数学物理方程--有限差分法

数学物理方法课程报告题目：声波有限差分法数值模拟

学生姓名：xxx

学号：xxx

学院：地球科学与技术学院

专业班级：xxxx

教师：xxx

2016年4月12日

声波有限差分法数值模拟

Xxx

（地球科学与技术学院研15级 学号：xxx ）

摘要：数值模拟是最常用的正演模拟的方法。它通过给出的结构模型和物理参数，模

拟地震波的传播轨迹，了解其规律以及过程，然后通过计算来推断观测点的地震记录。根据求解方法，地震波方程数值解法可分为有限元法、伪谱法、有限差分法。根据本门课程的要求，并且有限差分法具有内存占用较小，精度较高等优点，本文主要采用这种方

法进行模拟。

关键词：数值模拟，声波，有限差分

正文

1、 引言

在勘探过程中，数值模拟的作用很大。例如：1、采集上，可用于设计或者优化野外观测系统；2、处理上，可以通过数值模拟来检验是否采用了正确的反演方法。将正演反演不断的逼近，从而使结果更加准确；3、解释上，还可以检测一下解释的资料是否正确。

而有限差分法是数值模拟最常用的方法，本文利用有限差分法，通过对声波进行正演模拟，来了解其在地下的传播规律及特点。

2、 二维各向同性介质声波方程数值模拟 使用规则网格差分对二阶方程进行求解。 具体过程：

在x 方向上，关于0x 对称分布的2N 个网格节点的坐标分别为x q x N ∆-0， x q x N ∆--10，……，x q x ∆-10，x q x ∆+10，……x q x N ∆+-10，x q x N ∆+0。其

中，x ∆表示节点间的最小间距；i q 表示任意正整数。2N 个网格节点所对应的函 数值已知，分别为()x q x f N ∆-0，()x q x f N ∆--10，……，()x q x f ∆-10， ()x q x f ∆+10……，()x q x f N ∆+-10，()x q x f N ∆+0。利用Taylor 级数展开求解 ()x f 在点0x 处的一阶导数近似值。

()()()()()()()()()()()()()[]

120220220100!

21

!

21

+∆+∆+

+∆+

∆+=∆+N i N N i i i i x q O x f x q N x f x q x f x q x f x q x f

()()()()()()()()()()()()()[]

120220220100!

21

!

21

+∆+∆+

+∆+

∆-=∆-N i N N i i i i x q O x f x q N x f x q x f x q x f x q x f

其中，i=1,2，…，N

将上述两式相加，省略式中的误差项，得到

()()()[]()()()()()()()()()()022*********!

21

!41!21221

x f x q N x f x q x f x q x q x f x f x q x f N N i i i i i ∆+

+∆+∆=∆-+-∆+

(1)

将相减后得到的式子整理成矩阵形式，有 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆-+-∆+∆-+-∆+∆-+-∆+∆=⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x x f x N x f x x f q q q q q q q q q N N N N N N N

N

N N

000200201001020222042

02242224222214

1

2

122221!21!41!

21

(2)

为了简化矩阵，可以记作

⎥

⎥⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=N N N

N N N

q q q q q q q q q A 242224222

214

1

21 ，()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆-+-∆+∆-+-∆+∆-+-∆+∆=x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x D N N 00020020100102

22221

同时，构造两个简单矩阵，辅助计算

N N I ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111 整理的， 1

001⨯⎥

⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=N E

假设存在1-A ，使得I AA =-1，也可得()

I A A T T

=-1

；即()T

A 1-为T A 的逆，得到

()

I A A T

T =-1

。式子两边右乘向量E 就可得

()

E E A A T

T =-1 (3)

由式（2）可得

()

()D A E x f T 1022

1-= (4)

同时，假设

()

()T

N T T

c c c C E A ,,,211 ==-

（5）

将()N c c c C ,,,21 =带入式（4），得

()()()

()()()[]x q x f x f x q x

f c x x f n n N

n n ∆-+-∆+∆=∑=000

1

2

0222121

（6）

整理得 ()()

()()()()[]x q x f x q x f c x f c x f

x n n N

n n ∆-+∆++=∆∑=001

00022

可结合式（3）和式（5），可得到矩阵计算式：

⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢

⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00121222

21

4424

12

2

2

2

1 N N N N N N N c c c q q q q q q q q q

（7）

∑=-=N

i i c c 1

02

当i q 的值确定后，可根据式（7）来求解n c 的值，从而计算出()()01x f 的值。

利用式（7）可以求得对称任意节点间距的一阶导数差分系数。其中，当i q 取值为

),2,1(N n n =,则式（7）可表示为 ()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢

⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡0012121212122244

4222

N N N

N c c c N N N

（8）

此时，所求得的()N n c n ,,2,1 =就是等节点间距的一阶导数的规则网格不同差分精度的差分系数（表1所示）。