泛函分析第6章 广义函数与Sobolev空间简介

第六章 广义函数与Sobolev 空间简介
函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。

下面用几个例子加以说明。

例6.1（脉冲） 20世纪初，Heaviside 在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。

这套算法要求对如下函数
10
()00x h x x ⎧≥⎪=⎨
<⎪⎩ 求导数，并把导数记为()x δ。

但按照经典分析的理论，()h x 并不可导，因此()x δ不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。

但是，这个()x δ在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。

例6.2（Dirac 符号） 在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式((,))i x e x λ∈-∞+∞，λ是实参数，并考虑如下形式的积分
12i x e dx λπ
+∞
-∞
⎰
这种积分按Cauchy 积分来定义，即
111sin lim lim 22n i x i x n n n n e dx e dx λλλ
πππλ
+∞+-∞-→∞→∞==⎰⎰ 显然，这个极限在普通意义下不存在。

然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的
()x δ，并认为是Dirac 符号。

特别，在量子力学中，进一步发展了不少关于()x δ的运算法则，并广泛地使用。

例 6.3（广义微分） 在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。

20世纪30年代，Sobolev 为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev 空间理论。

这标志着现代微分方程理论的诞生。

基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学基础，对数学家提出了新的挑战。

20世纪40年代，Schwartz 完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。

6.1 基本函数空间与广义函数
6.1.1基本函数空间
把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。

广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。

这类函数空间称为基本函数空间。

在引进基本函数空间之前，先介绍一些记号和术语。

对于欧氏空间12,(,,
,)n
n R x x x x =表示n
R 中的点，范数1
22
2212()n
x x x x =++
+。

设
12,,
,n p p p 为n 个非负整数，有序数组12(,,,)n p p p p =称为多重指标。

12n p p p p =+++。

对于多重指标p ，引进偏微分算子
12
12n
p p p p n p D x x x ∂=
∂∂∂
n R Ω⊂是非空开集，Ω是Ω的闭包。

()C Ω表示在Ω上定义的连续函数全体组成的线性空间。

对于任何非负整数k ，()k C Ω表示全体在Ω内由k 次连续可微的偏导数，且在Ω上的连续的函数组成的线性空间，特别0()()C C Ω=Ω。

设ϕ的支集是集合
{:()0}x x ϕ∈Ω≠
在Ω内的闭包，并记为sup {:()0}p x x ϕϕ=∈Ω≠。

0()k C Ω表示()k C Ω中满足支集是Ω内紧集（有界集）的所有函数组成的空间，
00
()()k k C C ∞
∞=Ω=
Ω，即表示支集是Ω内紧集的无穷次可微函数全体。

显然，下面的包含关
系成立
10000()()()()k k C C C C ∞+Ω⊂
⊂Ω⊂Ω⊂
⊂Ω
例6.4 设n R 上定义的函数为
2
111()01
x n C e
x j x x --⎧⎪
<=⎨⎪≥⎩
这里n C 是依赖于维数n 的常数，即
n C ＝21
111x
x e
dx ---≤⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎰ 那么()j x 是无穷次连续可微的，且{}sup :1n pj x R x ⊂∈≤，()1n R
j x dx =⎰，因此
0()()n j x C R ∞∈。

从()j x 出发，我们可以构造出许多0()n C R ∞
中的函数。

下面我们来构造对
任何非空开集Ω，0()C ∞Ω中的函数。

为此，对任意0δ>，记
1
()()n
x j x j δδδ
=
，那么0
()n j C R δ∞
∈ 【定理6.1】 设()x μ是Ω上定义的一个可积函数，并且在Ω的一个紧集K 外恒为零，
则当0δ>充分小时，可积函数
()()()x y j x y dy δδμμΩ
=-⎰
是0()C ∞Ω中的函数。

证明：记{}:(,)n K x R dist x K δδ=∈≤，这里(,)dist x K 表示x 到K 的距离，当δ充分小时，K δ⊂Ω，当x K δ∉时，对一切y K ∈均有x y δ->，于是
()0j x y δ-=。

()()()()()0K
x y j x y dy y j x y dy δδδμμμΩ
=-=-=⎰⎰
因此sup p K δδμ⊂，而
[]101101
1
lim ()()()lim ()()h h j x he y j x y y dy x h
j x he y y dy x δδδδμμθμΩ→Ω→∂=+---∂∂
=+-∂⎰⎰
上式利用了微分中值定理，1(0,1),(1,0,,0)n e R θ∈=∈，又j δ是连续可微函数，因此
存在0M >使
1
()()n j x M x R x δ∂
≤∀∈∂
应用Lebesgue 控制收敛定理，得
1011
1
lim ()()()()h j x he y y dy x x j x y y dy x δδδμθμμΩ→Ω∂∂
=+-∂∂∂=-∂⎰⎰
由于0()n j C R δ∞
∈，对任何多重指标12(,,,)n p p p p =重复上述过程，可得到
()()p p D D j x y y dy δδμμΩ
=-⎰
于是0
()C δμ∞
∈Ω。

下面我们在0()C ∞Ω上引进收敛的概念。

【定义6.1】 设{}0()i C ϕ∞
⊂Ω，0()C ϕ∞∈Ω，如果满足下列条件：
（1） 存在一个紧集K ⊂Ω，使得 sup ()(1,2,),
sup ()j p K j p K ϕϕ⊂=⊂
（2） 对于任意多重指标12(,,,)n p p p p =，函数列{}
p j D ϕ在K 上一致收敛
于p D ϕ，即
max ()()0()p p j x K
D x D x j ϕϕ∈-→→∞
则称{}i ϕ收敛于ϕ，记为D
j ϕϕ−−→，
而称0()C ∞Ω按照收敛概念及线性运算为基本函数空间，并记为()D Ω，在Ω明确时，可简写为D 。

