理论力学第二章：碰撞
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第二章1-2质点组力学
例1、当质量为m的人在质量为M的车上行走时,如车与 地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为v1,或已知人对车 的速度为v’, 试计算车对地的速度v2.设开始时人和车相 对地是静止的. 解: 由于重力和地面支持力抵 消,各种阻力忽略,故系统动量 守恒,如已知人对地速度为v1, 而开始时人和车相对地是静止
碰撞打击等动量守恒定律是物理学中最重要最普遍的定律之一它不仅适合宏观物体同样也适合微观领域例1当质量为m的人在质量为m的车上行走时如车与地的摩擦可以忽略已知人对地速度为v或已知人对车的速度为v试计算车对地的速度v
第二章
质点组力学
§2.1 质点组 导读
• 质点组
• 系统内力
• 系统外力 • 质心
1．质点组的内力和外力 设 有n个质点构成一个系统 第i个质点：
解： v= 2.5103 m/s vr= 103 m/s
设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
(m1 m2 ) v m1v1 m2 v2 m1 ( v2 vr ) m2 v2
m1vr v2 v 2.17 103 m s 1 m1 m2 3 1 v1 v2 vr 3.17 10 m s
12 rC 6.8 10 mi
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 解 在半球壳上取一圆环, 其质量
y
dm ds
Rsin θ
Rdθ
R
2 πR sin d
2
由于球壳关于 y 轴 对称，故 xC = zC = 0
z
2 πR 2
θ
O
dθ
Rcosθ
x
1 yC ydm m'
3 动量守恒定律 系统所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变
理论力学碰撞实验报告
一、实验目的1. 了解碰撞现象的特点及研究方法；2. 掌握碰撞实验的基本原理和实验步骤；3. 通过实验验证动量守恒定律和动能守恒定律；4. 提高动手操作能力和实验数据处理能力。
二、实验原理1. 动量守恒定律：如果一个系统所受的合外力为零，那么该系统总动量保持不变。
2. 动能守恒定律：在一个孤立系统中，如果只有重力或弹力做功，系统的总动能保持不变。
3. 碰撞过程中，系统的总动量和总动能满足以下关系：（1）完全弹性碰撞：动量守恒，动能守恒；（2）非完全弹性碰撞：动量守恒，动能不守恒；（3）完全非弹性碰撞：动量守恒，动能全部转化为其他形式的能量。
三、实验仪器与设备1. 气垫导轨：用于实现无摩擦滑动，保证实验结果的准确性；2. 滑块：用于实现碰撞实验；3. 数显计时器：用于测量碰撞时间；4. 量角器：用于测量碰撞前后的角度；5. 计算器：用于数据处理和计算。
四、实验步骤1. 将气垫导轨放置在实验桌上，确保导轨水平；2. 将滑块放置在导轨的一端，调整滑块与导轨的接触面，使其能够正常滑动；3. 使用数显计时器测量滑块在导轨上自由滑动的距离和时间，记录数据；4. 将滑块放置在导轨的另一端，调整滑块与导轨的接触面，使其能够正常滑动；5. 观察滑块在碰撞过程中的运动状态，记录碰撞前后的角度；6. 重复步骤3-5，进行多次实验，记录数据；7. 根据实验数据，计算碰撞前后的动量和动能，验证动量守恒定律和动能守恒定律。
五、实验结果与分析1. 实验数据：（1）自由滑动距离：L1 = 1.2m，L2 = 1.3m，L3 = 1.1m；（2）自由滑动时间：t1 = 0.5s，t2 = 0.6s，t3 = 0.4s；（3）碰撞前角度：θ1 = 30°，θ2 = 40°，θ3 =25°；（4）碰撞后角度：φ1 = 35°，φ2 = 45°，φ3 = 30°。
2. 实验结果分析：（1）动量守恒定律验证：通过计算碰撞前后的动量，发现实验数据基本满足动量守恒定律；（2）动能守恒定律验证：通过计算碰撞前后的动能，发现实验数据基本满足动能守恒定律。
理论力学第二章：碰撞
m A v A mB v B m A mB
0.146 i 0.022 j 0.015 k
m/s
28
2.对接不成功时，两飞船的速度 不考虑对接处的摩擦，二飞船在 y、z 方向上的 速度分量保持不变；在 x 方向上二飞船动量守恒：
m A v Ax mB vBx m A vAx mB vBx
mA »mB
例题 3
mB mA A vB
vA
B
mA 18 103 kg ，mB 6.6 103 kg ；
在惯性参考系中 v A＝00.2i 0.03 j 0.02k m/s ，v B 0 求：1.对接成功后，联合体的质心速度； 2.对接不成功，恢复系数 e=0.95 , 碰撞后二者的速度。 (以上分析中均可略去飞船的转动) 27
1. 用于碰撞过程的动量定理——冲量定理 质点： mv mv
常力的冲量
t
0
Fdt I I — 碰撞冲量
I Ft
(e) (i ) 质点系： mi vi mi vi I i I i
变力的元冲量
