磁场的性质 高斯定理和环路定律

dφ
∫
L
v B
⋅
d
v l
=
0
4.空间存在多个长直电流时
I1 I4
I2 I3
L
¾安培环路定理
由磁场叠加原理
r B
=
r B1
+
r B2
+
L
+
r Bn
∫∫ ∫ ∫ ∫ =
rr B ⋅ dl = Lr r L B1 ⋅ dl
+
L
rr (B1 +B2
rr L B2 ⋅ dl
+L+ +L+
rr Bn ) ⋅ dl
第二讲 磁场的性质
容易混淆的静电场与稳恒磁场公式比较
点电荷电场
相对于观察者以
ur 匀速
电流元
r Idl
的磁场
直线运动的点电荷的磁场
r E
=
q rr 4πε 0 r 3
r B
=
μ 0q ur × rr 4π r 3
r dB
=
μ
0
r Idl
×
rr
4πr 3
无限长均匀带电直线的电场 无限长直电流的磁场
E= λ 2πε 0r
s
∫ ∫ ∫ s r
rs r
rs
r
r
= Br ⋅ d S + Bz ⋅ d S + Bz ⋅ d S
side
right
left
∫ ∫ = Br ⋅ 2π rl + Bz ⋅ d S − Bz ⋅ d S =Br 2π rl = 0
所以
right
Br = 0。
⇒
r B
=
left
Bz
evz
第二讲 磁场的性质
R2 R1
rBv1<=R01
I
I
1 22 3
R1 ≤ r ≤ R2
B
2=
μ0I 2πr
r > R2
v B3
=
0
第二讲 磁场的性质
的磁场分布
解题步骤：
(1)分析磁场的对称性；
(2)过场点选择适当的路径，使得
r B
沿此环路的积
分易于计算
(3)求出环路积分；
(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的
正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
度
r B
的大小。
第二讲 磁场的性质
例1. 已知无限长密绕螺线管轴线上的磁感应强度B=μ0nI, 试证:管内为均匀磁场,管外无磁场。 模型：螺距为零，视为一系列平行圆电流紧密排列。
L
L
= 0 + Bφ 2π r + 0 = μ0 ⋅ 0
所以 Bφ = 0 。
第二讲 磁场的性质
3
Br
v B?
r P Bφ Bz
Bv
l
++++++++++++
半过径场为点∫ PrBr，，⋅ d由作Sr高一=斯∫个Br定轴r ⋅理对d Sr称+∫s的B∫r 圆⋅BrdzS柱rd=S面r0+为∫ 高Brϕ斯d 面Sr ，长为 l ,
1 证明：B方向只能与轴线平行。
v
Br
B?
P Bφ Bz
Bv
L
++++++++++++
∫ ∑ 证明：设场点P处
v B
=
Br evr
+
Bφ evφ
过场点P作轴对称的圆形环路L：
+BvB⋅z
evzv dl
=
μo
I内
∫
v B
⋅
d
v lຫໍສະໝຸດ Baidu
=
∫
r Br
⋅
d
r l+
∫
r Bφ
⋅
d
r l
+
Lr
∫ Bz
⋅
d
r l
L
L
第二讲 磁场的性质
2-0 回顾 2-1 磁场高斯定理 2-2 安培环路定理 2-3 安培环路定理的应用
第二讲 磁场的性质
2.0 回顾 1.用毕 —
沙定律求 Br 分布
（1）将电流视为电流元集合（或典型电流集合）
（2）由毕
—
沙定律（或典型电流磁场公式）得
r dB
（3）由叠加原理：Br
2.电流的磁矩
r Pm
∫ o′
L′
r
dl //
rr
rr
= =
L
B⋅ r
dl// r
+
L B ⋅ dl// +
L
0
B ⋅ dl⊥ cosθ =
0
= μ0I
第二讲 磁场的性质
3 电流在回路之外
v B1
v B2
dφ I
r1
v dl1
v dl2
r2
L
第二讲 磁场的性质
B1
=
μ0I 2π r1
，
B2
=
μ0I 2π r2
v B1
⋅
Bdvlv1B1v⋅1=d⋅ dl−v1lvB1+v2=B⋅=vd2−lv⋅2dμ2=lv02π−I=dμ2φ00πI
环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所 有电流在空间产生磁场的叠加。
安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒 定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安 培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。 静电场的高斯定理说明静电场为有源场，环 路定理又说明静电场无旋；稳恒磁场的环路 定理反映稳恒磁场有旋，高斯定理又反映稳 恒磁场无源。
第二讲 磁场的性质
1. 回路为圆，且与导线垂直
∫L
v B
⋅
v dl
=
∫
μ0I dl 2πR
v I Bv
dl
∫ = μ0 I
2πR
dl
L
= μ0I
oR
L
∫ ∫ 若电r流反r 向：2π R B ⋅ dl =
μ0 I
dlcosπ
L
0 2π R
B = μ0I 2πR
（ L 与 I 成右螺旋系 ）
∫ = − μ0I
2.磁通量
v B
v
dSθ
s
v B
通过某一曲面的磁感线数 为通过此曲面的磁通量.
