考研数学：利用导数求极限

版权所有翻印必究

/

考研数学：利用导数求极限

极限是研究变量变化趋势的基本工具，在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分等都是建立在极限的基础之上的，因此考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练而又灵活的掌握各种技巧的应用。本文主要介绍了利用导数求极限与已知极限求导数的基本应用。旨在让大家达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题从而达到使问题简单化的目的。

一、导数定义法求极限

这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是所求函数满足导数定义的形式，此时可以用导数定义法比较方便的求出极限。

定义设函数()f x 在0x 的某领域内有定义，给自变量0x 在0x 处加上增量x ∆，相应

的得到因变量0x 的增量00()()

y f x x f x ∆=+∆-.如果极限0000()()lim

lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数在0x 处可导，将该极限值称为函数在0x 处的导数。记作()0f x '.例1、设函数()f x ，其中()10f =，()11f '=，求极限lim ()2x x xf x →∞+.

解：根据函数

()f x 在1x =处的导数的定义：()0(1)(1)1lim x f x f f x

∆→+∆-'=∆所以2(1(1)222lim (lim (1lim 2(1)22222x x x f f x x x xf xf f x x x x →∞→∞→∞---+'=-=⋅=-⋅=-+++-+

版权所有翻印必究

二、已知极限求导数

求导的本质是求极限，在求极限的过程中，力求使已知极限的结构形式转换为所求极限的形式是顺利求导的关键。因此，导数与极限的考查可以是已知导数求极限，也可以通过极限去求导数。

例2、已知()f x 在2x =处可导，22()lim 24x f x x →=-，求()2f 及()2f '。解：由于22()()1lim

lim 2(2)(2)(2)2x x f x f x x x x x →→=⋅=-+-+，所以2()lim 82x f x x →=-则由函数在2x =处的连续性知22()(2)lim ()lim (2)0(2)x x f x f f x x x →→==⋅-=-，

22()(2)()(2)lim lim 822x x f x f f x f x x →→-'====--.

由于导数的定义由极限形式表示，所以导数的定义往往与极限的计算结合在一起进行考查，考生只有熟练掌握导数定义的本质属性才能灵活运用导数的定义求解极限的题目。