届高三数学新编复习数列求和PPT课件

则 2Tn＝1×22＋3×23＋源自文库＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1，
②
①－②得－Tn＝1×2＋2×(22＋23＋…＋2n)－ (2n－1)2n＋1 ＝2＋2×2211－－22n－1－(2n－1)2n＋1 ＝－6－(2n－3)2n＋1， ∴Tn＝(2n－3)2n＋1＋6， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝Tn－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)] ＝(2n－3)2n＋1－n2＋6.
课前热身
1 ． 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 若 an ＝
n＋11n＋2，则 S8 等于(
)
2
1
A.5
B.30
C.370
D.56
答案：A
2．数列{an}的通项公式是 an＝
1 n＋
n＋1，若
数列的前 n 项和为 10，则项数为( )
A．11
B．99
C．120
D．121
答案：C
【名师点评】 非等差、非等比数列求和的最 关键步骤是“转化”，即根据通项公式的特点， 利用拆项分组的方法，拆分为等差或等比数列 的和或差，再进行求和运算．
错位相减法求和
一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比 数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位 相减法．
例2 知数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an －an－1，…是首项为1，公比为a的等比数列． (1)求an； (2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项 和Sn.
(2)设 bn＝2nS＋n 1，求{bn}的前 n 项和 Tn.
【思路点拨】 把S＝an(Sn－)化为只含有Sn的 式子，可求出Sn；把Sn代入bn用裂项法可求出 Tn.
【解】 ∵S2n＝an(Sn－12)，an＝Sn－Sn－1(n≥2)， ∴S2n＝(Sn－Sn－1)(Sn－12)， 即 2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn① 由题意知 Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以 Sn－1·Sn， 得S1n－Sn1－1＝2 ∴数列{S1n}是首项为S11＝a11＝1，公差为 2 的等差 数列．
【名师点评】 利用错位相减法求和时，转化为 等比数列求和．若公比是参数(字母)，则应先对参 数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种 情况分别进行求和．
裂项相消法求和
裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过 求和相互抵消，从而达到求和的目的．
例3 (2011 年博州质检)已知数列{an}中，a1＝1， 当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S2n＝an(Sn－12)． (1)求 Sn 的表达式；
【解】 (1)a1＝1，当 n≥2 时， an－an－1＝an－1，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋a＋a2＋…＋an－1
n ＝1－an
1－a
a＝1 a≠1 .
(2)bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·2n－(2n－1)， 令 Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n，①
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩 下首尾若干项． 5．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和 公式的推导过程的推广)．
思考感悟
你认为非等差、非等比数列求和的思路是什么？
提示：非等差、非等比数列的一般数列求和，主要 有两种思路：①是转化思想，即将一般数列求和问 题转化为等差或等比数列的求和问题，这一思想方 法往往通过通项分解或分组等方法来转化完成，像 乘公比错位相减法最终就是转化为等比数列求和； ②对于不能转化为等差或等比数列的特殊数列，往 往通过裂项相消法，倒序相加法，分组求和或并项 求和等方法来求和．
考点探究•挑战高考
考点突破 分组转化法与公式法求和
分组转化法就是把一个数列的通项拆成若干个 数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从 而求出原数列的和．
例1 求下面数列的前 n 项和： 1＋1，1a＋4，a12＋7，…，an1－1＋3n－2，…
【思路点拨】 分组分别求和，然后相加
【解】 Sn＝(1＋1)＋(1a＋4)＋(a12＋7)＋…＋(an1－1＋3n －2) ＝(1＋1a＋a12＋…＋an1－1)＋[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]．
∴S1n＝1＋2(n－1)＝2n－1，
∴Sn＝2n1－1. (2)又 bn＝2nS＋n 1＝2n－112n＋1 ＝12(2n1－1－2n1＋1)， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(2n1－1－2n1＋1)]
nn＋12n＋1 (3)12＋22＋…＋n2＝ ______6________ ；
n2n＋12 13＋23＋ …＋n3＝2____4______ .
2．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘 所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过 程的推广． 3．分组转化法 把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等差、 等比数列，再求解．
令 Bn＝1＋1a＋a12＋…＋an1－1， ∴当 a＝1 时，Bn＝n；当 a≠1 时，Bn＝ana－n－an1－1， Cn＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝3n－2 1n.
∴当
a＝1
时
，
Sn
＝
Bn
＋
Cn
＝
n
＋
3n－1n 2
＝
3n＋2 1n，
当 a≠1 时，Sn＝Bn＋Cn＝ana－n－an1－1＋3n－2 1n.
§5.4 数列求和
双基研习•面对高考 §
5.4
数
列
考点探究•挑战高考
求
和 考向瞭望•把脉高考
双基研习•面对高考
基础梳理
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式
na1＋an Sn＝____2_____＝
n_a_1_＋__n_n_2－__1__d.
(2)等比数列前 n 项和公式 ①当 q＝1 时，Sn＝na1； ②当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
3．设 f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，
则 f(n)等于( )
A.27(8n－1)
B.27(8n＋1－1)
C.27(8n＋3－1)
D.27(8n＋4－1)
答案：D
4．(教材习题改编)已知等比数列{an}中，an＝ 2×3n－1，则由此数列的奇数项所组成的新数列的
前n项和为________． 答案：14(9n－1) 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则 Sn＝________. 答案：(n－1)·2n＋1＋2