6 高斯投影及其计算

椭球面上微分圆：
投影平面上对应为微分椭圆：变形椭圆
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
5.地图投影的分类 按投影变形的性质：等角投影、等面积投影、等距离投影； 按投影面：平面投影、圆柱面投影、圆锥面投影； 按投影面的中心轴向：正轴投影、横轴投影、斜轴投影 等角投影（正形投影）——投影后角度不变，保持小范围内图形相似， a=b。 等面积投影——用于某些专题地图，投影后面积不变。 ab=1 等距离投影——保持某一方向上的投影变形为0.如a=1或b=1
比不同，同一个点上不同方向的长度比也不相同。
长度比与1之差，称为投影长度相对变形，简称长度变形
ds dS dS 当m-1>0时，投影后长度将增加；当m-1<0时，投影后长度将缩短。 v m 1
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
4.主方向、变形椭圆与变形指标
若将地球椭球面上过一点的两个互为正交的方向投影到平面上，一
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
二、正形投影特性
两个基本要求： 1、任一点上，投影长度比m 为一常数，不随方向而变， 仅与点位臵有关。 2、投影后角度不变形。又叫保角映射。条件是在微小范 围内成立。 所以，正形投影的特性是：投影长度比m仅与点的位臵有 关，而与方向无关。
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m2 1 x 2 y 2 [( ) ( ) ] 2 2 N cos B l l
在后面的内容中我们会推出：
l2 l4 3 2 2 4 x X N sin B cos B N sin B cos B 5 t 9 4 2 24 l6 5 2 4 N sin B cos B 61 58 t t 720 3 y lN cos B l N cos3 B 1 t 2 2 6 5 l N cos5 B 5 18t 2 t 4 14 2 58 2t 2 120
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
于是有
x F1 B, L 相当于 x xq, l y yq, l y F2 B, L
x x dx dq dl q l dy y dq y dl q l
于是


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第一节 地图投影概念和正形投影性质
E 2 F tan A G tan 2 A m r 2 sec2 A
2
2 2 E cos A 2 F sin A cos A G sin A m2 r2
要使上式中的m与A脱离关系，必须满足： F 0, E G
x x y y q l q l 0
2 2 x y E q q x x y y F q l q l 2 2 x y G l l
2
代入
ds2 dx2 dy2
x x x 2 2 x ds 2 dq 2 dq dl dl l q q l y y y 2 2 y dq 2 dq dl dl l q q l
斜轴投影——圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
四、正形投影一般公式
根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)—黎曼 (Riemann)条件，式中，f代表任意解析函数。
x iy f (q il )
证明：
f x iy x y i q q q q f x iy x y i l l l l
f f i l q
由
得
第一节 地图投影概念和正形投影性质
将（6-13）代入上式求得
x y x y i i l l q q x y x y , l q q l
将式中的实部与虚部分开得：
该式就是从椭球面到平面的柯西黎曼方程，所以下式为正形投影 的一般公式，使用该公式可以导出高斯投影正反算公式。
令
则有
ds2 Edq 2F dqdl Gdl
2
2
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
于是
m2
E dq 2 F dq dl G dl
2
2
r 2 [(dq)2 dl ]
2
长度比的通用公式即为此式 由图可知 即
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
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第六章 高斯投影 及其计算
江苏师范大学测绘学院
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
一、地图投影及其变形
1.地图投影 就是将椭球面上的各元素（包括坐标、方向和长度）按照一定的数学 法则投影到平面上。 研究这个问题的专门学科叫地图投影学。 所谓数学法则就是下面的两个方程式： x=F1（B、L）
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
平面投影——投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数 关系。
圆锥面投影——圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按 数学投影，然后将圆锥面展开成平面。
圆柱面投影——圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午线上相 切，按数字投影，然后将圆柱面展开。 正轴投影——圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。 横轴投影——圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相 切。
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
2.投影变形 角度变形、长度变形和面积变形三种。等角、等距、等积投影 3.投影长度比与长度变形 投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该线段实际 长度 dS之比，以m表示
m
ds dS
就一般地图投影而言，长度比是一个变量，它不仅与点位有关， 而且也随该点上线段方向的不同而不同。也就是说，不同点上的长度
其推证步骤为：
1、从长度比表达式出发 系式； ，求出m2与dx2，dy2和dB2，dl2关
2、引入等量纬度q，将x、y表为q、l的函数； 3、对 x=f1（q，l），y=f2（q，l）取全微分，引入符号E、F、G； 4、根据长度比m与方向A无关，得F=0，E=G； 5、由E=G、F=0得主要条件。
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tan 90 A


P2 P3 MdB N cos Bdq dq P P rdl N cos Bdl dl 1 3
dl tan Adq
2 E dq 2 F tan A dq G tan Adq m2 2 r 2 (dq2 tan2 Adq 2 2 2
般不能再保持正交，但其中总有一组在椭球面上正交的方向投影后仍 然保持正交，则称这两个方向为主方向。主方向还有另外一个性质，
即它们投影后具有最大和最小长度比。即长度比极值所在的方向为主
方向。
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变形椭圆
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。 若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若ab=1，则为等面积投影。
2
dx2 dy2 2 2 MdB 2 N cos B dl N cos B
B
引入符号：
MdB dq N cos B
m
2
MdB q N cos B 0
2
等量纬度
dx 2 dy 2 r 2 [(dq ) 2 dl ]
2
在满足F=0，E=G时，
x 2 y 2 ) ( ) E q q m2 2 r r2 (
或
x 2 y 2 ) ( ) G m2 2 l 2 l r r (
因为我们总是将x和y展开为l的幂级数，因此用后面的式子比较方 便，为此将后面的式子写成：
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第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
x iy f (q il )
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第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
一、高斯投影的基本概念
x N
N
O
O
y
S
S
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第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
高斯投影的条件
（1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求； （2）中央子午线投影后是一条直线；
（3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于1。
高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午 线上的各点，其长度比都大于1，且离开中央子午线愈远，长度变 形愈大。
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第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
二、高斯投影的长度比和长度变形
前面已经导出了从椭球面到高斯平面投影的长度比公式为：
E cos2 A 2F sin A cos A G sin 2 A m r2
(6-13)
第一节 地图投影概念和正形投影性质
q il f f f q q il q q il q il f f f i l q il l q il
x y x y q q l l
2 2 2 2
x y q l
x y l q
从椭球面到平面投影的柯西-黎曼条件
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
2 2
2
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
2 2 2 2 x y x x y y x y 2 2 2 ds dq 2 dq dl dl q l q l l l q q
第一节 地图投影概念和正形投影性质
三、正形投影的一般条件
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
2 2 2 dS MdB N cos Bdl 2 2 2 ds dx dy
dx2 dy2 ds 2 m 2 2 MdB N cos Bdl dS
y=F2（B、L）
可见地图投影问题就是建立椭球面大地坐标（B、L）与投影平面上对 应的坐标（x、y）之间的函数关系。
给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
一、地图投影及其变形
垂直投影
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第一节 地图投影概念和正形投影性质
中心投影
圆柱投影