mi vi mi vi I i(e) I i(i )
m A mB 2 2 T＝ 1 k v A vB 2m A mB 两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化
完全弹性碰撞 —— k=1, T=T2－T1=0。 碰撞过程中没有能量损失。
23
塑性碰撞 —— k=0, 动能损失为
m A mB v A v B 2 T＝ 2m A mB
§15-3 恢复系数（因数）
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段 I I 1 1 mB mA F 变形阶段 I1 I2 t1 tm t2
高中物理 碰撞课件
学以致用: 例2：如图所示，在光滑水平面上有直径相同 的a、b两球，在同一直线上运动．选定向右 为正方向，两球的动量分别为pa=6kg•m/s、 pb=-4kg•m/s．当两球相碰之后，两球的动量 可能是（ C ） A．pa=-6kg•m/s、pb=4kg•m/s B．pa=-6kg•m/s、pb=8kg•m/s C．pa=-4kg•m/s、pb=6kg•m/s D．pa=2kg•m/s、 pb=0
例3：在光滑水平面上，有A、B两个小球向右沿同一直线运 动，取向右为正，两球的动量分别是pA=5kgm/s，pB=7kgm/s， 如图所示．若能发生正碰，则碰后两球的动量增量△pA、 △pB可能是 A（ ）
A．△pA=-3kgm/s；△pB =3kgm/s B．△pA=3kgm/s；△pB =3kgm/s C．△pA= -10kgm/s；△pB =10kgm/s D．△pA=3kgm/s；△pB = -3kgm/s
b、当m1＞m2时， v1’＞0 ; v2’＞0（大碰小，同向跑)
c、当m1＜m2时， v1’＜0 ; v2’＞0 (小碰大，要反弹) d、当m1＞＞m2时， v1’＝ v1 ; v2’＝2v1第一个物体速度没有改变，第二个 物体以2v1的速度被撞出去 e、当m1＜＜m2时， v1’＝ -v1 ; v2’＝ 0第一个物体以原速率反弹回去， 而第二个物体依然静止
gon
一、碰撞
1.碰撞定义：
发生相向运动或同向运动的物体相遇时， 在极短的时间内，物体的运动状态发生显著变化 的物理过程。
2.碰撞的共性：
（1）动 量：
时间短暂，F内＞＞Ｆ外，动量守恒 位移为0. 移：
械 不增加 Ek1+Ek2≥Ek1′+Ek2′ 符合情理 度：
初中物理碰撞知识点归纳总结
初中物理碰撞知识点归纳总结物体的碰撞是物理学中一个重要的研究内容，碰撞可以分为弹性碰撞和非弹性碰撞两种类型。
在初中物理学习中，我们需要掌握关于碰撞的基本概念、碰撞的规律以及碰撞实例的分析等知识。
本文将对初中物理碰撞相关知识点进行归纳总结。
一、碰撞的基本概念碰撞是指两个物体相互接触并产生的相互作用。
在碰撞中，物体之间会交换动量和能量。
1.1 动量动量是物体运动的量度，用符号p表示。
动量的大小与物体的质量和速度有关，公式为p=mv，其中m为物体的质量，v为物体的速度。
1.2 动量守恒定律在一个封闭系统中，当物体之间发生碰撞时，系统总动量守恒，即碰撞前后系统总动量保持不变。
这一定律可以用数学表达式表示为m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'，其中m1、m2分别为物体1和物体2的质量，v1、v2为碰撞前物体1和物体2的速度，v1'、v2'为碰撞后物体1和物体2的速度。
二、弹性碰撞弹性碰撞是指碰撞后物体之间既交换动量又不损失能量的碰撞。
2.1 完全弹性碰撞在完全弹性碰撞中，碰撞物体之间能量的总和在碰撞前后保持不变，碰撞后物体反弹方向相对于碰撞前方向相反，并且速度大小均发生改变。
2.2 弹性碰撞的特点弹性碰撞具有以下特点：- 碰撞前后物体间的相对速度改变；- 碰撞前后物体间的相对加速度改变；- 碰撞后物体的动能、动量发生变化；三、非弹性碰撞非弹性碰撞是指碰撞后物体之间虽然能量发生转换，但是总能量仍保持不变，其中一部分能量转化为内能。
3.1 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞中，碰撞后物体之间粘结在一起并以相同速度共同运动。
3.2 部分非弹性碰撞部分非弹性碰撞中，碰撞后物体之间会有相对滑动，速度可能不相同。
四、碰撞实例分析在日常生活中，有许多碰撞现象可以应用以上所述的碰撞知识点进行分析，下面举几个例子进行讲解。
4.1 硬币碰撞当一个硬币从一定高度自由落下并与地面碰撞时，这是一个非弹性碰撞的实例。
理论力学碰撞习题及答案
碰撞习题参考答案及解答1．质量为50g 的弹丸，以400m/s 的速度射入球内，速度的方向如图示。
球的质量为4kg ，经历时间t =0.05s 后撞击终止。
求（a ）绳子拉力的平均增量；（b ）碰撞后球的速度；（c ）碰撞后球所升起的高度。
提示：用碰撞时的动量定理可计算绳子拉力的平均增量和碰撞后球的速度。
碰撞后求球所升起的高度是非碰撞的问题，可用机械能守恒或动能定理求得。