根据D 中收敛概念的定义，容易证明： （1） 设{}j ϕ，{}j D ψ⊂；ϕ，ψD ∈，如果
,D D
j j ϕϕψψ−−→−−→
则对任何数,αβ有
D
j j αϕβψαϕβψ+−−→+
这说明D 中的线性运算关于收敛概念是连续的。

（2） 对任一多重指标p ，:p D D D →这一线性映射是连续的，即 {},j D D ϕϕ⊂∈
则若 D j ϕϕ−−→ 那么 D p p j D D ϕϕ−−→。

【定义6.2】 称{}i D ϕ⊂为Cauchy 列，如果满足： （1） 存在紧集K 使()()sup 1,2,
;i p K j ϕ⊂=
（2） 对0ε∀>，及多重指标p ，存在自然数N ，使当12,j j N ≥时，有 ()()12max p p j j x K
D x D x ϕϕε∈-<
【定理6.2】D 是完备的，即若{}i D ϕ⊂是任意一个Cauchy 列，则存在D ϕ∈，
使得D j ϕϕ−−→。

证明留作习题。

6.1.2 广义函数的基本概念
【定义6.3】D 上的一切线性连续泛函，称为广义函数，即D 上的广义函数满足 （1） 线性：对任何数,αβ及12,D ϕϕ∈有
()()()1212f f f αϕβϕαϕβϕ+=+
（2） 连续：设{},j D D ϕϕ⊂∈，若D
j ϕϕ−−→，则有
()()()j j f f j ϕϕ→→∞ 一切广义函数所组成的集合，记作'D 。

例6.5 δ函数，设n R Ω⊂是非空开集，a ∈Ω，对于任意D ϕ∈，定义 ()()a a δϕϕ= 则a δ是广义函数。

证明：显然a δ是D 上的线性泛函。

设{},j D D ϕϕ⊂∈，若D j ϕϕ−−→，则更有
()()()0j a a j ϕϕ-→→∞
从而
()()()()()0a j a j a a j δϕδϕϕϕ-=-→→∞
即a δ在D 上是连续的，所以a δ是一个广义函数，称a δ为集中在点a 的Dirac 广义函数，简称为δ函数。

特别，当()()0,0,
,0n a R θ==中零元素时，θδ记为δ。

例6.6 设R n Ω⊂是非空开集，()f x 是Ω上定义的一个局部可积函数，即 对于Ω的任何紧子集K ，积分
()K
f x dx <+∞⎰
通过局部可积函数f 定义D 上的泛函
()()()*f f x x dx ϕϕΩ
=⎰ （6.1）
则*f 是广义函数。

证明：由于()f x 是局部可积的，那么对任何D ϕ∈，()()f x x ϕ在()sup p ϕ上可积，
从而由式（6.1）定义的积分有意义。

根据式（6.1），显然*f 是线性的。

设{},j D D ϕϕ⊂∈，
且D j ϕϕ−−→，于是存在紧集K 使()sup j p K ϕ⊂，()sup K p ϕ⊂，且j ϕ在K 上一致收敛于
ϕ。

取常数0M >，使()sup j x K
x M ϕ∈≤，那么由Lebesgue 控制收敛定理，有
()()()()()()()()()()
*j j j K
K
f f x x dx f x x dx f x x dx
f x x dx j ϕϕϕϕϕΩ
Ω
==→=→∞⎰⎰⎰⎰
即
()()()**j f f j ϕϕ→→∞ 这说明*f 连续，因此*f 是D 上的广义函数。

记()LOC L Ω为Ω上全体局部可积函数组成的集合，通过例6知道，每个f ∈()LOC L Ω都对应一个广义函数*f ，称这样的*f 为函数型广义函数。

【定理6.3】 映射()':LOC T L D Ω→定义为 ()*T f f = 则T 是一对一线性映射。

由于证明较繁琐，这里略去。

通过定理6.3，我们可以把局部可积函数f 与由f 定义的广义函数*f 视为同一，这样局部可积函数是广义函数。

例6.7 考察在R 上的函数
()()[)0,0;
10,x h x x ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩
通常称()h x 为Heaviside 函数。

显然，()LOC h L R ∈，于是它定义()D R 上的 广义函数*h 为
()()()()*0
h h x x dx x dx ϕϕϕ+∞
+∞
-∞
==⎰⎰
是否每个广义函数都是函数型的，即对广义函数*'g D ∈，是否存在局部可 积函数f 使
()()()*g f x x dx ϕϕΩ
=⎰
回答是否定的。

也就是说'D 中确实存在非函数型广义函数。

例6.8 a δ不是函数型的广义函数。

证明：用反证法。

设a δ是函数型的，则存在一个定义于Ω上的局部可积函数f 使得对一切D ϕ∈成立
()()()f x x dx a ϕϕΩ
=⎰ （6.2）
取正数r 充分小，使(){}:r B a x x a r =-<⊂Ω，定义函数
()()()
22
2
,0\r a r r r x B a e x a r x x B a ϕ⎧∈⎪--=⎨⎪∈Ω⎩
显然，,a r D ϕ∈，由式（6.2）得
()()()1,,a r a r f x x dx a e ϕϕ-Ω
==⎰
（6.3）
另一方面，(),0
lim 0a r r x a e ϕϕ+
→==⋅，由Lebesgue 控制收敛定理，有 ()(),0
lim 0a r r f x x ϕ+Ω
→=⎰
（6.4） 这样式（6.3）与式（6.4）矛盾，故不是函数型的。

