理论力学第二章：碰撞

mA v A vB v 1 k B vB m A mB
21
A
vA
B
vB
A B
T1
vAB
A
v'A
B
v'B
碰撞前系统的总动能 碰撞后系统的总动能
1 1 2 2 mAv A mB v B 2 2 1 1 2 2 T2 m A v m v A B B 2 2
A
B
vA vAB
vB vAB
恢复阶段
I 2 v B vA k I1 v A v B
mA
I2 I2
mB
vAB v'A v v' AB B
18
对于球 A（自由落体）与固定平面的正碰撞情形
I 2 v B vA k I1 v A v B
v A 2 gh1 ,
分析: 汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。 25
m A mB 2 T＝ vA ＝ 2m A m B
T T1 锤头的动能绝大部分转变为被 锻造金属的塑性变形能。 汽锤传递的动量一定时，铁砧 ′ 越小。 质量 mB 越大，其速度 vB
mA «mB
T1 mA 1 mB
T 0 锤头的动能绝大部分转变为锤头 与桩一起运动的动能。 打桩传递的动量一定时，桩的 质量 mB 越小，其速度 v′B 越大。 26
1 mA mB v A vB v A vB vA vB T＝ 1 k 2 m A mB
22
碰撞前、后系统动能的变化 1 mA mB v A vB v A vB vA vB T＝ 1 k 2 m A mB I 2 v B vA k I1 v A v B
A h2 h2
v B vB 0 ，
h2 h1
I2 vA k I1 vA
v k A 2 gh2
A A
A
h2 v'A
vA
h2
h1
B
B
B
B
19
恢复系数的取值范围
k 1
k 0
完全弹性碰撞：无能量损耗， 碰撞后变形完全恢复。 完全非弹性碰撞：塑性碰撞， 变形完全不能恢复。 非完全弹性碰撞：能量损耗， 碰撞后变形不能完全恢复。
I2 恢复系数 — 碰撞的恢复阶段的冲量 k 16 与变形阶段的冲量之比，用 k 表示： I1
I 2 F dt
tm
t2
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系
n I2 vr k n I1 vr
v
n r—
n vr — 碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度。
碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度。 ● 对于确定的材料，恢复系数为常量。 ● 这一结果表明：对于确定的材料，不论碰撞前后物体 的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速度 大小的比值是不变的。 ● 恢复系数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度， 也描述了物体变形的恢复程度。 17
m A mB 2 2 T＝ 1 k v A vB 2m A mB 两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化
完全弹性碰撞 —— k=1, T=T2－T1=0。 碰撞过程中没有能量损失。
23


塑性碰撞 —— k=0, 动能损失为
m A mB v A v B 2 T＝ 2m A mB
3
铁锤打击人体
塑料
锤重 4.45N ; 碰撞前锤的速度 457.2 mm/s ; 碰撞的时间间隔 0.01s ; 撞击力峰值 244.8 N ， 是静载作用的 55 倍。
据有关资料介绍，一只重 17.8N 的飞鸟与飞机相撞， 如果飞机速度是 800km/h ，碰撞力可高达 3.55×105N ， 即为鸟重的 2万倍 ！这就是航空上所谓“鸟祸”的原因之一
4
★ 撞击力的瞬时性——撞击力在很短的时间间隔内 发生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。 ▼ 碰撞冲量——撞击力在碰撞时间内的累积效应。
F（N）
I F dt
Fmax
t1
t2
I Fdt
t1
t2
t（s）
5
研究碰撞问题的两点简化
（1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力 （重力、弹性力等）的冲量可忽略不计。
在 t1 ~ t 2 内的冲量
dI F d t
t2 t1
I F dt
(e) i
mi vi mi vi I
(e) i
mvC I mvC
质点系在碰撞开始和结束时，动量的变化， 等于作用于质点系的外（力）碰撞冲量的主矢。
13
2. 用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理 由质点系动量矩定理： d LO M O ( Fi ( e ) ) ri Fi ( e ) dt
mA »mB
例题 3
mB mA A vB
vA
B
mA 18 103 kg ，mB 6.6 103 kg ；
在惯性参考系中 v A＝00.2i 0.03 j 0.02k m/s ，v B 0 求：1.对接成功后，联合体的质心速度； 2.对接不成功，恢复系数 e=0.95 , 碰撞后二者的速度。 (以上分析中均可略去飞船的转动) 27
（2）在碰撞过程中，由于时间非常短促（加速度很大）， 物体的位移可忽略不计。 上述的两点简化是在碰撞过程中所提出的假设，因此， 在具体问题的分析中，一定要分清碰撞过程和一般过程； 分清运动的三个阶段，即撞前的运动，碰撞阶段和撞后 的运动。
6
★ 几个工程实际问题
vB
mB mA
vA A
B
两个飞船对接后速度？
若 vB=0
m A mB 2 T＝ vA 2m A mB
1 2 T1 m Av A 2 mB 1 T＝ T1 T1 mA mA mB 1 mB
24
例题 2
锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为 mAg ; 汽锤的 铁砧与桩的重量均为 mBg 。汽锤和打桩机的锤头打击前 速度均为 vA 。
0 k 1
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§15-4 碰撞问题举例
例题 1
A vA B
vB
A
B
vAB
A
v'A
B
v'B
由
mA v A mB v B mA v A mB v B
解得碰撞后两个球的速度分别为 mA v A vB vA v A 1 k m A mB
I 2 v B vA k I1 v A v B
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系 —— 用 v 表示碰撞阶段时的速度 应用动量定理的积分形式，对于球 A ： 变形阶段 I 2 mA vA (v) v vA k I1 mA v (v A ) v A v m I1 I1 m
对于球 B ： I 2 mB v v B v B v k I1 mB v vB v vB 对系统，由定义
(e) i
或
LO 2 LO1 ri I M O ( I )
(e) i (e) i
质点系在碰撞开始和结束时对点 O 的动量矩的变化， 等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。 14
3. 碰撞时定轴转动刚体的动力学方程
J z 2 J z1 M z ( I )
(e) i
4. 碰撞时平面运动刚体的动力学方程（碰撞方程）
(e) mvCx mvCx I ix
mvCy I mvCy
(e) iy (e) i
J C 2 J C1 M C ( I )
注意：以上各方程式中均不计普通力的冲量！ 对心碰撞：若碰撞时碰撞力的作用线通过两物体的质心， 称为对心碰撞；否则称为偏心碰撞。 正碰撞：若碰撞时两物体各自质心的速度均沿着公法线， 称为正碰撞；否则称为斜碰撞。 15
m A v A mB v B m A mB
0.146 i 0.022 j 0.015 k
m/s
28
2.对接不成功时，两飞船的速度 不考虑对接处的摩擦，二飞船在 y、z 方向上的 速度分量保持不变；在 x 方向上二飞船动量守恒：
m A v Ax mB vBx m A vAx mB vBx
解：1. 对接成功时联合体的质心速度 可以直接应用动量守恒关系式
m A v A mB v B m A v A mB v B
v A ＝v 这时， B ＝v AB 于是，有 m A v A mB v B m A mB v AB