微元分析法（以平代曲，以恒代变）
dΦm
=
Bv ⋅
v dS
= BdS cosθ
∫ Φm =
v B
⋅
v dS
s
单位 1Wb = 1T ×1m2
对封闭曲面，规定外法向为正方向。
进入的磁感应线 φm < 0 穿出的磁感应线 φm > 0
r B
=
μ0Rσ
ωr
第二讲 磁场的性质
例2 载流螺绕环的磁场分布（ R1 . R2 . N . I ）
I,N
o R1
R2
对称性分析：
Br大小相等的点的集合：同心圆环
环上各点
r B
方向：切向
I,N
∫ ∑ L
r B
⋅
r dl
=
B
⋅
2πr
=
μ0
I内
o R1
r < R1 , r > R2 :
r
R2
L
∑ I内 = 0
(⊥带电直线） B = μ 0 I 2π r
（环绕电流）
第二讲 磁场的性质
2-1 磁场的高斯定理
描述空间矢量场一般方法
用场线描述场的分布
用高斯定理，环路定理揭示场的基本性质
1.磁感应线
切向：该点Br 方向 疏密：正比于该点
Br的大小
B = ΔN ΔS
I
S
I
ΔS
v B
S
N
N
特点
第二讲 磁场的性质
闭 与合 载，流回或路两互端相伸套向联无；穷远；电间流满与足磁右感手应定线则 互不相交.
2π R
2π 0
R
dl
=
− μ0 I
I
规定
与L 绕向成右旋关系 I > 0 与L 绕向成左旋关系 I < 0
L
o
rr B
∫ 统一为：
L
v B
⋅
v dl
=
μ0 I
（ L 与 I 成左螺旋系 ）
第二讲 磁场的性质
2 任意回路但Br与长直导∫ L线Br 垂• d直lr = ∫ L B cos θ dl
L I dϕ r
第二讲 磁场的性质
比较
高斯定理
静电场
∫ ∑ r r E ⋅dS
=
1
S
ε0
q内
有源场
稳恒 磁场
∫SBr ⋅
r dS
=
0
无源场
环路定理
∫LEr
⋅
r dl
=
0
保守场、有势场
∫ ∑ r
B
L
⋅
r dl
=
μ0
Ii
（穿过 L）
非保守场、无势场 （涡旋场）
第二讲 磁场的性质
2-3 安培环路定理的应用--求解某些具有 对称性
2π d1
第二讲 磁场的性质
2-2 安培环路定理
比较 静电场
稳恒磁场
高斯定理
∫ ∑ r r
E ⋅ dS =
1
S
ε0
q内
有源场
∫SBr
r ⋅ dS
=
0
无源场
环路定理
∫LEr
⋅
r dl
=
0
保守场
∫LBr
⋅
r dl
=
?
？
导出： 可由毕 — 沙定律出发严格推证 采用： 以无限长直电流的磁场为例
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
I //
×××××
螺线管内磁场不变
Bout << Bin
第二讲 磁场的性质
前面结论近似可用！
练习： 半径R的无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
已知： σ . R .ω
求：
内部
r B=?
ω
σ
R
解：等效于长直螺线管：B = μ 0 nI
单位长度上电流： nI = ?
nI
=
2πR ⋅ σ
⋅
ω 2π
B = μ 0nI = μ 0 R σω
B外 = 0
B
∝1 r
R1 < r < R2 :
∑ I内 = NI
第二讲 磁场的性质
o
R1 R2
B内
=
μ 0 NI 2π r
r
4
练习： 若螺绕环截面为正方形，求通过螺绕环截面的磁通量 .
N ,I
dS
h = R2 − R1
R2
R1
dS = hdr = (R2 − R1)dr
dφm
=
r B内
r ⋅ dS
Br
v B?
r
P
Bz Bφ M
L
N Bv
l
++++++++++++
Q’ P''
O’
3. 求管外任一场点P”的B
过该点作矩形环路MNO’Q’，有
∫r B
⋅d
r l
=
Baxis L
−
BP ,,
L
=
μ0n
L
I
比较：
BP,, = Baxis − μ0nI = 0
上节例题：无限长圆截面螺线管轴线上
Baxis = μ0nI
=
μ 0 NI 2πr
( R2
−
R1 )dr
∫ ∫ φ m =
dφm
=
μ 0 NI 2π
(R2 −
R1 )
R2 d r r R 1
=
μ 0 NI 2π
(R2 −
R1 )ln
R2 R1
第二讲 磁场的性质
例3 无限长载流圆柱体的磁场 I
解 1）对称性分析 2）选取回路
RR
∫ r > R
l
v B
⋅d
v l
L
=
μ0(−I1
+
I1
−
I1
−
I2)
I1
I2 I3
= −μ（0 I1 + I2）
I1
L
I1
思考:
1） Bv是否与回路 L 外电流有关？
∫ 2）若 Bv ⋅dlv = 0,是否回路 L 上各处 Bv = 0 ？ L 是否回路 L内无电流穿过？
第二讲 磁场的性质
几点注意：
任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。
r B nr θ
nr θ
r B
第二讲 磁场的性质
v B
v
dS1 θ1
v B1
Sv
v
θ2 B2
dS2
3. 磁场高斯定理
dΦm1
=
v B1
⋅
v dS1
>
0
dΦm 2
=
v B2
⋅
v dS2
<
0
∫ S B ⋅dS = 0
∫S
v B
⋅d
v S
=
0
磁场是无源场 S
磁感应线闭合成环，无头无尾；
不存在磁单极.