【定理6.4】 'f D ∈当且仅当对任意紧集K ⊂Ω，存在常数C 及非负整数m ，使得当sup p K ϕ⊂时有
()()sup p x K
p m f x C D D ϕϕ∈≤≤∈∑ （6.5）
证明：充分性。

由式（6.5）知f 是D 上定义的连续性泛函，因此'f D ∈。

必要性。

用反证法。

若不然，有紧集K ，使式（6.5）不成立。

于是对任何自然数j ，存在函数j D ϕ∈，且()sup j p K ϕ⊂使
()()sup p j j x K
p j f j D x ϕϕ∈≤>∑ （6.6）
于是令
()
()
ˆsup j j p
j x K
p j x j D x ϕϕ
ϕ∈≤=∑
则ˆj D ϕ
∈，且ˆsup j p K ϕ⊂，再由式（6.6）可得 ()ˆ1j f ϕ
> （6.7） 又
()1
ˆsup p j x K
p j D x j
ϕ
∈≤=∑ 因此，ˆj ϕ
0D
ϕ−−→≡，于是()()ˆ0j f f ϕϕ→=，这与式（6.7）矛盾。

在广义函数空间'D 上规定加法与数乘运算：设'12,,f f D R λ∈∈定义 ()()()()1212f f f f ϕϕϕ+=+ ()()11()f f λϕλϕ=
则很容易证明''121,f f D f D λ+∈∈，因此'D 是一个线性空间。

【定义6.4】 设{}'',j f D f D ⊂∈，如果对于一切D ϕ∈成立 ()()lim j j f f ϕϕ→∞
=
则称{}j f 在'D 中收敛于f ，记为j f f →。

'D 按照这种收敛概念，称为广义函数空间。

容易证明，'D 中加法与数乘运算关于收敛是连续的，即如果j f f →，j g g →，则对任何数,αβ有
j j f g f g αβαβ+→+ 例6.9 在R 上，函数列 ()()1sin 1,2,
j j f x j x
θ
π=
=
是()LOC L R 中的函数列，从而可视为广义函数列，那么j f δ→。

证明：由于sin x
dx x
π+∞-∞
=⎰
，因此 1sin lim 1T T T jx dx x
π-→+∞=⎰ 对任意()D R ϕ∈，存在00T >，使[]00sup ,p T T ϕ⊂-。

那么当0T T >时 ()()()()T
j j T
f x x dx f x x dx ϕϕ+∞-∞
-=⎰
⎰
另一方面，对0ε∀>取1T 足够大，使当1T T >时有
1
sin 12T
T jx dx x ε
π--<⎰
从而当01max ,T T T >时有
()()()()()()()()
()
1
sin 0002201
sin 02
T
j T T
jx f x dx x x x jx
dx x
ε
ϕϕϕϕϕπϕϕϕε
ϕπ
--≤
-+⎡⎤⎣⎦+--=
+
⎰⎰
对于固定T ，由于函数()()()()
20ˆx x x x
ϕϕϕϕ
+--=是Riemann 可积的，因
此由Riemann 引理
()0
ˆlim sin 0T
j jx x dx ϕ
→∞=⎰ 于是存在自然数0n ，当0j n >时 ()0
1
ˆsin 2
T
jx x dx ε
ϕ
π
<⎰
因此
()()()()()0022
j j f f ε
ε
ϕϕϕδϕϕ-=-<+
由ε的任意性得
()()j f ϕδϕ→ 故j f δ→。

这个例子给出了关于本章例2中的Dirac 符号的合理数学解释。

注：（Riemann
引理） 设f 是
[]
,a b 上Riemann 可积函数，则
()()lim sin lim cos 0a
a
b
b
n n f x nxdx f x nxdx →∞→∞==⎰⎰。

读者可在任何一本《数学分析》 教科书
中找到。

习题6.1
1. 在'D 中证明：
()
()()22
1
1
10;x x δεπε
+→→+ (
()()2420x t
x t δ-
+→→。

2. 设()()11,2,j
j x f x j j ⎛
⎫=+
= ⎪⎝⎭
，证明：()x j f x e →。

3. 设n R Ω⊂是一个开集，()j f x 是Ω上的一列局部可积函数，并且对任意 紧集K ⊂Ω，存在常数K M 使得()j K f x M ≤，又()()0j f x f x a e →⋅，证明：
**0j f f →。

4. 设n R Ω⊂是一个非空开集，K ⊂Ω是紧集。

证明：存在函数()0C ϕ∞
∈Ω，
使得()01x ϕ≤≤，且在K 上恒有()1x ϕ=。

5. 证明定理
6.2。

6.2 广义函数的导数及性质
广义函数求导的思想来源于经典分析学中的分部积分，为此，先回顾一下分 部积分的基本思想。

设(),a b Ω=，f 和ϕ是Ω上定义的两个连续可微函数，若sup p ϕ是Ω内 的紧集，则()()0a b ϕϕ==，于是有
()()()()''f x x dx f x x dx ϕϕΩ
Ω
=-⎰
⎰
可见，利用分部积分可将一个函数的求导运算化为对另一个函数的求导，广义函数的导入引入，就是遵循这一法则而得来的。

