第四章.积分变换法---求解偏微分方程

记作：F [ f ( x)] = f (k ) ，即
F [ f ( x)] = f (k ) = ∫
f f(x)： (k ) 的傅里叶逆变换
∞ −∞
f ( x) e −ikx dx
记作： f ( x) = F −1[ f (k )] ，即
1 F [ f (k )] = f ( x) = 2π
−1
∫
∞
9
可以证明： 如果定义在 (−∞, ∞) 的函数在任一有限区间上满足 狄利克莱条件，且绝对可积（ ∫ | f ( x) |dx 有界），则在
−∞ ∞
f(x)的连续点处，傅里叶积分存在：
1 f ( x) = 2π ⎡∞ ⎤ ikx −ikξ ∫∞ ⎢−∫∞ f (ξ )e dξ ⎥ e dk − ⎣ ⎦
——对于发生了任意位移x 0 的函数，其傅里叶变换 − ikx 等于 f(x)的傅里叶变换乘以一相位因子 e 0 证明：由定义：
F [ f ( x − x0 )] = ∫ f ( x − x0 ) e −ikx dx
−∞ u = x − x0 ∞
=
∫
∞
−∞
f (u ) e −ik (u + x0 ) du
频率域 波矢域
e − ikx
↔Leabharlann 412.1 傅里叶变换 一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数 一个以2l为周期的函数f(x)，若在区间[-l, l]满足 狄利克莱条件：(1)连续或只有有限个第一类间断 点；(2)只有有限个极值点，则 f(x) 在[-l, l]上可展开 为傅里叶级数
a0 ∞ nπ x nπ x + bn sin ) f ( x) = + ∑ (an cos 2 n =1 l l
+∞
傅里叶变换
f (k ) =
−∞
∫
f ( x)e − ikx dx
拉普拉斯变换
f ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt
0
∞
梅林变换
F (α ) = ∫ f ( x ) xα −1dx
0
∞
2
2. 为什么进行积分变换? (1) 经过变换后，函数关系变得简单。 如：常微分方程 ⇒ 代数方程； δ 奇异函数(阶跃函数、 函数、格林函数等) ⇒ 规则函数 (2) 对于有限边界的定解问题，分离变量法适宜；对于 无界问题，积分变换法适宜。 关于无界问题的说明： 如果物体的体积很大，而所需要知道的只是在较短的时间 和较小范围内的变化情况，那么边界条件所产生的影响可以忽 略，此时问题就变成只有初始条件、但没有边界条件的定解问 题 (柯西问题)，但无边界条件就无法构成本征值问题 (分离变 量法的重要步骤)。
∫
∞
−∞
f ( k ) ei k ⋅ x d 3 k
16
四、 函数的傅里叶展开 δ
δ 函数可表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
1 ∞ ik ( x − x ') δ ( x − x ') = ∫ −∞ e dk 2π 1 ∞ = ∫ −∞ cos k ( x − x ')dk 2π
证明：令 f ( x) = δ ( x − x ') ，代入傅里叶正变换，得
=e
−ikx0
第12章
积分变换法
——求解偏微分方程的另一种方法 1. 积分变换 通过积分运算，把一个函数 f(x)变换为另一个函数
F (α )，即
F (α ) = ∫ f ( x) K (α , x)dx
K (α , x)：积分变换的核，决定了变换的具体形式
f(x)：原函数， F (α ) ：像函数
1
几种积分变换：
f (k ) = ∫ δ ( x − x ')e − ikx dx = e − ikx '
−∞
∞
17
再将上式代入傅里叶逆变换，有
1 ∞ 1 ikx δ ( x − x ') = ∫ −∞ f (k )e dk = 2π 2π 1 ∞ ik ( x − x ') = ∫ −∞ e dk 2π
∫
∞ −∞
e − ikx 'eikx dk
利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得