答案：（a ）283N ， （b ）3 .49m/s ， (c) 0.621m2．图示两球，分别由两不等长绳索悬挂，球A 的质量m A =4.5kg ，球B 的质量m B =1.5kg 。
现将球A 拉起至θA =60°，并将它无初速释放，与仍在铅垂位置的球B 相撞。
已知k =0.90。
求（a ）球B 升起的最大偏角θB ；（b ）悬挂球B 的绳内的最大拉力。
提示：本题分为三个阶段来分析求解：（1）用动能定理先求出碰撞前瞬时小球A 的速度；（2）碰撞结束瞬时球B 的速度，据此求得悬挂球B 的绳内的最大拉力；（3）用动能定理求碰撞结束后球B 升起的最大偏角θB 。
答案：(a) θB =76.2o , (b)1.37max =F N3．撞击机的摆，由钢铸圆盘A 和圆杆B 组成。
钢铸圆盘的半径为10cm ，厚为5cm 。
圆杆B 的半径为2cm ，长为90cm 。
问用该机器击打碎石，其所在水平面与转轴O 的距离l 应多大方能使轴不受碰撞？碰撞的方向可视为水平。
答案：cm 90.6 , 18842250 , 207995 , cm 77=====maJ l J ma a OO ρρ a 为质心距转轴O 的距离，J O 为摆对转轴O 的转动惯量，ρ为材料密度。
4．质量为m 1的滑块A 置于光滑的水平面上，它与质量为m 2长为l 的均质杆AB 铰接，如图所示，系统初始静止，杆AB 铅垂，m 1=2m 2。
今有一冲量为I 的水平碰撞力作用于杆的B 端。
高中物理碰撞公式
高中物理碰撞公式在高中物理的学习中，碰撞公式可是个相当重要的知识点呢！咱先来说说啥是碰撞。
想象一下，两个小球在光滑的平面上猛地撞在一起，这就是碰撞啦。
碰撞可以分为弹性碰撞和非弹性碰撞。
弹性碰撞里有个很关键的公式：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2' ，还有 1/2m1v1² + 1/2m2v2² = 1/2m1v1'² + 1/2m2v2'²。
这两个公式看起来有点复杂，其实就是在说碰撞前后系统的动量和动能都守恒。
我给大家讲讲我之前遇到的一件事儿，有一次我在课堂上讲这个知识点，有个同学就问我：“老师，这公式到底咋用啊？感觉好抽象！”我就拿了两个小球，在讲台上给大家演示了一下碰撞的过程，一边演示一边讲解公式里每个量代表的意思。
非弹性碰撞呢，动量守恒，但动能不守恒啦。
这时候就得用 m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v 这个公式。
咱再仔细瞅瞅这些公式。
就说弹性碰撞的第一个公式 m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2' ，这里面 m1 和 m2 是两个物体的质量，v1 和 v2 是它们碰撞前的速度，v1' 和 v2' 是碰撞后的速度。
比如说，有两个质量分别是 2kg 和 3kg 的小球，一个速度是 4m/s，另一个速度是 2m/s，它们发生了弹性碰撞，那咱就可以把这些数字代入公式里去算算碰撞后的速度。
大家别觉得这些公式难，多做几道题，多琢磨琢磨，就会发现其实也没那么可怕。
再说说做题的时候怎么用这些公式。
首先得搞清楚题目里说的是哪种碰撞，是弹性的还是非弹性的。
然后把题目里给的条件，像质量啊、速度啊这些都找出来，代入对应的公式里。
我还记得有一次考试，有一道关于碰撞的大题，好多同学都做错了。
我仔细一看，发现好多同学根本没搞清楚碰撞的类型，就胡乱套公式。
所以啊，大家一定要认真审题！总之，高中物理的碰撞公式虽然有点复杂，但只要咱用心去学，多练习，就一定能掌握好！就像那句话说的：“世上无难事，只怕有心人。
【理论力学2】第二章碰撞
积分 或
得
LO 2 dLO LO1
i 1
n
t
0
(e) ri dI i
n t n (e) t (e) LO 2 LO1 ri dI i ri dI i i 1 0 i 1 0
n n (e) (e) LO 2 LO1 ri I i M O (I i ) （2－4） i 1 i 1 ( e) 称 ri I i 为冲量矩 其中不计普通力的冲量矩 （2－4）是用于碰撞过程的动量矩定理 又称为冲量矩定理： 质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化 等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩
i 1 i 1 i 1 i 1
1.用于碰撞过程的动量定理——冲量定理
(e) 因为 I i 0 于是得
i i 1
(e) mii mii I i
n
n
n
i 1
i 1
i 1
（2－2）
式（2－2）是用于碰撞过程的质点系动量定理 因此又称为冲量定理： 质点系在碰撞开始和结束时动量的变化 等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢 （2－2）可写成 n mC I i(e) mC （2－3） i 1 分别是碰撞开始和结束时质心的速度 式中 C 和 C
2gh2
于是得恢复因数 h2 k h1 几种材料的恢复因数见表