v AB
18 103 0.2 i 0.03 j 0.02 k 0 18 103 6.6 103
第 二 章【下册】
碰
撞
1Baidu Nhomakorabea
碰
撞
※ 碰撞现象 · 碰撞力 ※ 几个工程实际问题 ※ 动力学普遍定理在碰撞问题中的应用 ※ 恢复系数 ※ 碰撞问题举例
※ 撞击中心
※ 结论与讨论
2
§15-1 碰撞现象· 碰撞力
碰撞 — 物体与物体之间，在极短的时间内，速度发生 突然改变，并发生有限量的动量传递与能量转换，同时 伴随有极大的撞击力的动力学过程。 碰撞主要研究碰撞物与被碰撞物在碰撞后的运动效应。 例：铁锤打击钢板 锤重 4.45N ; 碰撞前锤的速度 457.2 mm/s ; 碰撞的时间间隔 0.00044s ; 撞击力峰值 1491 N ， 塑料 是静载作用的 335 倍 。
7
★ 几个工程实际问题
请注意撞击物与 被撞击物的特点！
8
★ 几个工程实际问题
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
9
★ 几个工程实际问题
击球手的手握在哪里 所受的撞击力最小？
10
★ 几个工程实际问题
请注意这一装置的功能， 与碰撞有没有关系？
11
★ 几个工程实际问题
这与碰撞有关系吗？
12
§15-2 用于碰撞过程的基本定理
30
vB ＝ 0.285 i m/s
请注意：1、乒乓球在运动的过程中发生了几次碰撞？ 2、这种碰撞具有什么特点？
同时利用恢复系数与速度的关系式 将
v Ax ，vBx 和 e 值代入后，解得 mA ，mB ， v Ax＝0.095m/s ，v Bx＝0.285m/s
vA v A 1 k mA v A vB m A mB
v B vA k v A vB
mA v A vB v 1 k B vB m A mB
29
考虑到碰撞前后，二飞船在 y、z 方向上的速度不变，即
vAy＝0.03 m/s ，vAz＝ 0.02 m/s ，v By＝vBz＝0
最后得到碰撞后，二飞船的速度分别为
vA ＝0.095 i 0.03 j 0.02 k m/s ，
v Ax＝0.095m/s ，v Bx＝0.285m/s
§15-3 恢复系数（因数）
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段 I I 1 1 mB mA F 变形阶段 I1 I2 t1 tm t2
tm t1
t
vA vAB vB vAB I2 I2 mB 恢复阶段 mA vAB v'A v v' AB B 变形阶段的碰撞冲量 恢复阶段的碰撞冲量
I1 F dt
1. 用于碰撞过程的动量定理——冲量定理 质点： mv mv
常力的冲量

t
0
Fdt I I — 碰撞冲量
I Ft
(e) (i ) 质点系： mi vi mi vi I i I i
变力的元冲量
mi vi mi vi I i(e) I i(i )
碰撞前、后系统动能的变化
1 1 T＝T1－T2 mA v A vA v A vA mB vB v B vB vB 2 2
mA mA vA vB ， vB vB 1 k vA vB vA v A 1 k m A mB m A mB
dLO ri Fi ( e) dt ri dI i(e )

LO 2
LO1
dLO ri dI
0
t
(e) i
LO 2 LO1 ri dI i(e)
0
t
根据基本假设，碰撞前后各质点的位置不变：
LO 2 LO1 ri dI
0
t