对数函数与指数函数的导数试题(含解析和答案)

3.5 对数函数与指数函数的导数

（分值60分，用时45分钟）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.y=a x ·x a 的导数是（ ）

A.x ·a ·a x-1·x a-1

B.a x-1·x a+1+a x+1·x a-1

C.a x ·x a ·lna+x a-1·a x+1

D.a x x a-1(lna+a)

答案：C

分析：y′=(a x )′x a +a x ·(x a )′

=a x ·x a lna+a x ·x a-1·a

=a x ·x a ·lna+a x+1·x a-1.

2.函数y=ln(3-2x-x 2)的导数为（ ） A.32

+x B.2231

x x -- C.322

22-++x x x

D.32222-+-x x x 答案：C

3.设y=2x e ,则y ′等于（ ）

A.2x 2x e

B.2x e (2+4x 2)

C.2x e (2x+x 2)

D.2x e (2+2x 2) 答案：A

分析：y′=(2x e )′

=2x e ·(x 2)′

=2x 2x e .

4.函数y=x x a 22-(a>0且a ≠1),那么y ′为（ ）

A.x x a 22-lna

B.2(lna)x x a 22-

C.2(x-1)x x a 22-·lna

D.(x-1)x x a 22-lna

答案：C

5.函数y=x ln 的导数为（ ） A.2x x ln B.x x

ln 2 C.x x ln 1

D.x x ln 21 答案：D

6.函数y=sin32x 的导数为（ ）

A.2(cos32x )·32x ·ln3

B.(ln3)·32x ·cos32x

C.cos32x

D.32x ·cos32x

答案：A

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

7.y=x ln 2+的导数为_____________. 答案：x

x ln 121+ 分析：y′=

x x ln 12)'ln 1(++ =x

x x x ln 121ln 121

+=+. 8.曲线y=lnx-x 2+

x

-21在点M （1，-25）处的切线方程是_______________. 答案：3x+2y+2=0

分析：y′=x 1-2x+21·23)2(--x ·(2-x)′, x=1时，y′=-

2

3. ∴在点M(1,-2

5)处的切线方程为 y+25=-23(x-1),2y+5=-3x+3. ∴3x+2y+2=0.

9.函数y=x 22的导数为y ′=________________.

答案：x x +22·ln 22

10.已知y=ln(x+

12+x ),则y ′=___________. 答案：11

2

+x 分析:y=ln(x+12+x )可看作由y=lnu 和u=x+12+x 复合而成,而u=x+12+x 由x 与12+x 两个函数的和所构成,12+x 可看作是t 与t=x 2+1复合而成.

y ′=1

1

2++x x ·(x+12+x )′ =112++x x ［1+121

2+x (x 2+1)′］

=1

1

2++x x ［1+12+x x ］ =11

2+x .

11.曲线y=e x-e lnx 在点（e,1）处的切线方程为____________. 答案：y=e

e +1x-e 三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

12.已知f(x)与g(x)均可异,且f(x)>0,设y=f(x)g(x),求y ′.

解：y=f(x)g(x)=e g(x)lnf(x),则e g(x)lnf(x)可看作由e u 与u=g(x)lnf(x)复合而成. ∴y ′=e g(x)lnf(x)［g(x)lnf(x)］′

=e g(x)lnf(x)［g ′(x)lnf(x)+g(x))

(1x f ·f ′(x)］ =f(x)g(x)［g(x)lnf(x)+g(x) )

()('x f x f ］. 13.设f(x)=x e x

1

1+,求f ′(x).

解：f ′(x)=21121

)1(11x x x e e x x e +•-+=2

1

1)1()11(1x x e e x +-+. 14.设函数f(x)满足af(x)+bf(

x 1)=x c (其中a 、b 、c 均为常数，且|a|≠|b|),试求f ′(x). 解：以x 1代x,得af(x

1)+bf(x)=cx. ∴f(x 1)=a c x-a b f(x). 代入af(x)+bf(x 1)=x

c ,得 af(x)+b ［a c x-a b f(x)］=x

c . ∴f(x)=22b a c -(x

a -bx). ∴f ′(x)=-22

b a

c -(2

x a +b).