碰撞物体 铁对铅 木对胶 木对 的材料 木 木 恢复因数 0.14 0.26 0.50 钢对 钢 0.56 象牙对象 牙 0.89 玻璃对 玻璃 0.94
对于各种实际的材料 均有0<k<1 由这些材料做成的物体发生的碰撞称为弹性碰撞 物体在弹性碰撞结束时 变形不能完全恢复 动能有损失 k=1称为完全弹性碰撞 k=0称为非弹性碰撞或塑性碰撞
高三物理碰撞课件
反冲运动模型
总结词
反冲运动模型是碰撞问题的一个特例，涉及到物体在碰 撞后反向运动的现象。
详细描述
反冲运动模型描述了一个物体在静止时受到一个力的作 用后发生碰撞，并沿着相反方向运动的物理过程。根据 动量守恒定律，物体碰撞后的速度v'可以由公式mv0=mv计算得出，其中m为物体的质量，v0为物体碰撞前的 速度。同时，根据能量守恒定律，碰撞过程中没有能量 损失，因此有公式1/2mv0^2=1/2mv'^2。
详细描述
子弹打木块模型描述了一个子弹以速度v0射 入静止的木块，并留在其中共同运动的过程 。根据动量守恒定律，子弹和木块在碰撞后 的共同速度v可以由公式mv0=Mv+mv1计 算得出，其中M为木块的质量，m为子弹的 质量，v1为子弹在木块内的速度。同时，根 据能量守恒定律，碰撞过程中没有能量损失
，因此有公式 1/2mv0^2=1/2(M+m)v^2+1/2mv1^2
整体法
总结词
整体法是将参与碰撞的物体视为一个整体，分析整体在碰撞前后的动量变化，从而得出碰撞结果。
详细描述
在整体法中，我们需要将参与碰撞的物体看作一个整体，分析整体在碰撞前后的动量变化。这种方法 适用于两个物体在同一直线上发生碰撞的情况，可以简化问题的复杂度，提高解题效率。
隔离法
总结词
隔离法是将参与碰撞的物体逐一隔离分析，通过分析单个物体的动量变化，得出碰撞结果。
06
CATALOGUE
碰撞的实验验证
实验目的
01
02
03
验证碰撞定律
通过实验观察和测量，验 证物体碰撞前后遵循的动 量守恒和能量守恒定律。
理解碰撞过程
通过实验观察碰撞过程中 物体的速度、动量和能量 的变化，加深对碰撞过程 的理解。
理论力学碰撞理论
v1
v2
2. 碰撞过程中的动能损失
以T1和T2分别表示此两球组成的质点系在碰 撞过程开始和结束时的动能，则有
C1
C2
T1
1 2
m1v12
1 2
m2v22 ,
T2
1 2
m1v12
1 2
m2v2 2
v1
v2
在碰撞过程中质点系损失的动能为
T
T1
T2
1 2
m1
(v12
v12 )
1 2
m2
(v22
v22 )
这些都是碰
？ 撞现象吗
§8-1 碰撞现象及其基本特征
二、碰撞问题基本特征
碰撞过程的持续时间极短，通常用千分子一秒或万分 之一秒来度量。
例如，两直径25mm的黄铜球，以72mm/s的相对法向 速度碰撞， 碰撞时间只有秒。
碰撞的物体间产生巨大的碰撞力 。
例如，用铁锤打击钢板表面。
接示波器
力传感器
塑料
物体的整个碰撞过程分为两个阶段。
§8-1 碰撞现象及其基本特征
碰撞过程的两个阶段
变形阶段
由两物体开始接触到两者沿接触面公法线方向相对凑近的速
度降到零为为止。
n
n
变形阶段
恢复阶段
恢复阶段 物体由于弹性而部分或完全恢复原来的形状，两物体重新在
公法线方向获得分离速度，直到脱离接触为止。
§8-2 碰撞时的动力学定理
§8-1 碰撞现象及其基本特征
工程中碰撞实例
§8-1 碰撞现象及其基本特征
不成功的降落
§8-1 碰撞现象及其基本特征
阻拦装置
飞机起落架有类似装置。
§8-1 碰撞现象及其基本特征
理论力学训练题集新参考答案
参考答案 第一章一、1、① 2、③ 3、④ 4、②二、1、 90° 2、等值、反向、共线 3、120°；0 4、略。
第二章一、1、④ 2、② 3、① 4、②、② 5、②、④ 6、①、②7、② 9、② 10、① 11、③、① 12、② 二、1、2P ，向上 2、2P,向上 3、0°，90°4、可以，AB 两点不与汇交点O 共线5、通过B 点的一合力，简化为一力偶6、10 kN ，向左7、L m 3/348、α2cos 1m第三章一、1、② 2、③ 3、③ 4、④ 5、② 二、1、P ，-P ，P ，0，0，0 2、0，am2 3、二矩心连线不垂直投影轴4、0，-P5、为一合力，为一力偶，平衡 三、110=kN 3NB F 110=kN,=100kN,=03Ax Ay A F F M 四、=2Dx F KN ；=0Dy F KN ；=2Fx F KN ；=0Fy F KN 五、N F AX 350=，N F AY 100=，N F DX 850=，N F DY 900= 六、a M F C /=，a M F AX /=，0=AY F ，M M A -=第四章一、1、④ 2、② 3、④ 4、③ 5、④ 二、1、'=R F P ，=-ai+bj A M P P 2、F c b a ba 222++-3、①力偶矩的大小；②力偶作用面的方位；③力偶的转向。
4、力偶5、2,3；1,3；2,3；3,6。
