(A)
18
定义
• 如果事件A,B的发生不相互影响，则称事件A,B相 互独立.
• 若A,B相互独立，则有
P (B )
5
条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称
P(A| B) P(AB)
(1)
P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
A ABB
若事件B已发生, 则样本空 间发生变化，B 则事件A在 新的样本空间中概率就是
P(A B) P(AB)
P(B)
6
例子
4
• 1概.某率地是区2一年，内既刮刮风风的又概下率雨是的1概5 率,是下雨1 的求:
例如
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，
故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
21
思考
• 事件A与B互不相容与A和B相互独立是一回 事吗？如图事件A与B相互独立吗？
由于 A2 A1A2
由乘法公式
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人
肯定没抽到.
P (A 2)P (A 1 )P (A 2|A 1 )
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到，计算得：
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
16
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
P(A B)
P(AB) P (B )
1 15 3 10 2 4
8
课堂练习
• 某人有一笔资金，他投入基金的概率是0.6， 购买股票的概率是0.3，两项都投资的概率 是0.2.
• （1）已知他已投入基金，再购买股票的概 率有多大？Hale Waihona Puke Baidu
• （2）已知他已购买股票，再投入基金的概
率有多大？
1
2
3
3
9
条件概率的性质(自行验证)
P(A B) 1 P ( A B ) 3 P(B)
4
又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正 品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取 一件，记
A={取到一等 品}， B={取到正品}
P(A )=3/10，
P(A|B) 3 7
P(AB) P (B )
事 实 上 ， 可 以 证 明 ： P (AB )P (A B )