∞ 1 ⎡ ∞ δ ( x − x ') = cos k ( x − x ')dk + i ∫ sin k ( x − x ')dk ⎤ ⎥ −∞ ⎣ ⎦ 2π ⎢ ∫ −∞ 1 ∞ = ∫ −∞ cos k ( x − x ')dk 2π
3
3. 积分变换法求解数理方程的基本思想 如果不方便从原函数的方程直接求解, 那么可能找到适当 的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数的定解问题， 再通过逆变换把求得的像函数变换成原函数，从而得到所要求 的解。从物理上讲，经过积分变换后，域发生了变化。 例： 时间域 t 空间域
e − iω
t
↔
n =−∞
∑
∞
cn eikn x
1 l i ( kn − km )ξ d ξ = δ nm 为了求系数 cn 需证明： ∫ −l e 2l
6
1 l i×0×ξ 当 n = m 时， ∫ e dξ = 1 −l 2l
l 1 l iπξ ( n − m ) / l 1 l dξ = d [eiπξ ( n − m ) / l ] 当 n ≠ m 时， ∫ e 2l −l 2l iπ (n − m) ∫ −l 1 l eiπξ ( n − m ) / l − l = i 2π (n − m) =0
π∫
1
∞
−∞
f (ξ ) sin(kξ )dξ ]sin(kx)}
= ∫ [ A(k ) cos(kx) + B(k ) sin( kx)]dk
13
其中：
A(k ) =
π∫
1
∞
−∞
f (ξ ) cos(kξ )d ξ , B (k ) =
π∫
1
∞
−∞
f (ξ ) sin(kξ )dξ
三．傅里叶变换的定义 1. 定义 1 f ( x) = 在傅里叶积分公式 令 则
⇒
∞ 1 l f ( x) e − ikm x dx = ∑ cn δ nm = cm 2l ∫ −l n =−∞
1 l − iknξ ⇒ cn = ∫ f (ξ ) e d ξ 2l −l
8
二．傅里叶积分和傅里叶积分定理 已知：满足狄利克莱条件的周期性函数f(x)可展开成傅 里叶级数 问题：非周期函数能否展开成傅里叶级数？ 设想周期函数的周期2l 不断增大而趋于无穷，即自 变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有 限值，函数并不重复变化，即它已经转化为非周期函数。 此时可以把符合一定条件的非周期函数展开成傅里叶积分。
∞
n =−∞
∑
∞
cn eikn x 中得
∞ l
11
三维形式的傅里叶积分：
f ( x1 , x2 , x3 ) = 1 (2π )3
∫
∞
−∞
[∫
∞
−∞
f (ξ1 , ξ 2 , ξ3 ) e− i ( k1ξ1 + k2ξ2 + k3ξ3 ) dξ1ξ 2ξ3 ]
ei ( k1x1 + k2 x2 + k3 x3 ) dk1dk2 dk3
1 l i ( k n − k m )ξ ∴ d ξ = δ nm ∫ −l e 2l
对 f ( x) = cn e ik n x 两边同乘以 e −ik m x， 再对 x从 − l到 l积分得 ∑
∞
n = −∞
7
∞ l 1 l 1 − ikm x f ( x) e dx = ∑ cn ∫ ei ( kn − km ) x dx −l 2l ∫ −l n =−∞ 2l
代入到 f ( x) =
π
1 f ( x) = Lim ∑ [ ∫ f (ξ ) e − iknξ dξ ] eikn x l →∞ n =−∞ 2l − l 1 Δkn l = Lim ∑ [ f (ξ ) e − iknξ d ξ ] eikn x ∫−l Δkn →0 n =−∞ 2 π ∞ 1 l = Lim ∑ [ ∫ f (ξ ) e − iknξ d ξ ] eikn x Δkn −l Δkn →0 n =−∞ 2π ∞ ∞ (定积分定义) = 1 ∫ [ ∫ f (ξ ) e − ikξ d ξ ] eikx dk 2π −∞ −∞
−∞
f (k ) eikx dx
15
显然：f(x)的傅里叶变换的傅里叶逆变换等于自身， 即
F −1{F [ f ( x)]} = F −1[ f (k )] = f ( x)
2．三维傅里叶变换的定义
f (k ) = ∫ f (x) =
∞
−∞
f ( x ) e−i k ⋅ x d 3 x
