课单自由度系统：简谐强迫振动PPT
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(2) 无 论 受 何 种 初 始 条 件 的 作 用 ， 由 于 阻 尼 的 存 在 ， 经
过 一 定 的 时 间 后 x1 (t) 将 趋 于 消 失 ， 它 只 在 有 限 的 时 间 内 存 在 。因 此 ， x1 (t) 和 x 2 (t) 的 合 成 运 动 只 在
有 限 的 时 间 内 存 在 ，这 一 振 动 过 程 叫 做 瞬 态 振 动 或 过渡振动。
式中， X 是响应的振幅， 是位移相对激励的相角，均是与时间无关的常
数。将式（2.3-3）代入式(2.4-2)可以得到
系统在简谐激励下的响应
X
[(
2 n
2
)(cost
cos
sin
t
sin
)
2n (sint
cos
cost
sin
)]
2 n
A
cost
等号两边 cost 和 sin t 的系数应分别相等
系统在简谐激励下的响应
单
自
由
度
系
统
受
简
谐激
励
的
微
分
方
程
为
x
x0
2
x
n 0
x
, x0
2 n
x
x 0
2 n
A
co
s
t
(2.4-4)
它的通解为
x x1 X cost
x1 应该满足方程
x1
x 0
2
n
x1
2 n
x1
x0 X cos,
2 n
A
x0
cost x0 X
sin
主要内容
1. 系统在简谐激励下的响应 2. 频响函数及特性曲线 3. 半功率带与品质因子 4. 旋转不平衡质量引起的强迫振动 5. 基础运动引起的强迫振动 6. 隔振原理 7. 惯性式测振仪原理
系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统如右图所示。根 据牛顿第二定律有
m x c x k x F 0 c o s t k A c o s t （ 2 .4 - 1 ）
机械振动(Mechanical Vibration)
第五课 单自由度系统： 简谐强迫振动
交通与车辆工程学院 刚宪约
понедельник, 25 января 2021 г.
1
简谐强迫振动
▪ 简谐强迫振动指激励是时间的简谐函数，它 在工程结构的振动中经常发生，通常是由旋 转机械失衡造成的。
▪ 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非 周期激励下系统响应的基础。
这 里 ， F0 是 激 励 的 幅 值 ， 是 激 励 的 频 率 ，而 A 定 义 为
A F0 / k 即 系 统 在 静 力 条 件 下 受 一 个 大 小 为 F0 的 力 作 用 时 的 位
移，它是与时间无关的常量。引入这个参数的目的是要 比较静力位移和动力位移，以揭示静力学与动力学的差 别。另外，还可以使一些振动参数无量纲化，便于理论 分 析 。 对 式 (2.4-1)整 理 ， 得
2 n
2
cos 2n sin
X
2 n
A
2 n
2
sin 2n cos
X
0
解出 X , 得
X
1
/n
A
2 2
2
/ n 2
，
t
an
1
1
2
/n
/ n 2
系统在简谐激励下的响应
▪ 受简谐激励的系统的响应也是简谐的，其振 动频率等于激励的频率，激励与响应之间有 一相位差。这说明响应并不是与激励同时达 到最大值，而是有一个滞后。
主要内容
1. 系统在简谐激励下的响应 2. 频响函数及特性曲线 3. 半功率带与品质因子 4. 旋转不平衡质量引起的强迫振动 5. 基础运动引起的强迫振动 6. 转轴的横向振动 7. 隔振原理 8. 惯性式测振仪原理
频响函数及特性曲线
▪ 频响函数是指系统输出的Fourier变换与输入 的Fourier变换之比；
系统在简谐激励下的响应
x
2
n
x
2 n
x
2 n
A
cost
(2.4-2)
式(2.4-2)是二阶非齐次线性常微分方程。根据微分方程理论，它的 解 由两部分组成：一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是微分方程的 特解。
根据线性常微分方程理论，运动方程(2.4-2)的特解可以写成如下形式
x X cos(t ) (2.4-3)
