数列中的放缩法 ppt课件

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一. 放缩目标模型——可求和
n
（ 一 ） 形 如ak(k为 常 数 ） i i1 例 1求 证 ： 1 2 2 1 2 2 1 3 L 2 1 n 1(n N )
变 式 1 求 证 ： 1 2 2 2 2 2 3 3 L 2 n n 2(n N )
变 式 2 求 证 ： 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 1 L 2 n 1 1 1 ( n N )
实质是数列求和
变 式 1 求 证 ： 1 2 2 2 2 2 3 3 L 2 n n 2(n N ) 分析 不等式左边可用“错位相减法”求和.
由错位相减法得
123Ln 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
变 式 2 求 证 ： 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 1 L 2 n 1 1 1 ( n N )
用放缩法证明 数列中的不等式
放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几
年的广东高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技 巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又 太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得 高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.” 如何 把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩 法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律， 放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求
和，如何放缩？
注意到 n n
2n n 2n
将通项放缩为 错 位相减模型
左 边 123Ln 2 n 2 2
2 22 23
2n
2n
【方法总结之一】
nLeabharlann Baidu
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
1( 1 1 )(n 2 n1 n1
2)
始放缩
左边 1 1 2 (1 1 3 ) (1 21 4 ) L (n 1 1n 1 1 )
11(111 1 ) 1 1 (1 1 ) 7 (n 2) 2 2 n n1 2 2 4
变 式 3 求 证 ： 1 2 3 L n 2 ( n N ) 2 12 2 22 3 3 2 n n
例 1求 证 ： 1 2 2 1 2 2 1 3 L 2 1 n 1(n N )
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
左边
1 (1 1 )
2
2n
1
1
1
1 1
2n
2
表面是证数列不等式，
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后 求和，如何放缩？
注意到 1 1 2n 1 2n
将通项放缩为 等比数列
左边12212 213L21n
1 (1 1 )
2
2n
1 1
1
1 1
2n
2
变 式 3 求 证 ： 2 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 L 2 n n n 2 ( n N )
始放缩
左 边 1 (1 1 ) (1 1 ) L (1 1 ) 2 23 n 1n
1 1 1 2 (n 2) n
当n = 1时，不等式显然也成立.
变 式 2(2013广 东 理 19第 (3)问 )
求 证 ： 1212312Ln1274 (nN)
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不
多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项
相消模型等. 实际问题中， bn 大多是等比模型或裂项相
消模型.
例 2(2013广 东 文 19第 (3)问 ) 求 证 ： 111L 1 1(n N )
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
变 式 2(2013广 东 理 19第 (3)问 )
求 证 ： 1212312Ln1274 (nN)
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变
式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式1更小一点. 保留第一项，
从第二项开
1 n2
1 n2 1
133557 (2n1)(2n1) 2
变 式 1 求 证 ： 1 2 1 2 3 1 2 L n 1 2 2(n N )
变 式 2(2013广 东 理 19第 (3)问 )
求 证 ： 111L17 (nN)
22 32
n2 4
变 式 3求 证 ： 1 1 1 L 1 5(n N ) 2 2 3 2 n 2 3
例 2(2013广 东 文 19第 (3)问 )
求 证 ： 111L 1 1(n N ) 133557 (2n1)(2n1) 2
分析 左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.
Q 1 1( 1 1 ) (2n1)(2n1) 22n12n1
左 边 1 [ ( 1 1 ) (1 1 ) L (11) ] 2 3 35 2 n 12 n 1
问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭
开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！
常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，
其基本结构形式有如下 4 种：
n
n
①形如 ai k （ k 为常数）；②形如 ai f (n) ；
i 1
i 1
n
n
③形如 ai f (n) ；④形如 ai k （ k 为常数）.
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路一 将变式1的通项从第三项才开始放缩.
1 n2
1
n(n 1)
1 n 1
1 n
(n 3)
保留前两项，从 第三项开始放缩
左边 1 2 1 2 (1 2 1 3 ) (1 3 1 4 ) L (n 1 1 1 n )
1 1 1 1 7 1 7 (n 3) 42n 4 n 4
1 (1 1 ) 1 表面是证数列不等式，
2 2n 1 2
实质是数列求和
变 式 1 求 证 ： 1 2 1 2 3 1 2 L n 1 2 2(n N )
分析 左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
模型后求和.
Q 1 1 1 1 (n2) n 2 n ( n 1 ) n1 n
保留第一项， 从第二项开