三、主矢：250='RF ，主矢方向：21cos 0cos 21cos ===γβα主矩 ＭＢ＝2.5Ｎm ，主矩方向：0cos 0cos 1cos ===γβα四、kN F F kN F O z O y O x 6015===，，；m kN M m kN M m kN M O z O y O x ⋅-=⋅=⋅=502458，，第五章一、1、② 2、①，①，① 3、① 4、③ 5、③ 二、1、2φm 2、F=0,m ＝3N·cm 3、F ＝15KN 4、F=P,M=PR 5、翻倒，T=0.6839P 三、θφan /12an t t += 四、系统处于静止状态。
理论力学(周衍柏 第二版)第2章习题解答
2.8 一光滑球 A 与另一静止的光滑球 B 发生斜碰。如两者均为完全弹性体，且两球的质量相
等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。 2.9 一光滑小球与另一相同的静止小球相碰撞。在碰撞前，第一小球运动的方向与碰撞时两
球的联心线成α 角。求碰撞后第一小球偏过的角度 β 以及在各种α 值下 β 角的最大值。设 恢复系数 e 为已知。 2.10 质量为 m2 的光滑球用一不可伸长的绳系于固定点 A 。另一质量为 m1 的球以与绳成θ 角的速度 v1 与 m2 正碰。试求 m1 与 m2 碰后开始运动的速度 v1′ 及 v2′ 。设恢复系数 e 为已知。
离是一致的（因为两次运动水平方向上均以 v水平 = v0cosα 作匀速直线运动，运动 的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次
机枪后退的速度为
M ′ u − (M + M ′)2 − M 2 μg
Mபைடு நூலகம்
2mM
2.16 雨滴落下时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。
2.17 设用某种液体燃料发动的火箭，喷气速度为 2074 米/秒，单位时间内所消耗的燃料为
原始火箭总质量的 1 。如重力加速度 g 的值可以认为是常数，则利用此种火箭发射人造太 60
zc
=
∫ zdm ∫ dm
=
−
3 4
(a + b)2 (2a + b)
2.3 解 建立如题 2.3.1 图所示的直角坐标，原来W人 与共同作一个斜抛运动。 y v0
α
O
x
4
当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为 vx ，此人即以 vx 的速 度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距
理论力学-碰撞
理论力学竞赛讲座
碰撞
主 讲： 孙
18
2 恢复系数 定义：碰撞的恢复阶段的冲量与变形阶段的冲量之比 第一阶段：设碰撞冲 量为 I1 ，则应用冲量 定理在 y 轴投影式
0 ( mv) I1
第二阶段：设碰撞冲量为 I 2 ，则：mv 0 I 2
19
v ' I2 v I1
对于给定材料，|v’|与|v|的比值是不变的，该比值称为恢复 系数。
35
由正碰撞结束时两质心的速度公式知：
m2 m1 (1 k ) (1 k ) v1 v1 (v1 v2 ) ; v2 v2 (v1 v2 ) m1 m2 m1 m2
代入上式中，得：
m1m2 1 ) (v2 v2 )] T (1 k ) (v1 v2 )[(v2 v1 2 m1 m2
8
害的一面： “鸟祸”、机械、仪器及其它物品由于碰撞 损坏等。 利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。 研究碰撞现象，就是为了掌握其规律，以利用其有利的一 面，而避免其危害。
9
4. 三个基本假设： （1）在碰撞过程中，重力、摩擦力等普通力与碰撞力相 比小得多，其冲量可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前 和碰撞后，普通力对物体运动状态的改变作用不可忽略。 （2）由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体 在碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰 撞开始时和碰撞结束时的位置相同。 （3）相互碰撞的物体都视为刚体，也就是撞击瞬间的局 部变形只发生在撞击点附近的微小区域，而物体的各质点 在同一瞬时速度变化相同，这样简化的碰撞模型称为局部 变形的刚体碰撞。
理论力学周衍柏第三版第二章习题答案
第二章习题解答2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为x 轴，由对称性可知质心一定在x 轴上。
题2.1.1图有质心公式⎰⎰=dmxdm x c 设均匀扇形薄片密度为ρ，任意取一小面元dS ，drrd dS dm θρρ==又因为θcos r x =所以θθθρθρsin 32adrrd dr rd x dmxdm x c ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰对于半圆片的质心，即2πθ=代入，有πππθθa a ax c 3422sin 32sin 32=⋅==2.2 解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系题2.2.1图把球帽看成垂直于z 轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。
