等比数列 第二课时

等比数列（第二课时）

➢ 教学重点：

等比数列的性质．若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则

(1) 当q>1，a 1>0或01， a 1<0，或00时，{a n }是递减数列；当q=1时，{a n }是常数列；当q<0时，{a n }是摆动数列．

(2) a n ≠0，且a n a n+2>0．

(3) a n =a m q n-m (n,m ∈N *)．

(4) 当n+m=p+q(n,m,p,q ∈N *)时，有a n a m =a p a q ．

(5) 当{a n }是有穷数列时，屯首末两项等距离的两项的积都相等，且等于首末两项的积．

(6) 数列{λa n }(λ为不等于零的常数)仍是公比为q 的等比数列.

(7) 若{b n }是公比为q ′的等比数列,则数列{a n • b n }是公比为q q ′的等比数列.

(8) 数列}1{n

a 是公比为q 1的等比数列. (9) 在{a n }中，每隔k(k ∈N *)项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列,且公比为q k+1．

(10) 若m 、n 、p(m 、n 、p ∈N *)成等差数列时，a m ,a n ,a p 成等比数列．

➢ 教学难点：等比数列性质的应用．

➢ 教学过程：

一、复习

等比数列的定义，通项公式，中项．

例1：1、在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a ．

解：∵109181a a a a =，∴205

100110918===a a a a 2、在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前七项之积．

解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b =

∵5362712

4b b b b b b b ===，

∴前七项之积()2187333732==⨯

3、在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，求8a ．

解：14582

5454255358-=-⨯=⋅==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-⨯=a

∴14588-=a ．

二、判断一个数列是否成GP 的方法

1、定义法；

2、中项法；

3、通项公式法．

例2：已知无穷数列ΛΛΛΛ,10

,10,10,1051525150-n ， 求证：（1）这个数列成GP

（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的10

1， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．

证：（1）515

2511101010==---n n n n a a （常数）∴该数列成GP ． （2）10110101015

4515===-+-+n n n n a a ，即：5101+=n n a a ． （3）52

51

51

101010-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p ．

∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1，∴⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈--+51n 52

1010q p ，（第1-+q p 项）．

例3：设d c b a ,,,均为非零实数，()

()0222222=+++-+c b d c a b d b a ，求证：c b a ,,成GP 且公比为d ．

证一：关于d 的二次方程()()022

2222=+++-+c b d c a b d b a 有实根， ∴()()0442222≥+-+=∆b a c a b ，∴()022≥--ac b

则必有：02=-ac b ，即ac b =2

，∴c b a ,,成GP

设公比为q ，则aq b =，2aq c =代入

()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a

∵()0122≠+a q ，即0222=+-q qd d ，即0≠=q d ． 证二：∵()

()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b

abd d a ∴()()022=-+-c bd b ad ，∴b ad =，且c bd =

∵d c b a ,,,非零，∴d b c a b ==．