▪ 通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的 关系，可以估计测定系统的振动参数，从而 确定系统的振动特性。
主要内容
1. 系统在简谐激励下的响应 2. 频响函数及特性曲线 3. 半功率带与品质因子 4. 旋转不平衡质量引起的强迫振动 5. 基础运动引起的强迫振动 6. 隔振原理 7. 惯性式测振仪原理
▪ 频响函数在振动系统中是响应与激励的 Fourier变换之比，表示响应与激励之间的幅 值、相位关系随激振频率变化的规律；
▪ 频响函数的特性曲线主要有
(3) 系 统 持 续 的 振 动 只 有 与 外 界 激 励 力 有 关 的 响 应
x 2 ( t ) ， x 2 ( t ) 叫 做 稳 态 振 动 、稳 态 响 应 或 强 迫 振 动 。
系统在简谐激励下的响应
采 用 复 指 数 方 法 可 以 大 大 简 化 简 谐 振 动 响 应 的 计 算 。 将 式 (2.4-2)改 写 为
（2.4-5）
可以得到
x1
e nt x0
X
cos cosdt
x 0
X sin
n x0
d
X
cos sin dt
系统在简谐激励下的响应
从图中可以看出
(1) 系 统 发 生 的 运 动 是 频 率 为 d 的 简 谐 振 动 x1 (t) 和 频 率 为 的 简 谐 振 动 x2 (t) 的 组 合 运 动 ；
，
angle ( X
)
tan 1
1
2
/n
/ n 2
系统在简谐激励下的响应
2
i2 n
2 n
X e it
2 n
A
e
i
t
（ 2.4-7）
由 式 (2.4-7)， 我 们 还 可 以 得 到
H ( )
X A
1 2 i2
1
H F x ( )
X F
1
1
k 2 i2
1
式 中 ， / n 。 H ( ) 称 为 系 统 的 频 响 函 数 ，表 示 系 统 稳 态 振 动 时 响 应 与 输 入 之 比 。 H ( ) 的 幅 值 也 称 为 放 大 因 子 。
x
2
n
x
2 n
x
F0 m
e i t
2 n
A
e i t
（ 2.4-6）
设 x Xeit ， 将 它 导 入 式 (2.4-6)， 得
2
i2 n
2 n
Xe it
2 n
Aeit
（ 2.4-7）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
因此，
可以看到
abs(X )
X
2 n
A
2
i2 n
2 n
A
1 / n 2 2 2 / n 2
过 一 定 的 时 间 后 x1 (t) 将 趋 于 消 失 ， 它 只 在 有 限 的 时 间 内 存 在 。因 此 ， x1 (t) 和 x 2 (t) 的 合 成 运 动 只 在
有 限 的 时 间 内 存 在 ，这 一 振 动 过 程 叫 做 瞬 态 振 动 或 过渡振动。
式中， X 是响应的振幅， 是位移相对激励的相角，均是与时间无关的常
数。将式（2.3-3）代入式(2.4-2)可以得到
系统在简谐激励下的响应
X
[(
2 n
2
)(cost
cos
sin
t
sin
)
2n (sint
cos
cost
sin
)]
2 n
A
cost
等号两边 cost 和 sin t 的系数应分别相等
系统在简谐激励下的响应
单
自
由
度
系
统
受
简
谐激
励
的
微
分
方
程
为
x
x0
2
x
n 0
x
, x0
2 n
x
x 0
2 n
A
co
s
t
(2.4-4)
它的通解为
x x1 X cost
x1 应该满足方程
x1
x 0
2
n
x1
2 n
x1
x0 X cos,
2 n
A
x0
cost x0 X
sin
主要内容
1. 系统在简谐激励下的响应 2. 频响函数及特性曲线 3. 半功率带与品质因子 4. 旋转不平衡质量引起的强迫振动 5. 基础运动引起的强迫振动 6. 隔振原理 7. 惯性式测振仪原理
系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统如右图所示。根 据牛顿第二定律有
m x c x k x F 0 c o s t k A c o s t （ 2 .4 - 1 ）
机械振动(Mechanical Vibration)
第五课 单自由度系统： 简谐强迫振动
交通与车辆工程学院 刚宪约
понедельник, 25 января 2021 г.