对任一多重指标p ，p D 是一个由D 到D 的连续映射，因此可有：
【性质6.1】 设'f D ∈，定义()()1g f D x ϕϕϕ⎛⎫∂=-∈ ⎪∂⎝⎭
，则'
g D ∈。

证明：显然g 是D 上线性泛函，设{},j D D ϕϕ⊂∈，若D
j ϕϕ−−→，那么
1
1
j D
x x ϕϕ
∂∂−−→
∂∂ 从而
1
1j
D
f f x x ϕϕ∂⎛⎫⎛⎫∂−−→
⎪ ⎪∂∂⎝⎭
⎝⎭
因此()()j g g ϕϕ→，故'g D ∈。

【定义6.5】 'f D ∈定义f 对1x 的一阶偏导数为g ，并记为1
f
g x ∂=∂，则g 仍然是广义函数。

一般地对任意多重指标p ，定义p D f 为如下广义函数：
()()()1p
p p g f D ϕϕ=-
即p p D f g =。

从定义6.5可以看出，广义函数可进行无限次求导运算。

例6.10 由Heaviside 函数h 所定义的函数
()10
00x h x x ≥⎧=⎨<⎩
的广义导数'h δ=。

证明：对任意()D R ϕ∈，有
()()()()'
'
'00h h dx ϕϕϕϕδϕ∞
=-=-==⎰
因此'h δ=。

注：如果是一元广义函数（即f 为()D R 上的连续线性泛函），则f 的一阶、二阶导数等分别用''',f f 等来表示。

例6.11 证明：''
2x δ=。

证明：对任意()D R ϕ∈，取0a >，使()sup ,p a a ϕ⊂-。

那么有
()()()()()()()()()()()''
''''0''
''0
''0
00202a
a a
a
x x x x dx
x x dx x x dx x dx x dx
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕδϕ+∞
-∞
--===-=-+=+==⎰
⎰⎰⎰⎰
所以''
2x δ=。

【定义6.6】 设()C ψ∞∈Ω，'f D ∈，定义D 上的泛函为 ()()()()f f D ψϕψϕϕ=∈
那么f ψ显然是D 上连续线性泛函，即'D ψϕ∈，称ψ是'D 的一个乘子。

注：对于()C ψ∞∈Ω，'f D ∈可定义乘积f ψ，但对于两个广义函数不能定义乘积运算。

例6.12 证明2''2x δδ=。

证明： ()()()()''2
2''21x x x δϕδϕ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
，又
()()()()()()()()()
'''
22'''2''
2222x x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+++
故
()()()()()()()
''2'2''024202x x x x x x x x δϕϕϕϕϕδϕ=⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎢⎥⎣
⎦== 即2''2x δδ=。

注：对于任何正数k ， ()k
δ为按如下公式定义的广义函数
()()()()()
()()()110k
k
k k k
δϕδϕϕ=-=-
【性质6.2】 （1）设',,,f g D αβ∈是数，则
()()1,2,,j j j
f g
f g j n x x x αβαβ∂∂∂+=+=∂∂∂
（2）设()',C f D ψ∞∈Ω∈，则
()()()1,2,,j j j
f f f j n x x x ψψ
ϕψ∂∂∂=+=∂∂∂
证明：（1）由定义显然。

我们来证（2），对于任意D ϕ∈，则
()
()()()()()()()j
j
j j j j j j j f f f x x x f f x x
f
f x x f f x x
ψϕϕϕψψϕψψ
ϕψϕψϕψψϕϕ⎛⎫
⎛⎫∂∂∂=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
∂∂∂⎝⎭⎝
⎭⎡⎤
⎛⎫⎛⎫∂∂=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣
⎦
⎛⎫∂∂=+ ⎪ ⎪∂∂⎝
⎭⎛⎫⎛⎫∂∂=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝
⎭
故（2）成立。

【性质6.3】 设'',j f D f D ∈∈，若'
D
j f f −−→，则
()'1,2,,D i i i
f f
i n x x ∂∂−−→=∂∂
证明：对于任意D ϕ∈，由于
()()lim lim j j j j i
i i i f f
f f x x x x ϕϕϕϕ→∞→∞∂⎛⎫⎛⎫
∂∂∂=-=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
因此，
'D i i i
f f
x x ∂∂−−→∂∂。

【定义 6.7】 设{}'
'
,j f D f D ⊂∈，称级数1
j j f ∞
=∑在'D 中收敛于f ，是指前m 项和
1
m j j s f ∞==∑在'
D 中收敛于f ，记为1
j j f f ∞
==∑。

由性质6.3得：
【性质6.4】 若级数1j j f ∞
=∑收敛于f ，则级数1
j j i
f x ∞
=∂∂∑
收敛于
()1,2,,i
f
i n x ∂=∂。

注：对于广义函数级数可以逐项求导，然而普通函数级数即使每项是连续可导函数，且处处收敛于某个连续可导数，也不能逐项求导。

例13 ()1
cos j f x jx j
=
，则()j f x 一致收敛于()0f x ≡，但其导函数()'sin j f x jx =-不收敛于()'0f x ≡。

如果将,j f f 看成广义函数，则在'D 中有'j f f →。

【性质 6.5】 设{}'j f D ⊂，如果对每个D ϕ∈，极限()lim j j f ϕ→∞
存在且有限，则必存
在'f D ∈，使得'
D
j f f −−→。

