【人教A版】高中数学必修五：第2章《数列》章末总结ppt课件

a3-a2=32-2, a2-a1=3-1. 当n≥2时,以上(n-1)个等式两端分别相加,得
(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1],
即 an-a1= 3(1 3n1) - n(n 1) .
13
2
又∵a1=1, ∴an= 1 ×3n- n(n 1) - 1 .
根据 an+1= 1 an+1 可得 1 A=1,A=2, ∴an+1-2= 1 (an-2).
2
2
2
令 bn=an-2, 则 b1=a1-2=-1,bn+1= 1 bn, 2
∴数列{bn}是以-1 为首项, 1 为公比的等比数列. 2
∴bn=b1·qn-1=(-1)·
1 2
n
1
=-
1 2
n
该
题型三 数列的求和
【例 4】 (2014 南阳高二期末)已知等差数列{an}中,a2=3,a3=5. (1)求{an}的通项公式;
(2)求数列
1
的前
n
项和
Tn.
anan1
解: (1)an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)
1 an an 1
=
1
=1
(2n 1)(2n 1) 2
1 2n
数列
Sn n
是等比数列.
名师导引:分别利用等差、等比数列的定义证明.
该
证明:(1)∵an=2- 1 (n≥2,n∈N*), an 1
bn= 1 , an 1
∴当 n≥2
时,bn-bn-1= 1 - 1 =
1
- 1 = an1 - 1 =1.
a1 1
an1 1
2
1 an 1
1
an1 1
该
题型二 等差、等比数列的判定
【例 3】 (1)已知数列{an}中,a1= 3 ,an=2- 1 (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足
5
an 1
bn= 1 (n∈N*).求证:数列{bn}是等差数列. an 1
(2)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= n 2 Sn(n=1,2,3,…).求证: n
2 (2)
规律方法 求等差数列前 n 项和 Sn 的最值问题的常用方法有: (1)二次函数法——配方,找对称轴,注意 n∈N*.
(2)通项公式法——①利用
aann
1
0
0
(a1>0,d<0),求
Sn
的最大值.
②利用
an an
1
0
0
(a1<0,d>0),求
Sn
的最小值.
该
题型五 数列的应用题
【例7】 某文具用品商店开业前要购买一批文具,预算需16000元, 店主已有现金6000元,尚缺10000元,以月利率1%,每月按复利计息 借贷,借款人借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清,则每 月应支付多少元?(不满百元凑足百元,lg 1.01≈0.0043,lg 1.061≈0.0257,lg 1.07≈0.0294) 名师导引:本题考查分期付款问题.方法一:以该商店的欠款为主 线计算.方法二:可以假设该店主不是每个月以一定金额还清贷款, 而是每个月将这一固定数目的金额以相同的条件存储在银行,最 后再一次还清.
=14n+ n (n 1) ·(-4) 2
=-2n2+16n(n∈N*). ∴Sn=-2(n2-8n)=-2(n-4)2+32. ∴n=4 时,Sn 最大.
该
法三 由法二知,Sn=-2n2+16n,而函数 y=-2x2+16x 的对称轴是 x=- 16 =4.若 x∈N*,则 x=4,y 最大,即当 n=4 时,Sn 最大.
该
解:法一 设每个月还贷款a元,
以后第n个月还贷款a元后还剩下欠款an元(1≤n≤6), 设最初贷款为a0=10000,则 a1=a0(1+1%)-a, a2=a1(1+1%)-a=a0(1+1%)2-[1+(1+1%)]a, …
a6=a5(1+1%)-a=a0(1+1%)6-[1+(1+1%)+…+(1+1%)5]a,
=2n+2-(4n-1)·2n-5,
∴Tn=(4n-1)·2n-2n+2+5=(4n-5)·2n+5,n∈N*.
该
规律方法 (1)一般地,对于数列{cn},如果cn=anbn,且数列 {an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,那么可以用错位相 减法求数列{cn}的前n项和. (2)错位相减法的步骤是:①在等式两边同时乘等比数列 {bn}的公比;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项和 公式求和.
章末总结
该
网络建构 专题归纳
网络建构
该
专题归纳
题型一 通项公式的求法
【例1】 (1)已知数列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项公式. (2)已知数列{an}满足an+1=2nan,且a1=1,求an. 名师导引: (1)用累加法求解;(2)用累乘法求解.
解: (1)由an+1-an=3n-n, 得an-an-1=3n-1-(n-1), an-1-an-2=3n-2-(n-2), …
2
2
∴d=- 2 a1=-4. 7
∴an=14+(n-1)·(-4)=18-4n.
令 an=-4n+18≥0,则 n≤4, 而 a4=2,
∴n=4 时,Sn 最大.