第二讲 磁场的性质
1
例1 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩
形面积的磁通量.
解 先求 Bv ，对变磁场
v B
给出dΦ 后积分求 Φ
B = μ0I
vv B // S
I
l
2π x dΦ = BdS =
μ0I
ldx
2π x
d1 d2
Φ=
∫S
v B
⋅
v dS
=
μ0Il 2π
∫d2
d1
dx x
o
x
Φ = μ0 Il ln d 2
n l oR
解：对称性分析：
1M2
第二讲 磁场的性质
°⋅n°⋅,°⋅I°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
中垂面
°⋅n°⋅,°⋅I°⋅p°⋅1°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅°⋅p°⋅2°⋅
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ 1M 2
P1,P2点磁场 相同
=
μ0I
L
rv
2π rB = μ0I
B = μ0I 2π r
B
∫ 0 < r < R
l
Bv ⋅
v dl
=
μ0
π π
r2 R2
I
I.
dBv
2π rB= μ0r2 I R2
B = μ0Ir 2π R2
dI v B
第二讲 磁场的性质
Bv 的方向与 I 成右螺旋
0<r < R,
B
=
μ0 Ir 2π R2
r > R,
Br
v B?
r
P
Bz Bφ M
L
lQ
P'
++++++++++++
v N Bv
O BP,
2. 求管内任一场点P’的B
过该点作矩形环路MNOQ，利用安培环路定理
∫r B
⋅
d
r l
=
Baxis
⋅
L
−
BP,
⋅
L
=
μ0
⋅
0
=
0
BP, = Baxis = μ0nI
管内为均匀磁场区，大小均为 μ0nI
第二讲 磁场的性质
B = μ0I 2π r
I
μ0I B
2π R
R
oR r
第二讲 磁场的性质
讨论：1. 无限长载流圆柱面的磁场
L1
r
IR
L2 r
μ0I B
2π R
oR r
∫ 解
0<r <R,
v B
⋅
d
v l
=
0
l
r
>
R,
∫l
v B
⋅
d
v l
=
μ0I
第二讲 磁场的性质
B=0 B = μ0I
2π r
2. 同轴电缆（R1，R2，I），磁场分布如何？
rr L Bn ⋅ dl
∑ = μ0 ( I1 + I2 − I3 ) = μ0 Ii
∫ ∑ L
v B
⋅
v dl
=
μ0
( L)
Ii
( L)
稳恒磁场中，磁感应强度B 沿任意闭合路径L的线 积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与 真空磁导率的乘积.
第二讲 磁场的性质
2
练习:算算该环流是多少？
∫ Bv ⋅dlv
θ
P
d v
l
B
dϕ
r
θv dl
P
思考：回路平面 与导线不垂直， 有同样的结论
= ∫ L B r dφ
rdφ
∫=
2π μ 0 0 2π
I r
r
dφ
= μ0I
∫ 同样有：
Bv
⋅
v dl
=
L
μ0 I
I
L
∫ ∫ r B
⋅
r dl
=
L
L
r B
r ⋅ (dl//
r +dl⊥
)
∫ ∫ r
dl⊥
r dlr
o
dl //
=
= I
∫
⋅
r dB Snr
（分量积分）
3.部分典型电流磁场公式：
（1）无限长直电流： （2）圆电流轴线上磁场：
r B
B = μ0I
=
μ20 IπRa2ir 2( R2 + x 2 )32
=
μ
0
r Pm
2π ( R2 + x 2 )32
圆电流圆心处磁场：
B0
=
μ0I 2R
(3) 无限长载流直螺线管内的磁场： B = μ0nI
本例：螺线管截面可以是任意异形截面，无限长载流螺
线管内为均匀磁场。Bin = μ0nI 管外Bout=0
第二讲 磁场的性质
思考： 如果螺距不为零（螺旋电流）对以上结果有无影响？
I⊥ I
n
B in = μ 0 n I ⊥ ≈ μ 0 n I ,
Bout
=
μ0 I// 2π r
∝
1 r
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
r B
+