证明性质6.5需要用到拓扑线性空间的专门知识，故此略去其证明。

通过广义函数上述的性质，我们看到，广义函数空间'D 关于求导与极限运算是封闭的，因此，广义函数的求导与极限运算比普通微积分中函数的相应运算既灵活又方便。

习题6.2
1.计算()
3x。

2.已知()010
x x x x λλλ+
⎧>=≠-⎨
≤⎩，计算()'
x λ+。

3.求证()'1Ln x P V x ⎛⎫
=⋅ ⎪⎝⎭，即()()()()'0lim ,x x Ln x dx D R x εεϕϕϕ≥→+=∀∈⎰。

4.设()1,,,R a f αβΩ=⊂∈Ω在(),αβ内除a 点外是连续可微的，且在a 点是 第一类间断点，'f 在(){},\a αβ内有界。

证明f 的广义函数为
()()'00a df
f f a f a dx
δ=++--⎡⎤⎣⎦ 6.3 Sobolev 空间的定义及性质 6.3.1 Sobolev 空间
设()1u C ∈Ω即在Ω内连续可微，()0C ϕ∞
∈Ω，由分部积分公式可得
()()11,2,
,i i
u
u
dx dx i n x x ϕϕΩΩ∂∂=-=∂∂⎰⎰
类似地，如果k 是一个正整数，()()12,,,,k n u C αααα∈Ω=是一个多重指标且
12n k αααα=+++=，那么反复使用（1）
，我们有 ()2(1)uD dx D udx αααϕϕΩΩ=-⎰⎰
这里12
12
n
n
D x x x αααα∂∂∂=
∂∂∂，因此根据公式（2）的左边，我们仅需要函数u 在Ω上局部可积，则公式有定义，这样可以将函数导数的概念通过（2）来推广。

记()1LOC L Ω为Ω上的局部可积函数全体。

【定义6.8】 设()1,,LOC u v L α∈Ω是一个多重指标。

我们称v 是u 的第α次弱偏导数，记为D u v α=，如果满足
(1)
uD dx v dx α
αϕϕΩ
Ω
=-⎰
⎰
对任何()0C ϕ∞
∈Ω成立。

注：如果u 的α次弱偏导数存在，那么在除去一个零测度集外是惟一的。

事实上，设
()1,LOC v v L ∈Ω，那么由()
()
11uD dx v dx v dx α
α
αϕϕϕΩ
Ω
Ω
=-=-⎰⎰
⎰
得对一切()0C ϕ∞∈Ω成立()
0v v dx ϕΩ
-=⎰。

不难证明v va e =⋅（留为习题）。

例14 设()0,2Ω=，且()()01101,112012x x x u x v x x x <≤<≤⎧⎧==⎨⎨
<<<<⎩⎩ 则v 是u 的偏导数。

证明：对任何()0C ϕ∞
∈Ω，有 ()()()
()()()()()
2
121
1'
'
'
00
1
11
2111020u dx x dx dx x x dx dx dx
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+=-+-=--=-==⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
另一方面，2
1
v dx dx ϕϕ=⎰⎰，所以2
2'0
u dx v dx ϕϕ=-⎰⎰，因此，'u v =。

是否每个局部可积函数都存在弱导数呢？回答是否定的，见下面的例15。

例15 设()0,2Ω=，且()01212x x u x x <≤⎧=⎨<<⎩
那么u 不存在弱导数。

证明： 事实上，若有()1LOC v L ∈Ω，则 ()()2
2
'0
u dx v dx
C ϕϕϕ∞
=-∀∈Ω⎰
⎰
又 ()
()()2
1
2
1
'
'
'
1
2120u dx x dx dx dx ϕϕϕϕϕϕ=+=--=⎰
⎰⎰⎰
故
()()()2
1
1v dx dx
C ϕϕϕϕ∞=-∀∈Ω⎰⎰ （6.8）
选择()o C ∞
Ω中一列函数()k x ϕ满足
()()0011k k x ϕϕ≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩
且()()01k x x ϕ→≠
据式（6.8）有
()2
1
k k k 0
1v dx dx ϕϕϕ=-⎰⎰
再由Lebesgue 控制收敛定理，令k →∞得 2
1
01lim lim 0k k k k v dx dx ϕϕ→∞
→∞
=-=⎰⎰
这显然是不可能的。

【定义6.9】 记号(),k p W Ω表示满足下面条件的函数的全体：
()()1p u L ∈Ω； ()()2k αα
αα≤∈Ωp 对任何满足的多重指标，都存在u 的次弱偏导数D u L 。

注：()(),k p p W L Ω⊂Ω，(),k p W Ω是()p L Ω的一个线性子空间。

【定义6.10】 对于(),k p u W ∈Ω，定义范数
1
,p
p
k p
k u
D u dx ααΩ≤⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
∑⎰ 则()()
,,,k p k p W Ω⋅是赋范线性空间，更进一步，我们有 【定理6.5】 (),k p W Ω是Banach 空间
证明：即证明(),k p W Ω是完备的。

设{}m u 是(),k p W Ω中的一个Cauchy 列，那么，对于每个多重指标()k αα≤，{}m D u α是()p L Ω中的Cauchy 列。

因()p L Ω完备，因此存在
()p a u L ∈Ω使
()m a D u u m α→→∞（在()p L Ω范数下）
令lim m m u u →∞
=。

我们来检验a a D u u =。

事实上，对任何()0C ϕ∞
∈Ω有
()
()
lim lim 11a a m m a
m a m uD dx u D dx
D u dx u dx
α
α
ϕϕϕϕΩ
Ω
→∞Ω
Ω
→∞
==-=-⎰
⎰⎰
⎰
这说明a D u u α=。

