泛函分析第6章 广义函数与Sobolev空间简介

第六章 广义函数与Sobolev 空间简介

函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。下面用几个例子加以说明。

例6.1（脉冲） 20世纪初，Heaviside 在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。这套算法要求对如下函数

10

()00x h x x ⎧≥⎪=⎨

<⎪⎩ 求导数，并把导数记为()x δ。但按照经典分析的理论，()h x 并不可导，因此()x δ不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。但是，这个()x δ在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。

例6.2（Dirac 符号） 在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式((,))i x e x λ∈-∞+∞，λ是实参数，并考虑如下形式的积分

12i x e dx λπ

+∞

-∞

⎰

这种积分按Cauchy 积分来定义，即

111sin lim lim 22n i x i x n n n n e dx e dx λλλ

πππλ

+∞+-∞-→∞→∞==⎰⎰ 显然，这个极限在普通意义下不存在。然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的

()x δ，并认为是Dirac 符号。特别，在量子力学中，进一步发展了不少关于()x δ的运算法则，并广泛地使用。

例 6.3（广义微分） 在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。20世纪30年代，Sobolev 为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev 空间理论。这标志着现代微分方程理论的诞生。

基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学基础，对数学家提出了新的挑战。20世纪40年代，Schwartz 完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。

6.1 基本函数空间与广义函数

6.1.1基本函数空间

把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。这类函数空间称为基本函数空间。

在引进基本函数空间之前，先介绍一些记号和术语。 对于欧氏空间12,(,,

,)n

n R x x x x =表示n

R 中的点，范数1

22

2212()n

x x x x =++

+。设

12,,

,n p p p 为n 个非负整数，有序数组12(,,,)n p p p p =称为多重指标。

12n p p p p =+++。对于多重指标p ，引进偏微分算子

12

12n

p p p p n p D x x x ∂=

∂∂∂

n R Ω⊂是非空开集，Ω是Ω的闭包。()C Ω表示在Ω上定义的连续函数全体组成的线性空间。对于任何非负整数k ，()k C Ω表示全体在Ω内由k 次连续可微的偏导数，且在Ω上的连续的函数组成的线性空间，特别0()()C C Ω=Ω。设ϕ的支集是集合

{:()0}x x ϕ∈Ω≠

在Ω内的闭包，并记为sup {:()0}p x x ϕϕ=∈Ω≠。

0()k C Ω表示()k C Ω中满足支集是Ω内紧集（有界集）的所有函数组成的空间，

00

()()k k C C ∞

∞=Ω=

Ω，即表示支集是Ω内紧集的无穷次可微函数全体。显然，下面的包含关

系成立

10000()()()()k k C C C C ∞+Ω⊂

⊂Ω⊂Ω⊂

⊂Ω

例6.4 设n R 上定义的函数为

2

111()01

x n C e

x j x x --⎧⎪

<=⎨⎪≥⎩

这里n C 是依赖于维数n 的常数，即

n C ＝21

111x

x e

dx ---≤⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

⎰ 那么()j x 是无穷次连续可微的，且{}sup :1n pj x R x ⊂∈≤，()1n R

j x dx =⎰，因此

0()()n j x C R ∞∈。从()j x 出发，我们可以构造出许多0()n C R ∞

中的函数。下面我们来构造对

任何非空开集Ω，0()C ∞Ω中的函数。为此，对任意0δ>，记

1

()()n

x j x j δδδ

=

，那么0

()n j C R δ∞

∈ 【定理6.1】 设()x μ是Ω上定义的一个可积函数，并且在Ω的一个紧集K 外恒为零，

则当0δ>充分小时，可积函数

()()()x y j x y dy δδμμΩ

=-⎰

是0()C ∞Ω中的函数。

证明：记{}:(,)n K x R dist x K δδ=∈≤，这里(,)dist x K 表示x 到K 的距离，当δ充分小时，K δ⊂Ω，当x K δ∉时，对一切y K ∈均有x y δ->，于是

()0j x y δ-=。

()()()()()0K

x y j x y dy y j x y dy δδδμμμΩ

=-=-=⎰⎰

因此sup p K δδμ⊂，而

[]101101

1

lim ()()()lim ()()h h j x he y j x y y dy x h

j x he y y dy x δδδδμμθμΩ→Ω→∂=+---∂∂

=+-∂⎰⎰

上式利用了微分中值定理，1(0,1),(1,0,,0)n e R θ∈=∈，又j δ是连续可微函数，因此

存在0M >使

1

()()n j x M x R x δ∂

≤∀∈∂

应用Lebesgue 控制收敛定理，得

1011

1

lim ()()()()h j x he y y dy x x j x y y dy x δδδμθμμΩ→Ω∂∂

=+-∂∂∂=-∂⎰⎰

由于0()n j C R δ∞

∈，对任何多重指标12(,,,)n p p p p =重复上述过程，可得到

()()p p D D j x y y dy δδμμΩ

=-⎰

于是0

()C δμ∞

∈Ω。 下面我们在0()C ∞Ω上引进收敛的概念。

【定义6.1】 设{}0()i C ϕ∞

⊂Ω，0()C ϕ∞∈Ω，如果满足下列条件：

（1） 存在一个紧集K ⊂Ω，使得 sup ()(1,2,),

sup ()j p K j p K ϕϕ⊂=⊂