1 (2π )3
[∫
−∞
f (ξ ) e −i k ⋅ξ d 3ξ ] ei k ⋅ x d 3k
12
傅里叶积分的三角形式：
∞ 1 ∞ f ( x) = dk ∫ dξ f (ξ ) eik ( x −ξ ) −∞ 2π ∫−∞ ∞ 1 ∞ = ∫−∞ dξ f (ξ )∫−∞ dk [cos k ( x − ξ ) + i sin k ( x − ξ )] 2π
采用记号： （书写方便）
x = ∑ xi ei
i =1
3
ξ = ∑ ξ i ei
i =1
3
k = ∑ ki ei
i =1
3
d 3ξ = dξ1dξ 2 dξ 3
d k = dk1dk2 dk3
3
→ →
k ⋅ ξ = k1ξ1 + k 2ξ 2 + k 3ξ 3
∞
f (x) =
1 (2π ) 3
∫
∞
−∞
F −1[α1 f1 (k ) + α 2 f 2 (k )] = α1 F −1[ f1 ( k )] + α 2 F −1[ f 2 ( k )]
证明：第一式。由傅里叶变换的定义出发：
F [α1 f1 ( x) + α 2 f 2 ( x)] = ∫ [α1 f1 ( x) + α 2 f 2 ( x)] e −ikx dx
l
利用三角函数的正交关系，可得
1 nπξ an = ∫ f (ξ ) cos dξ l −l l (n = 0,1, 2, )
1 nπξ bn = ∫ f (ξ ) sin dξ l −l l
l
(n = 1, 2, )
5
傅里叶级数的复数形式 (指数形式)：
nπ 令 kn = ，则 l
a0 ∞ f ( x) = + ∑ (an cos kn x + bn sin kn x) 2 n =1 利用欧拉公式 ∞ a a b = 0 + ∑ [ n (eikn x + e− ikn x ) + n (eikn x − e − ikn x )] 2 n =1 2 2i a0 ∞ an − ibn ikn x an + ibn − ikn x e + e ) = + ∑( 2 n =1 2 2 =
f (k ) = ∫
∞ −∞
2π
∫
∞
−∞
[∫
∞
−∞
f (ξ ) e −ikξ dξ ] e ikx dk
中
f ( x ) e − ikx dx
1 f ( x) = 2π
∫
∞
−∞
f (k ) eikx dk
14
可见：
f ( x) (原函数) ↔ f (k ) (像函数)
f (k ) ：f(x)的傅里叶变换
18
δ 函数傅里叶展开的三维形式
δ ( x − x ') =
3
1 (2π )3
∫
∞ −∞
eik i ( x − x ') d 3 k
19
四．傅里叶变换的性质 1． 线性定理：若 α 1 ,α 2 为任意常数，则对于任意函数 f1 ( x) 及 f 2 ( x) 有
F [α 1 f 1 ( x) + α 2 f 2 ( x)] = α 1 F [ f1 ( x)] + α 2 F [ f 2 ( x)]
由上式可见：正弦项是k的奇函数，对k的积分为零； 余弦项是k的偶函数，为在区间 (0, ∞) 积分值的两倍。
f ( x) =
∞
π∫
1
∞
0
dk ∫
∞ −∞
∞
−∞
f (ξ ) cos[k ( x − ξ )]dξ
= ∫ dk{[
0 ∞ 0
π∫
1
f (ξ ) cos(kξ )dξ ]cos(kx) + [
∞
1 在f(x)的第一类间断点处，积分等于 [ f ( x + 0) + f ( x − 0)] 2
——傅里叶积分定理
10
从傅里叶级数到傅里叶积分的过渡： 由于 l → ∞，所以相邻两 k n 值之差为 Δk n = k n +1 − k n = → 0 l 1 l ⎧ cn = ∫ f (ξ ) e − iknξ d ξ ⎪ ⎪ 2l −l 将 ⎨ ⎪ Δk = π → 1 = Δkn ⎪ n l l π ⎩
−∞
∞
= ∫ α1 f1 ( x) e
−∞
∞
−ikx
dx + ∫ α 2 f 2 ( x) e −ikx dx
−∞
∞
= α1 F [ f1 ( x)] + α 2 F [ f 2 ( x)]
20
2. 延迟定理：设 x 0 为任意常数，则
F [ f ( x − x0 )] = e − ikx0 F [ f ( x)]