于是由a a m D u D u →（在()p L Ω范数下）知m u u →（在(),k p W Ω范数下），因此(),k p W Ω是Banach 空间。

通常称(),k p W Ω为Sobolev 空间。

【性质6.6】 设(),,,k p u v W k α∈Ω≤，那么
()(),1,,k p R u v W λμλμ∀∈+∈Ω，且()D u v D u D v αααλμλμ+=+； ()2对任何多重指标,αβ，若k αβ
+≤，则()D D u D u αβαβ+=；
()3如果()
0C ϕ∞∈Ω，则(),k p u W ϕ∈Ω且()D u D D u α
βαββααϕϕβ-≤⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑。

这里记号βα≤为()()12!
1,2,
,,!!!!,!!i i n i n ααβαααααββαβ⎛⎫≤===
⎪-⎝⎭。

这些性质的证明十分容易，留给读者做练习。

【定义6.11】
记(),0k p W Ω=()(){
}
,0,0k p m m k p
u W u C u u
∞
∈Ω∈Ω-→存在序列使
则(),0k p W Ω是(),k p W Ω的闭子空间，因此是Banach 空间，同样也是一类 Sobolev 空间。

注：当2p =时，(),2k W Ω及(),0k p W Ω通常用()k H Ω及()0k H Ω表示，它们都
是Hilbert 空间，其内积为,k
u v D uD vdx ααα
Ω
≤=
∑⎰。

【定义6.12】 设1p n ≤<，称*np
p n p
=
-为p 的Sobolev 共轭指数。

【性质6.7】 设1p n ≤<，那么存在一个仅与p 和n 有关的常数C ，使对
任何()0n C R ϕ∞
∈有()()*
p n
p
n
L R L R C D ϕ
ϕ≤。

注：性质6.7是著名的Gagliardo Nirenberg Sobolev --不等式，其中
()()
12
12
1p n n n
p
p
n p
p
L R R R i i D dx D dx
x ϕϕϕ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
∂ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭ ⎪
⎝⎭⎝⎭
∑⎰⎰
这里D ϕ表示向量12
,,
,
n x x x ϕϕ
ϕ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭
在n
R 空间中的欧式范数。

为了使读者能更好地这个不等式，我们给出2n =的证明。

证明： 当2n =时*22p
p p
=
-，先证1p =的情形，这时*2p =。

因为()20C R ϕ∞
∈，于是()()()1
2
1221,,x x x x x s x ds x t dt ϕϕϕ-∞
-∞
==⎰⎰。

这里1212
,x x x x ϕϕ
ϕϕ∂∂=
=∂∂，因此 ()()()()()12
1
2
221
,,x x x x x s x ds
x t dt ϕϕϕ-∞
-∞
=
⎰
⎰ ()()()()()()
()()()()()()()
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
11
2
11
2
,,,,,x x x x x x R x dx s x ds x t dt dx s x ds x t dtdx s x ds D dx ϕϕϕϕϕϕϕ+∞
+∞+∞
-∞
-∞
-∞-∞
+∞+∞+∞
-∞
-∞-∞
+∞
-∞
≤≤≤⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 进一步
()()()
()()()()()()
2
2
1
2
2
2
221222
2
,R x R R R R x dx x dx dx s x dsdx D dx
D dx
D dx D dx
ϕϕϕϕϕϕϕ+∞
+∞
-∞
-∞
+∞
+∞
-∞
-∞
=≤≤
=
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
（6.9）
故()()2212L R L R D ϕϕ≤。

现在设12p <<。

取2p r p
=-，则1r >。

令r ϕϕ=，则()
20C R ϕ∞
∈。

由式（6.9） 得
()()
*
2
2
2112
2
2
p
r
R R R
dx
dx
D dx ϕϕ
ϕ=≤⎰
⎰
⎰ （6.10）
由Holder 不等式111p q ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
得
()()(
)()
()
()
()()
2
222
*
2
2
1
11111111r r R R
q
q
r p
p
R R p
q
p
p
R R D dx r D dx
r dx D dx
r dx
D dx
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ--=-⎛⎫≤-⋅ ⎪⎝⎭=-⋅⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰
代入式（6.9）得
()
()()
*
2
2
1112p q
p
p
R R dx
D dx
ϕϕ-≤⎰
⎰
注意到*1121
22p q p p
--=
=，那么有 ()()*
2
2
p p
L R L R D ϕ
ϕ≤
对于n R 的情形，可以类似证明。

【定义6.13】 设n R Ω⊂使有界开集，∂Ω是表示Ω的边界。

称∂Ω是k C 光滑的，是指对每个点0x ∈∂Ω，存在0r >及一个k C 函数1:n r R R -→满足
()()(){
}
00121,,,,
,n n B x r x B x r x r x x x -Ω=∈>
例16 (){}(){}2222
12121212,:1,,:1x x x x x x x x Ω=+<∂Ω=+=
那么∂Ω是k C 光滑的。

根据性质6.7，我们有下面的Sobolev 嵌入不等式。

【定理6.6】 设Ω是n R 的有界开集，且∂Ω是1C 的，那么对于1p n ≤<及
()1,p
u W
∈Ω有()*
p u L ∈Ω且
()
()*
1,p p L W u
C u ΩΩ≤，这里常数C 仅依赖于,p n 和Ω。