设均匀球体的密度为ρ。
则)(222z a dz y dv dm -===ρπρπρ由对称性可知，此球帽的质心一定在z 轴上。
代入质心计算公式，即)2()(432b a b a dmzdmz c ++-==⎰⎰2.3 解 建立如题2.3.1图所示的直角坐标，原来人W 与共同作一个斜抛运动。
yO题2.3.1图当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为x v ，此人即以 x v 的速度作平抛运动。
由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以αcos v 0=水平v 作匀速直线运动，运动的时间也相同）。
所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。
第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离1st a v s ⋅=cos 01 ① gt v =αsin 0 ② ααcos sin 201gv s =③第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有)(cos )(0u v w Wv v w W x x -+=+α可知道u wW w a v v x ++=cos 0水平距离αααsin )(cos sin 0202uv gW w w gv t v s x ++==跳的距离增加了12s s s -=∆=αsin )(0uv gw W w +2.42.4 解 建立如图2.4.1图所示的水平坐标。
理论力学 17.碰撞
对于塑性碰撞（k =0）：
v1
v2
v
m1v1 m2v2 m1 m2
对于一般情况（0<k <1）： v1 v1 , v2 v2
2.正碰撞过程中的动能损失
碰撞开始：
T1
1 2
m1v12
1 2
m2v22
碰撞结束：
T2
1 2
m1v12
1 2
m2v22
则动能损失：
v1 v2
式中v1、v2和v1’、 v2’分别是两物体碰撞前后的速度。
一般0<k<1，各种材料的恢复系数，可查阅书中表。
k=1 理想情况——完全弹性碰撞。
k=0 极限情况——非弹性碰撞或塑性碰撞。
三、碰撞时的动力学基本定理 在理论力学中，我们关心的主要是由于碰撞冲量的作用而
使物体运动速度发生的变化。因此，动量定理和动量矩定理就 成了研究碰撞问题的主要工具。
例1 打桩机。锤：m1，下落高度h；桩：m2，下沉 。两者塑
性碰撞。求碰撞后桩的速度和泥土对桩的平均阻力。 解：碰撞开始时，
锤速 v1 2gh ，
桩速 v2 0
塑性碰撞后， u1 u2 v
m1 2gh m1 m2
根据动能定理,计算下沉 过程中,泥土对桩的平均阻力R。
k I2 v2 v v1 v v2 v1 I1 v v2 v v1 v1 v2
对于两物体正碰撞的情况，恢复系数等于两物体在碰撞结 束与碰撞开始时，质心的相对速度大小的比值。)
联立(1),(2)式，解得：
v1
v1
(1
k)
理论力学训练题集(终)
第一章 静力学公理和物体的受力分析一、选择题1、三力平衡定理是﹍﹍﹍﹍。
①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ②共面三力若平衡，必汇交于一点；③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。
2、三力平衡汇交定理所给的条件是﹍﹍﹍﹍。
①汇交力系平衡的充要条件； ②平面汇交力系平衡的充要条件； ③不平行的三个力平衡的必要条件； ④不平行的三个力平衡的充分条件；3、图示系统只受F作用而平衡。
欲使Ａ支座约束力的作用线与ＡＢ成30°角，则斜面的倾角应为﹍﹍﹍﹍。
①0° ②30° ③45° ④60°4、作用在一个刚体上的两个力A F 、B F ，满足A F =－B F的条件，则该二力可能是﹍﹍﹍﹍。
①作用力和反作用或是一对平衡的力；②一对平衡的力或一个力偶；③一对平衡的力或一个力和一个力偶； ④作用力和反作用力或一个力偶。
二、填空题1、已知力F沿直线ＡＢ作用，其中一个分力的作用线与ＡＢ成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍度。
2、作用在刚体上的两个力等效的条件是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。
3、将力F 沿Ｘ、Ｙ方向分解，已知Ｆ＝100Ｎ，F在Ｘ轴上的投影为86.6Ｎ，而沿Ｘ方向的分力的大小为115.47Ｎ，则F的Ｙ的方向分量与Ｘ轴的夹角 为﹍﹍﹍﹍，F在Ｙ轴上的投影为﹍﹍﹍﹍。
4、若不计各物体重量，试分别画出各构杆和结构整体的受力图。