该
法二 由 S3=S5⇒3a1+ 3 2 d=5a1+ 5 4 d,
2
2
又 a1=14,∴d=- 2 a1=-4. 7
∴Sn=na1+ n(n 1) d 2
2
22
显然 a1=1 也适合上式, ∴{an}的通项公式为 该an= 1 ×3n- n(n 1) - 1 .
2
22
(2)∵ an1 =2n, an
∴ a2 =2, a3 =22, a4 =23,…, an =2n-1,
a1
a2
Байду номын сангаас
a3
an 1
将上述各式相乘,可得
a2 · a3 · a4 ·…· an =2×22×23×…×2n-1.
由题意,得a6=0,
即a0(1+1%)6-[1+(1+1%)+…+(1+1%)5]a=0,
所以 104×1.016- 1 1.016 a=0, 所以 a= 1.016 102 .
1 1.01
1.016 1
又因为 lg 1.016=6lg 1.01≈0.0258,
所以 1.016≈1.061.
因此,a= 1.016 102 ≈1739. 1.016 1
n 1
n
故数列
S
n
是以
2
为公比的等比数列.
n
该
规律方法 判断等差、等比数列的常用方法有定义法(等差: an+1-an=d,等比: an1 =q)、中项法(等差:2an=an+1+an-1(n≥2),
an 等比: an2 =an+1·an-1(n≥2)),另外还有通项公式法、前 n 项和 公式法.
an1 1
an1 1
又 b1= 1 =- 5 , a1 1 2
∴数列{bn}是以- 5 为首项,1 为公差的等差数列. 2
该
(2)∵an+1=Sn+1-Sn,
an+1= n 2 Sn, n
∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 整理得 nSn+1=2(n+1)Sn,
所以 Sn1 =2· Sn ,
1
1 2n
1
.
∴Tn= 1 2
1
1 3
1 3
1 5
1 5
1 7
1 2n
1
1 2n
1
=1 2
1
1 2n
1
=n.
该
2n 1
【例5】(2012年高考浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n, n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*. (1)求an,bn; (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 名师导引: (1)由an与Sn的关系求出an,进而求出bn; (2)利用错位相减法求和. 解: (1)由Sn=2n2+n得, 当n=1时,a1=S1=3; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1, ∴an=4n-1,n∈N*. 由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*.
1
,
∴an=2+bn=2-
该
1 2
n
1
.
规律方法 求数列通项公式的常用方法:
(1)观察归纳法;(2)迭代法;(3)累加法:适用于 an+1-an=f(n)形式; (4)累乘法:适用于 an1 =f(n)形式;(5)构造法:适用于 an+1=pan+q
an (p、q 为常数,p≠1,q≠0)形式;(6)公式法:适用于等差、等比数 列;(7)由 an 与 Sn 的关系求 an.
结合题意每月应支付 1800 元.
该
法二 一方面,借贷 10000 元,将此贷款以相同的条件存储六个月,
则它的本息和为
S1=104(1+0.01)6=104×1.016. 另一方面,设每个月还贷款 a 元,分 6 个月还清,其本息和为 S2 元,
则
S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+…+a=
a1 a2 a3
an 1
又∵a1=1,
n(n 1)
∴a =2 = . 1+2+3+…+(n-1) n
22
该
【例 2】 若数列{an}满足 a1=1,an+1= 1 an+1,求 an. 名师导引:构造等比数列求an. 2 解:设 an+1-A= 1 (an-A), 2
则 an+1= 1 an+ 1 A. 22
该
(2)由(1)知 anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N*,
∴Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,
①
2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,②
①-②得,
-Tn=3+4×2+4×22+…+4×2n-1-(4n-1)·2n
=3+4× 2(1 2n1) -(4n-1)·2n 1 2
a[(1 0.01)6 1.016 1
1]
=a(1.016-1)×102.
由
S1=S2,得
a=
1.016 102 1.016 1
.
又因为 lg 1.016=6lg 1.01≈0.0258,
所以 1.016≈1.061.
因此,a= 1.016 102 ≈1739. 1.016 1
结合题意每月应支付 1800 元.
该
题型四 数列中的最值
【例6】 等差数列{an}的首项为a1=14,前n项和为Sn.若S3=S5,当n为何值 时,Sn最大? 名师导引:根据S3=S5,确定基本量后,根据项的正负求解即可,根据二次 函数的性质讨论最值.
解:法一 已知{an}为等差数列,a1=14,
由 S3=S5,得 3a1+ 3 2 d=5a1+ 5 4 d. 即 2a1+7d=0,
该
规律方法 处理分期付款问题的两种常用方法:
(1)按照事件发生的先后顺序依次求出数列的前几项,并 由此归纳得出数列通项的一般表达式. (2)以贷款和存款的增值两条线索分别计算,并由它们的 相等关系(或不等关系)建立方程(或不等式)求解.
该
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该