【推论6.1】 设Ω是n R 的有界开集，∂Ω是1C 的，1p n ≤<，()1,0p u W ∈Ω，那么对
任何*
1,q p ⎡⎤∈⎣⎦，成立
()
()
q p L L u
C Du
ΩΩ≤
式中，C 是仅依赖于,,p q n 和Ω的常数。

证明：由于()1,0p u W ∈Ω，那么存在()0m C ϕ∞
∈Ω
使得()
()1,0p m
W u m ϕΩ-→→∞。

亦即()
0p m
L u ϕΩ-→和()
0p m
L Du D ϕΩ-→
记0
m
m n
x x R ϕϕ∈Ω⎧=⎨
∈-Ω
⎩，则()0n m C R ϕ∞
∈。

根据性质6.1有 ()()*
p n
p n
m m
L R L R C D ϕϕ≤
即
()
()
*
p p m
m
L L C D ϕϕΩΩ≤
故令m →∞，由定理6.6得 ()
()
*
p p L L u
C Du
ΩΩ≤
另一方面，因为Ω有界，故()m Ω<+∞，于是对*
1,q p ⎡⎤∀∈⎣⎦有
()
()
*
q p L L u C u
ΩΩ≤
结合上面两式，可得 ()
()
q p L L u
C Du
ΩΩ≤
这里常数C 不加以区别。

【推论6.2】 设n R Ω⊂有界开集，且()1
0u H ∈Ω，
那么存在仅依赖于Ω的常数0C >，使
()
()
22L L u
C Du
ΩΩ≤
这个不等式就是著名的Poincare 不等式，我们给出它一个直接证明。

证明：取方体(){
}
12,,
,,1,2,
,n n i B x x x x R x a i n ==∈≤=，使B ⊃Ω，对任意
()0C ϕ∞
∈Ω有
()()1
1111,,
,x x n a
x y x x d y ϕϕ-=⎰
故
()()()
()()()
()2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
12
121
,,,1,,
,2,,,a n
a
a
a
n a
a
a
n a
x D y x x d y dy D y x x d y a D y x x d y ϕϕϕϕ
----≤
≤=⎰⎰⎰⎰
于是
()()()()
221212
1
2
2
2,,
,2a a
a
a n n B
a a
a a
B
x dx a D y x x d y dx dx dx a D dx
ϕϕϕ----⎡
⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦=⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
故()
()()
222L B L B a D ϕ
ϕ
≤。

注意到()0C ϕ∞
∈Ω，因此
()
()
()
()()
2222,2L B L L B L D a D ϕϕ
ϕ
ϕ
ΩΩ==
于是有
()
()()
222L L a D ϕ
ϕ
ΩΩ≤ （6.11）
设()10u H ∈Ω，则存在()0m C ϕ∞∈Ω使
()
20m L u
ϕΩ-→及()
20m L D Du
ϕΩ-→
根据式（6.11），有 ()
()()
222m m
L L a D ϕϕΩΩ≤
令m →∞，得 ()()
22L L u C Du
ΩΩ≤
这里2C a =。

接下来我们研究Sobolev 空间()()1,p W p n Ω>的情形，为此我们引入有关Holder 连续函数空间的概念。

【定义6.14】 设n R Ω⊂是开集，01β<≤，称:u R Ω→为β次Holder 连续的，是指存在常数0C >，使对,x y ∀∈Ω，成立()()u x u y C x y β
-≤-。

此时，记
[]()()()0,,sup C x y x y u x u y u x y ββΩ∈Ω
≠⎧⎫-⎪⎪
=⎨⎬-⎪
⎪⎩⎭ 那么[]()0,C u βΩ<+∞。

【定义6.15】 设()k u C ∈Ω，u 在Ω上k 次连续可微，且u 在Ω上自身及其所有次数小于等于k 的偏导数连续有界，如果对任意多重指标α且k α=，D u α是β次Holder 连续的，把具有这样性质的所有函数u 的集合记为(),k C βΩ。

对于
(),k u C β∈Ω，定义范数
()
()
()
,0,k C C C k
k
u
D u
D u ββαα
α
αΩΩΩ≤=⎡⎤=
+⎣⎦∑∑
那么(),k C βΩ是一个Banach 空间。

【性质6.8】 设n p <<∞，那么存在仅依赖于p 和n 的常数C ，使对任意
()1
0n C R ϕ∈有
()()0,1,n
p n
C R W R C βϕ
ϕ
≤
这里1n
p
β=-。

这个不等式就是著名的Morrey 不等式。

为了证明的方便，记号A
fdz ⎰表示函数f 在A 上的积分平均，即
()()()1
A
A
f z dz f z dz m A =
⎰⎰
()m A 表示A 的Lebesgue 测度。

