微元法在物理中的应用

微元法在物理中的应用

积分知识在物理中的应用主要是围绕at v =研究的。一般情况下，知道其中的两个量，就可以轻易地求出第三个量，或也可以从能量角度求解v 。但有时，加速度a 并不是一直不变的，而是随着v 或t 的变化而变化的，此时一般的思维讲不再适用。

【简单模型】

某辆汽车从静止开始以加速度kv a =做加速直线运动，其中k 为常数，当运动时间为t 时，汽车通过的位移为S ，求此时小车的速度大小。

【解析】：因为此题中加速度a 是随着v 不断变化的，所以要想利用aS v 202=-求解是不可能的；若从能量角度分析，根本就求不出汽车受力的做功情况，所以也不可以解出，对于此类a 在不断变化的提型，应该应用微元法进行求解。

t a v ∆⋅=∆瞬

∴t kv v ∆=∆

∑∑∆⋅=∆t kv v 瞬

∴kS v =

所以解得t 时刻时速度大小为kS v =。

这中积分思想在考试中通常放在电磁感应中考查，同学们认为这种

题型难度很大，其实不然，我认为被这种题型吓到的主要原因不是因为

这真正有多大难度，而是被它所特有的“微元”思想吓怕，事实上，真v ∆表示一小段路程。t ∆表示很小的一段时间，瞬a 表示加速度的瞬时值，

在很小的一段时间内，瞬a 可以看作t ∆内的平均加速度，v ∆则表示在t ∆ 时间内速度的变化量 kv a =瞬，k 为常数，瞬v 表示某一时刻速度的瞬时值。 此式两边同时求和，依然相等 为求和符号""∑ v ∆为很小的一段速度，若将运动过程中所有的v ∆都加起来，结果就

是总速度v ，即v v =∆∑。v 就表示t 时刻的速度。

t ∆为很小的一段时间，一个t v ∆瞬表示很小的一段位移，若将所有的 t v ∆瞬相加，则得到总位移S ，即S t v =∆∑瞬 求和过程中常数可以直接移出，例如∑

∑∆=∆⋅t v k t kv 瞬瞬

正理解的上述的“简单模型”，积分思想也是比较容易掌握的。

【典型例题讲解】

1.如图所示，质量为m 导体棒垂直放在光滑足够长的U 型导轨的底端，导体棒电阻为r ，其余电阻不计，导轨宽度为l 。导轨和棒长相等且接触良好，导轨平面与水平面成θ角，整个装置处在与导轨平面垂直的匀强磁场B 中，现给导体棒沿导轨向上的初速度0v ，经过时间0t 导体棒到达最高点，是求出导体棒上升的最大高度h 。

【解析】：此题中导体棒在上升过程中，速度在不断减小，对应的电场力也在不断变小，所以导体棒的加速度也不断变化，无论是从简单的运动学公式还是从能量角度解题，几乎是不可能的。

上升过程中，当速度为v 时，r

v l B mg F 22sin +=θ合 则mr

v l B g a 22sin +=θ瞬 ∴t a v ∆=∆瞬 ∑∑∑∑∆+∆=∆=∆t mr v l B t g t a v 22sin θ瞬

（0v v =∆∑；1sin sin sin t g t g t g θθθ=∆=∆∑∑；

∑∑=∆=∆mr S l B t v mr v l B t mr v l B 222222。

） ∴mr

S l B t g v 2210sin +=θ 解得2210)sin (l B mr t g v S θ-=，2

210sin )sin (sin l B mr t g v S h θθθ-== 2. 如图所示，水平放置的光滑U 型导轨处在竖直向

下的匀强磁场中，磁场强度为B ，轨道宽度为L 。

有一导体棒静止在a-b 处，现用一水平向右的恒力

F 向右拉导体棒，当导体棒运动到c-d 处时恰好开

始做匀速直线运动，此时导体棒的运动位移为S ，

运动过程中，导体棒始终与导轨垂直，导体棒内阻

为R ，其余内阻不计，重力加速度为g 。求此过程中拉力F 的平均功率。

【解析】本题中，要求F 的平均功率，F 做的功是很好求的，关键是求这段位移的时间。 设导体棒的最终速度为v 。

R v L B F 22=，22L B FR v =

b d