倍比法解题例谈

倍比法解题例谈

湖北省仙桃市吴乃华

利用两个同类量的倍数关系来解题，传统的做法通常是用倍比这一思路，来解答一些简单的如可以用“归一”来解答的问题。其实，用这种方法不仅还可以解答整数倍的其它典型问题，有时也可以把一些分数问题中的同一单位“1”的两个分率，或者虽不是同一单位“1”，但是具有某部分绝对数相等的情况的两个分率，利用其倍数关系，同样可以使问题得以解决。由于这种方法避开了某些常规模式的束缚，思路简单、明了，有时还使个别条件成了多余，因而省去了许多繁难的计算，大大地简化了解题的过程。

小学数学应用题，大都反映为三量间的关系，因此，两个同类量的倍比，常常可以分为正向倍比和反向倍比两种情况。并且当两量的倍比为反向倍比时，需要运用比例的知识来作认识上的转化，以调整自己的视角，比如“时间的比等于速度的反比”等等。特别值得注意的是，这种转化仅仅是认识上的转化，形式上不需作任何改变，但如果思想上没有这种认识，这种解法是没有意义的。

1. 正向倍比解题

(1) 两个同类量的正比

【例1】六（1）班全体同学为新盖教学楼搬一堆砖。如果每人搬18块，就还剩30块不能搬走；如果每人搬20块，搬完这堆砖后还可以多搬50块，这堆砖共有多少块？

分析与解答第一个方案每人搬的块数是第二个方案每人搬的块数的18÷20＝

9

10

。由题意可知，人

数一定，能搬砖的总块数与每人搬的块数是成正比例的，从而可推知第一个方案能搬砖的总块数也是第二

个方案能搬的总块数的

9

10

，比第二个方案可搬的总块数少1－

9

10

＝

1

10

.

已知第二个方案比第一个方案能多搬30 + 50 = 80（块），所以这堆砖共有：

（30 + 50 ) ÷（1－

1

10

）－50 = 750（块）.

【例2】某自行车运动员以每小时20千米的速度沿公路骑行训练。行出42千米后，他的教练骑摩托车以每小时50千米的速度去追。教练要行多少千米才能追上？

分析与解答运动员每小时的速度是教练的20 ÷ 50＝2

5

，比教练的摩托车每小时慢1－

2

5

＝

3

5

。由

于运动员在前42千米，教练就必须在相同的时间内比他多行42千米。因此，教练要行的路程就是：

42÷（1－2

5

）＝70（千米）

(2) 同一单位“1”的两个分率的倍比

【例3】一根钢管长2. 7米，截下总长的3/10 做了9个机械零件。剩余部分还可以做这样的零件几个？

分析与解答 这根钢管截下

310，还剩1－310＝710，剩下的钢管长度是已用去的钢管长度的710÷310

＝213倍，则剩下的钢管可做的零件个数，也应是“9个”的213

倍。因此还可以做的零件个数是： 9×[（ 1－310）÷310

] ＝21（个） 【例4】 甲、乙两人同时分别从A 、B 两地相向而行，甲走到全程的511的地方与乙相遇。如果甲每小时走4. 5千米，乙5小时可以走完全程, A 、B 两地间的路程是多少千米？

分析与解答 甲走到全程的511的地方与乙相遇，甲走的路程是乙走的511÷（1－511）＝56

。由于二人是同时出发，到相遇时行走的时间是相同的。时间一定，路程与速度成正比例，可知，甲每小时的速度也是乙的56。已知乙5小时可以走完全程，则，甲每小时能走全程的15×56＝16

。现已知甲每小时行4. 5千米，因此全程有：

4.5 ÷16

＝27（千米）

2. 反向倍比解题

（1）两个同类量的反比

【例5】 快车从甲地到乙地要4小时，慢车从乙地到甲地要6小时。两车同时从两地相对开出，在离

中点26千米的地方相遇。相遇时快车行了多少千米？ 分析与解答 依题意，行完全程快车所要的时间是慢车的 4 ÷ 6＝

23

，因为路程一定，速度和时间成反比例。可知，在相同的时间内，慢车所行的路程是快车的23，比快车少行1－23＝13

。 已知慢车比快车少行 26×2 = 52（千米），所以相遇时快车行了 46 × 2 ÷ ( 1－23）＝ 276（千米）. 【例6】 甲乙两地相距400千米，一辆客车和一辆货车同时从甲地开往乙地。客车比货车早2.5小

时到达，客车到达乙地时，货车只行了300千米。货车行完全程需几小时？

分析与解答 两车同时出发，客车到达乙地时，货车行的路程是客车的 300 ÷ 400＝

34

。根据路程一定，行驶的速度和所花的时间成反比例，可推知行驶全程客车所要的时间是货车的34，比货车少 1－34＝14

。已知客车比货车早到 2. 5小时，因此，货车行完全程所需的时间是： 2. 5÷（1－300400）＝10（ 小时） (2) 不同单位“1”的两个分率的倍比。

【例7】 实验小学举行故事演讲比赛会，五年级和六年级学生到会的共有962人，已知六年级人数

的2

5

和五年级人数的

1

4

相等。参加故事会的六年级学生有多少人？

分析与解答题中的“六年级人数的

2

5

和五年级人数的

1

4

相等”，究竟六年级人数与五年级人数是个

什么样的倍数关系呢，我们来看下面的线段图：

从线段图上我们可以看出，六年级的学生数是五年级的5

8

，或者说，五年级的学生数是六年级的1

3

5

倍.

这是一道不同单位“1”，而具有某部分绝对数相等的分数问题。那么，我们用除法算时，怎样来确定两者间的倍数关系呢？

2 5÷

1

4

＝1

3

5

六年级人数的

2

5

÷五年级人数的

1

4

＝五年级人数是六年级人数的1

3

5

倍.

1 4÷

2

5

＝

5

8

五年级人数的

1

4

÷六年级人数的

2

5

＝六年级人数是五年级人数的

5

8

.

由此可知，用不同单位“1”的某部分绝对值相等的两个分率相除，是个反比例的问题，当我们用除法来求它们的倍数关系时，和平常的求一个数是另一个数的几（百）分之几的问题，刚好相反，“被除数”是单位“1”的量。这是要特别留意的。

962÷（1＋2

5

÷

1

4

）= 370（人）

【例8】葛老师的体重的2

5

与小菲的体重的

2

3

相等。葛老师体重的

3

7

比小菲的体重的

3

4

轻 1. 5千

克．葛老师体重多少千克？

分析与解答以葛老师的体重为“1”，小菲的体重是葛老师体重的2

5

÷

2

3

＝

3

5

.现“葛老师体重的

3

7

比

小菲体重的3

4

轻1. 5千克”，所以，葛老师的体重就是

1.5 ÷（

3

5

×

3

4

－1×

3

7

）= 70（千克）.