证明：首先来证明在(){},B x r y y x r =-≤上成立 ()()()
()()
1
,,n B x r B x r D y x y dy C dy x y
ϕϕϕ--≤-⎰
⎰
设(),y B x r ∈由
()()()()()()()1
10011d
y x ty t x dt D ty t x dt y x dt ϕϕϕϕ-=+-=+-⋅-⎰
⎰ 得
()()()()1
1y x D ty t x dt y x ϕϕϕ-≤+--⎰
对于()0,,s r B x s ≤≤∂表示(),B x s 的球面，()ds y 表示球面面积元，故
()()()
()
()()()(),1
,01B x s B x s y x ds y s D ty t x dt ds y ϕϕϕ∂∂-⎡⎤≤+-⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰⎰
作变量代换，()()()()1,1,,n st ty t x ds t ds y x t y x ts τωωωτ-==+-=-=-==
因此
()()()()()()()1
1,0,n s
n B x s B x s y x ds y D ds d τϕϕϕωωττ--∂∂⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰
()()
1
1
,n n B x D s
d x τϕωωω
--=-⎰
进一步
()()()()()1
1,,0
r n n B x r B x r D y y x dy dy s ds x y ϕϕϕ--⎛⎫-≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰
()(
)
1
,n
n B x r D y nr
dy x y
ϕ-=-⎰
又(),B x r 的体积()()(),n m B x r n r α=，其中()n α表示n R 中单位球(),1B θ的体积，即
()2
12n
n n π
α=
⎛⎫Γ+ ⎪⎝⎭
，根据上式得
()()()
()()
1
,,n B x r B x r D y y x dy C dy x y
ϕϕϕ--≤-⎰
⎰
对任意n x R ∈，在球(),1B x 上应用上面不等式， ()()()()
()()
,1,1B x B x x x y dy y dy ϕϕϕϕ≤
-+⎰
⎰
()()()()
1,1,p n L B x B x r D y C dy C x y ϕϕ
-⎛⎫
≤ ⎪+ ⎪-⎝⎭⎰
()
()
()()()()
11
1,1,,1p q
p
p
n q L B x B x r B x r C
D dy
dy C x y ϕϕ-⎛⎫ ⎪≤⋅+ ⎪-⎝⎭
⎰
⎰
注意到()()
,111
p
p n n q n n p >-=-<-，而()()1,n m B x C ττ-∂=， ()()
()()()111,0,1
1n q n q
B x r B x dy ds y d x y
τττ--∂⎛⎫= ⎪⎝⎭-⎰
⎰⎰
()()
()11
1110
n q n n q n
C ds C C
τ
τ
--+---+===⎰
此处C 表示不加区别的常数。

故
()()()
()()
()1,,1,1p p p n
L B x L B x W R x C D C C ϕϕ
ϕ
ϕ
≤+≤
进一步
()()1,sup p n
n
W R x R
x C ϕϕ
∈≤ （6.12）
另一方面，设,n x y R ∈，令()r x y x y =-≠，记()(),,,U B x r V B y r ==，
W U V =。

注意到存在常数0C >，成立()()()()m W Cm U m V ≥= 于是
()()()()W
U
x z dz C x z dz ϕϕϕϕ-≤-⎰
⎰
()()()
()1
111n U
q
p
p
n q U
U D z C dz
x z
dz C
D z dz
x z ϕϕ--≤-⎛⎫ ⎪≤⋅ ⎪-⎝⎭
⎰
⎰
⎰
及 ()111n q
p n q
U dz
Cr x z -
-⎛⎫ ⎪= ⎪-⎝⎭
⎰ 得
()()()
()11p n
p n n p
p
L R W
L U x z dz Cr
D Cr
D ϕϕϕ
ϕ
--
-≤≤⎰
同理
()()()
1p n
n p
W
L R y z dz Cr
D ϕϕϕ
--≤⎰
故
()()()()()()W
W
x y x z dz y z dz ϕϕϕϕϕϕ-≤
-+-⎰
⎰
()1p n
n p
L R Cr
D ϕ
-
≤
结合式（6.12），得()()
0,1,n
p C R W C βϕ
ϕ
Ω≤，
这里常数C 依赖于,n p 和Ω。

6.3.2 Sobolev 空间的嵌入定理
【定义6.16】 设,X Y 是两个Banach 空间，X Y ⊂，称X 嵌入Y 是指存在常数0
C >
成立()Y X
x C x
x X ≤∀∈，记为X Y ⊂；特别，如果X 中的任何有界集都是Y 中的相对紧
集，此时嵌入称为是紧的，记为X Y ⊂⊂。

【定理6.8】 设Ω是n R 中的有界开集，∂Ω是1C 的， （1） 如果()11,1n k
k p p q p n
<
=-≥，则()(),k p q W W Ω⊂Ω， （2） 如果n k p
>，那么()()1,,n k p k p
W C β⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦Ω⊂Ω。

这里n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示n p 的整数部分，而()101n n n
p p p n p βα⎧⎡⎤+-⎪⎢⎥⎪
⎣⎦=⎨⎪∈⎪⎩如果取整任何，如果不取整
【定理6.9】 设Ω是n R 中的有界开集，∂Ω是1C 的，1p n ≤<，那么对任 何*1q p ≤<，有()()1,p q W L Ω⊂⊂Ω。

注：定理6.9就是著名的Rellich-Kondrachov 紧嵌入定理。

习题6.3
1．设()u x 是()0,1内连续可微的函数且()()1,0,11p u W p ∈>。

证明：
()()()111
1'0
p p
p
u x u y x y
u dt -
-≤-⎰。

2．设n R Ω⊂是有界开集，()()1,1q u L q p q ∈Ω>≤<，证明：
()()1p u L ∈Ω
()2存在一个仅与Ω与p 有关的常数C ，使
()
()
p q L L u
C u
ΩΩ≤。

3．设:F R R →连续可微且'F 有界。

n R Ω⊂是有界开集，
()()1,1p u W p ∈Ω>。

证明：()()1,p v F u W ≡∈Ω且()()'1,2,
,i i x x v F u u i n ==，这里i x v 表示
v 相对于i x 的一阶弱偏导数。

4．验证()()()1,1ln ln 1,0,1n u x W U x ⎛⎫=+∈ΩΩ= ⎪ ⎪⎝⎭
为n R 空间的单位开球。