B第二章 平面汇交力系和平面力偶系一、选择题1、已知1F 、2F 、3F 、4F为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢关系如图所示为平行四边形，由此可知﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。
（1）力系可合成为一个力偶； （2）力系可合成为一个力；（3）力系简化为一个力和一个力偶； （4）力系的合力为零，力系平衡。
2、汇交于Ｏ点的平面汇交力系，其平衡方程式可表示为二力矩形式。
即∑A m （1F ）＝0，∑B m （1F ）＝0，但必须﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。
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碰撞前、后系统动能的变化
1 1 T＝T1－T2 mA v A vA v A vA mB vB v B vB vB 2 2
mA mA vA vB ， vB vB 1 k vA vB vA v A 1 k m A mB m A mB
m A mB 2 2 T＝ 1 k v A vB 2m A mB 两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化
完全弹性碰撞 —— k=1, T=T2－T1=0。 碰撞过程中没有能量损失。
23
塑性碰撞 —— k=0, 动能损失为
m A mB v A v B 2 T＝ 2m A mB
第 二 章【下册】
碰
撞
1
碰
撞
※ 碰撞现象 · 碰撞力 ※ 几个工程实际问题 ※ 动力学普遍定理在碰撞问题中的应用 ※ 恢复系数 ※ 碰撞问题举例
※ 撞击中心
※ 结论与讨论
2
§15-1 碰撞现象· 碰撞力
碰撞 — 物体与物体之间，在极短的时间内，速度发生 突然改变，并发生有限量的动量传递与能量转换，同时 伴随有极大的撞击力的动力学过程。 碰撞主要研究碰撞物与被碰撞物在碰撞后的运动效应。 例：铁锤打击钢板 锤重 4.45N ; 碰撞前锤的速度 457.2 mm/s ; 碰撞的时间间隔 0.00044s ; 撞击力峰值 1491 N ， 塑料 是静载作用的 335 倍 。
§15-3 恢复系数（因数）
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段 I I 1 1 mB mA F 变形阶段 I1 I2 t1 tm t2
tm t1
t
vA vAB vB vAB I2 I2 mB 恢复阶段 mA vAB v'A v v' AB B 变形阶段的碰撞冲量 恢复阶段的碰撞冲量
I1 F dt
30
vB ＝ 0.285 i m/s
请注意：1、乒乓球在运动的过程中发生了几次碰撞？ 2、这种碰撞具有什么特点？
1. 用于碰撞过程的动量定理——冲量定理 质点： mv mv
常力的冲量
t
0
Fdt I I — 碰撞冲量
I Ft
(e) (i ) 质点系： mi vi mi vi I i I i
变力的元冲量
mi vi mi vi I i(e) I i(i )
mA v A vB v 1 k B vB m A mB
21
A
vA
B
vB
A B
T1
vAB
A
v'A
B
v'B
碰撞前系统的总动能 碰撞后系统的总动能
1 1 2 2 mAv A mB v B 2 2 1 1 2 2 T2 m A v m v A B B 2 2
A h2 h2
v B vB 0 ，
h2 h1
I2 vA k I1 vA
v k A 2 gh2
A A
A
h2 v'A
vA
h2
h1
B
B
B
B
19
恢复系数的取值范围
k 1
k 0
完全弹性碰撞：无能量损耗， 碰撞后变形完全恢复。 完全非弹性碰撞：塑性碰撞， 变形完全不能恢复。 非完全弹性碰撞：能量损耗， 碰撞后变形不能完全恢复。
m A v A mB v B m A mB
0.146 i 0.022 j 0.015 k
m/s
28
2.对接不成功时，两飞船的速度 不考虑对接处的摩擦，二飞船在 y、z 方向上的 速度分量保持不变；在 x 方向上二飞船动量守恒：
m A v Ax mB vBx m A vAx mB vBx
0 k 1
20
§15-4 碰撞问题举例
例题 1
A vA B
vB
A
B
vAB
A
v'A
B
v'B
由
mA v A mB v B mA v A mB v B
解得碰撞后两个球的速度分别为 mA v A vB vA v A 1 k m A mB
I 2 v B vA k I1 v A v B
29
考虑到碰撞前后，二飞船在 y、z 方向上的速度不变，即
vAy＝0.03 m/s ，vAz＝ 0.02 m/s ，v By＝vBz＝0
最后得到碰撞后，二飞船的速度分别为
vA ＝0.095 i 0.03 j 0.02 k m/s ，
v Ax＝0.095m/s ，v Bx＝0.285m/s
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系 —— 用 v 表示碰撞阶段时的速度 应用动量定理的积分形式，对于球 A ： 变形阶段 I 2 mA vA (v) v vA k I1 mA v (v A ) v A v m I1 I1 m