1
简谐强迫振动
▪ 简谐强迫振动指激励是时间的简谐函数，它 在工程结构的振动中经常发生，通常是由旋 转机械失衡造成的。
▪ 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非 周期激励下系统响应的基础。
这 里 ， F0 是 激 励 的 幅 值 ， 是 激 励 的 频 率 ，而 A 定 义 为
A F0 / k 即 系 统 在 静 力 条 件 下 受 一 个 大 小 为 F0 的 力 作 用 时 的 位
移，它是与时间无关的常量。引入这个参数的目的是要 比较静力位移和动力位移，以揭示静力学与动力学的差 别。另外，还可以使一些振动参数无量纲化，便于理论 分 析 。 对 式 (2.4-1)整 理 ， 得
2 n
2
cos 2n sin
X
2 n
A
2 n
2
sin 2n cos
X
0
解出 X , 得
X
1
/n
A
2 2
2
/ n 2
，
t
an
1
1
2
/n
/ n 2
系统在简谐激励下的响应
▪ 受简谐激励的系统的响应也是简谐的，其振 动频率等于激励的频率，激励与响应之间有 一相位差。这说明响应并不是与激励同时达 到最大值，而是有一个滞后。
主要内容
1. 系统在简谐激励下的响应 2. 频响函数及特性曲线 3. 半功率带与品质因子 4. 旋转不平衡质量引起的强迫振动 5. 基础运动引起的强迫振动 6. 转轴的横向振动 7. 隔振原理 8. 惯性式测振仪原理
频响函数及特性曲线
▪ 频响函数是指系统输出的Fourier变换与输入 的Fourier变换之比；
系统在简谐激励下的响应
x
2
n
x
2 n
x
2 n
A
cost
(2.4-2)
式(2.4-2)是二阶非齐次线性常微分方程。根据微分方程理论，它的 解 由两部分组成：一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是微分方程的 特解。
根据线性常微分方程理论，运动方程(2.4-2)的特解可以写成如下形式
x X cos(t ) (2.4-3)
▪ 通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的 关系，可以估计测定系统的振动参数，从而 确定系统的振动特性。
主要内容
1. 系统在简谐激励下的响应 2. 频响函数及特性曲线 3. 半功率带与品质因子 4. 旋转不平衡质量引起的强迫振动 5. 基础运动引起的强迫振动 6. 隔振原理 7. 惯性式测振仪原理
▪ 频响函数在振动系统中是响应与激励的 Fourier变换之比，表示响应与激励之间的幅 值、相位关系随激振频率变化的规律；
▪ 频响函数的特性曲线主要有
(3) 系 统 持 续 的 振 动 只 有 与 外 界 激 励 力 有 关 的 响 应
x 2 ( t ) ， x 2 ( t ) 叫 做 稳 态 振 动 、稳 态 响 应 或 强 迫 振 动 。
系统在简谐激励下的响应
采 用 复 指 数 方 法 可 以 大 大 简 化 简 谐 振 动 响 应 的 计 算 。 将 式 (2.4-2)改 写 为
（2.4-5）
可以得到
x1
e nt x0
X
cos cosdt
x 0
X sin
n x0
d
X
cos sin dt
系统在简谐激励下的响应
从图中可以看出
(1) 系 统 发 生 的 运 动 是 频 率 为 d 的 简 谐 振 动 x1 (t) 和 频 率 为 的 简 谐 振 动 x2 (t) 的 组 合 运 动 ；
，
angle ( X
)
tan 1
1
2
/n
/ n 2
系统在简谐激励下的响应
2
i2 n
2 n
X e it
2 n
A
e
i
t
（ 2.4-7）
由 式 (2.4-7)， 我 们 还 可 以 得 到
H ( )
X A
1 2 i2
1
H F x ( )
X F
1
1
k 2 i2
1
式 中 ， / n 。 H ( ) 称 为 系 统 的 频 响 函 数 ，表 示 系 统 稳 态 振 动 时 响 应 与 输 入 之 比 。 H ( ) 的 幅 值 也 称 为 放 大 因 子 。
x
2
n
x
2 n
x
F0 m
e i t
2 n
A
e i t
（ 2.4-6）
设 x Xeit ， 将 它 导 入 式 (2.4-6)， 得
2
i2 n
2 n
Xe it
2 n
Aeit
（ 2.4-7）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
因此，
可以看到
abs(X )
X
2 n
A
2
i2 n
2 n
A
1 / n 2 2 2 / n 2