数学物理方程与特殊函数积分变换法

（3）求拉式逆变换
F (s)
2s 3 s2 9
练习
（1）求傅式变换
f
(t)
sin t
t
0
t
其他
解 F f (t) f (t)e jtdt F()
sin te jtdt
2i sin t sintdt
0
2sin 2 1 i
练习
（2）求傅式变换 f (t) e jw0t u(t)
例1 解定解问题
u a 2 2u ,
t
x 2
u(x,0) (x),
x ,t 0 x
解：利用傅立 叶变换的性质
dU (,t) a 2 2U (,t), t 0
dt
U (,0) 1,
U (,t) Cea22t
C 1
U (,t) ea22t
1
e e x2 2 2
0
L f1(t) f2(t) L f1(t) L f2(t)
L 1 F1(s) F2 (s) f1(t) f2 (t)
常见结果
L
ekt
s
1
k
L cos
kt
s2
s
k2
L
sin
kt
s2
k
k2
L 1 1
s
练习
（1）求傅式变换
f
(t)
sin t
t
0
t
其他
（2）求傅式变换 f (t) e jw0t u(t)
2 2
2
u
2
1
x2
e e 4 2t
a2 2t
2a t
u(x,t)
1
x2
e 4 2t
2a t
x
例2 解定解问题
例1
u t
a2
2u x2
f
( x, t )
u(x, 0) (x)
(柯西问题)
解：设 u(x,t) u1 u2 分别满足
(I
)
u1 t
a2
2u1 x2
①
(
II
)
e e x2 2 2
2 2
2
2
1
x2
e e 4 2t
a2 2t
2a t
u(x,t) (x)
1
e
x2 4 2t
t
f (x, )
1
e d
4
x2 2 (t
)
2a t
0
2a (t )
1
x 2
( )e
4 2t
d
t
f (, )
1
x 2
e 4 2 (t )dd
2a t
解
F
1
f (t) 2
F f1(t) F f2(t)
1
2
(w
w0 ) [
(w)
1] iw
1
2
[
(w
w0 )
i(w
1
] w0 )
练习
（3）求拉式逆变换
F (s)
2s s2
3 9
解：
1
L
2s s2
3 9
1
L
2s s2
9
1
L
s
2
3
9
2cos3t 3sin 3t
三、热传导方程柯西问题求解
F 1 F1() F2 () f1(t) f2 (t)
二、拉式变换
定义 L f (t) f (t)estdt F(s)
0
性质：
1）线性性质
2) 微分性质
L f (n) (t) sn F (s) sn1 f (0) sn2 f ' (0) L s0 f n1(0)
卷积
t
f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
积分变换法
一 傅立叶变换法
傅立叶变换的定义
U (, t) u(x, t)e jxdx
u(x, t) 1 U (, t)e jxd
2
傅立叶变换的性质
微分性 f (n)(x) ( j)n F ()
位移性 积分性 相似性
f(x a) F ()e j a
x
f ( )d
1
F ( )
0
j
f (ax) 1 F ( )
a 2 2U (, t), (), dU (,0)
dt
(),
t0
U (,t) Acosat Bsin at
U (,0) A ()
B () a
U (,t) () cos at () sin at
a
f(x ) F ()e j
x
f()d
F ()
0
j
f(x ) F ()e j
d
2a t
2a t
求解（II）:
设 w w(x,t, ) 为下述柯西问题的解
w t
a2
2w x2
w(x, ) f (x, )
由齐次化原理及以上结论：
t
u2 (x,t)
w(x,t, )d
0
1
t
f
(
,
)
e
( x )2 4a2 (t
)
d
d
2a 0 (t )
u a 2 2u f (x,t),
t
x 2
u(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0) (x),
解：对x求傅氏变换
x ,t 0 x
dU (,t) a2 2U (,t) F (,t), t 0
dt
U (,0) (),
对t求拉氏变换
pU (, p) () a2 2U (, p) F (, p)
U (, p) F (, p) () p a2 2
U(,t) ()ea22t F(,t) ea22t
()ea22t t F (, )ea22 (t )d 0
另
一
种
方
法
求
解
eat 1 pa
e a2 2t
1
p a2 2
U(,t) ()ea22t F(,t) ea22t
()ea22t t F (, )ea22 (t )d 0
1
U (w,t) Cea2w2t
对② 式两端对变量x作傅式变换
U (w, 0) (w)
代入上式，得
U (w, 0) C (w) U(w,t) (w)ea2w2t
u1(x,t) F 1
U (w,t)
F 1
(w)
F
1
e
a2
w2t
(x)
1
x2
e 4a2t
1
(
)e
(
x )2 4a2t
0
2a (t )
四、波动方程柯西问题求解
2u
t
2
u ( x,0)
a2 2u , x 2
(x), u(x,0)
t
(x),
解：利用傅立叶变换的性质
x ,t 0 x
f(x) F()
f ( x) jF()
f ( x) 2 F ()
d 2U (,t)
dt 2
U (,0)
u2 t
a2
2u2 x2
f
( x, t )
u1(x, 0) (x) ② u2 (x, 0) 0
求解（I）:
记 F u1(x,t) U(w,t) F (x) (w)
对① 式两端对变量x作傅式变换
U (w,t) a2 ( jw)2U (w,t) t
得到 U (w,t) a2w2U (w,t) t
aa
f ( x) jF() f ( x) 2 F ()
偏微分方程变 常微分方程
微分性质
F f '(t) j F f (t) F f (n) (t) ( j)n F f (t)
卷积
f1(t) f2 (t) f1( ) f2(t )d
F f1(t) f2(t) F f1(t) F f2(t)