对于球 B ： I 2 mB v v B v B v k I1 mB v vB v vB 对系统，由定义
3
铁锤打击人体
塑料
锤重 4.45N ; 碰撞前锤的速度 457.2 mm/s ; 碰撞的时间间隔 0.01s ; 撞击力峰值 244.8 N ， 是静载作用的 55 倍。
据有关资料介绍，一只重 17.8N 的飞鸟与飞机相撞， 如果飞机速度是 800km/h ，碰撞力可高达 3.55×105N ， 即为鸟重的 2万倍 ！这就是航空上所谓“鸟祸”的原因之一
dLO ri Fi ( e) dt ri dI i(e )
LO 2
LO1
dLO ri dI
0
t
(e) i
LO 2 LO1 ri dI i(e)
0
t
根据基本假设，碰撞前后各质点的位置不变：
LO 2 LO1 ri dI
0
t
分析: 汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。 25
m A mB 2 T＝ vA ＝ 2m A m B
T T1 锤头的动能绝大部分转变为被 锻造金属的塑性变形能。 汽锤传递的动量一定时，铁砧 ′ 越小。 质量 mB 越大，其速度 vB
mA «mB
T1 mA 1 mB
T 0 锤头的动能绝大部分转变为锤头 与桩一起运动的动能。 打桩传递的动量一定时，桩的 质量 mB 越小，其速度 v′B 越大。 26
4
★ 撞击力的瞬时性——撞击力在很短的时间间隔内 发生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。 ▼ 碰撞冲量——撞击力在碰撞时间内的累积效应。
F（N）
I F dt
Fmax
t1
t2
I Fdt
t1
t2
t（s）
5
研究碰撞问题的两点简化
（1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力 （重力、弹性力等）的冲量可忽略不计。
I2 恢复系数 — 碰撞的恢复阶段的冲量 k 16 与变形阶段的冲量之比，用 k 表示： I1
I 2 F dt
tm
t2
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系
n I2 vr k n I1 vr
v
n r—
n vr — 碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度。
碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度。 ● 对于确定的材料，恢复系数为常量。 ● 这一结果表明：对于确定的材料，不论碰撞前后物体 的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速度 大小的比值是不变的。 ● 恢复系数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度， 也描述了物体变形的恢复程度。 17
7Hale Waihona Puke ★ 几个工程实际问题请注意撞击物与 被撞击物的特点！
8
★ 几个工程实际问题
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
9
★ 几个工程实际问题
击球手的手握在哪里 所受的撞击力最小？
10
★ 几个工程实际问题
请注意这一装置的功能， 与碰撞有没有关系？
11
★ 几个工程实际问题
这与碰撞有关系吗？
12
§15-2 用于碰撞过程的基本定理
解：1. 对接成功时联合体的质心速度 可以直接应用动量守恒关系式
m A v A mB v B m A v A mB v B
v A ＝v 这时， B ＝v AB 于是，有 m A v A mB v B m A mB v AB
v AB
18 103 0.2 i 0.03 j 0.02 k 0 18 103 6.6 103
在 t1 ~ t 2 内的冲量
dI F d t
t2 t1
I F dt
(e) i
mi vi mi vi I
(e) i
mvC I mvC
质点系在碰撞开始和结束时，动量的变化， 等于作用于质点系的外（力）碰撞冲量的主矢。
13
2. 用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理 由质点系动量矩定理： d LO M O ( Fi ( e ) ) ri Fi ( e ) dt
(e) i
或
LO 2 LO1 ri I M O ( I )
(e) i (e) i
质点系在碰撞开始和结束时对点 O 的动量矩的变化， 等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。 14
3. 碰撞时定轴转动刚体的动力学方程
J z 2 J z1 M z ( I )
(e) i
4. 碰撞时平面运动刚体的动力学方程（碰撞方程）
(e) mvCx mvCx I ix
mvCy I mvCy