一元函数的连续与极限-极限的运算法则｜函数极限运算法则

第一章

第五节极限的运算法则

一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容（一）极限的四则运算法则

定理5 若lim f ( x )=A , lim g( x )=B , 则

x →x0 x →x0

(1) lim [ f ( x ) ±g( x )]=lim f ( x ) ±lim g ( x )=A ±B

x →x0

x →x0

x →x0

(2) lim [ f ( x ) g ( x )]=lim f ( x ) lim g( x )=AB

x →x0

x →x0 x →x0

(3) 若B≠0 , 则有

f ( x)=lim x →x0

g ( x )

x →x0

lim f ( x )

x →x0

A=lim g ( x ) B

注

对于数列极限及x→∞时函数极限的四则

运算法则, 有相应的结论 . 例如, 对于数列极限, 有以下结论: 若lim xn=A , lim yn=B , 则有

n→∞n→∞

(1) lim ( xn ±yn )=A ±B

n→∞

( 2) lim xn yn=AB

n→∞

xn A=( 3) 当B ≠0时, lim B n →∞yn

数列是一种特殊的函数, 故此结论可由定理5直接得出 .

推论(极限运算的线性性质) 若lim f ( x )=A , lim g( x )=B , λ和μ是常数，则

x →x0 x →x0

x →x0

lim [λf ( x ) ±μg ( x )]=λA ±μB

=λlim f ( x ) ±μlim g ( x )

x →x0 x →x0

以上运算法则对有限个函数成立. 于是有

x →x0

lim [ f ( x )]n=[ lim f ( x )]n

x →x0

——幂的极限等于极限的幂

一般地，设有分式函数

P( x) R( x )=, Q( x )

其中P ( x ) , Q( x ) 都是多项式, 若Q( x0 ) ≠0，则

P ( x0 )=R ( x0 ) 结论lim R( x )=Q ( x0 ) x→x0

注若Q ( x0 )=0 , 不能直接用商的运算法则 .

结论

a0 x m + a1 x m 1 + L + am=0 , 当n > m lim n n 1 + L + bn x →∞b0 x + b1 x

a0 , 当n=m b0

∞, 当n

( a0b0 ≠0 , m , n 为非负常数)

对于∞型的极限，可以先给分子、分母同除以分∞母中自变量的最高次幂（抓大头）, 然后再求极限.

（二）复合函数的极限运算法则

定理6 设lim ( x )=a , 当0