赫尔默特方差分量估计

1 赫尔默特方差分量估计

我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。此概念最早由赫尔默特（F.R.Helmert ）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。

一、赫尔默特方差分量估计公式

为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为

2221

11~

~

∆-=∆-=X B L X B L （函数模型） （8-4-1）

0),(()()()()(212112

2022112011=∆∆==∆==∆=--D L L D P D L D P D L D ）

，σσ （随机模型） （8-4-2）

其误差方程为

111ˆl x

B V -= 权阵1P （8-4-3）

222ˆl x

B V -= 权阵2P （8-4-4） 作整体平差时，法方程为

0ˆ=-W x

N （8-4-5）

式中

2222111121B P B N B P

B N N N N T

T

==+=，， 2222111121l P B W l P

B W W W W T

T ==+=，，

一般情况下，由于第一次给定的权1P 、2P 是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差

是不相等的，设为201σ和202σ，则有

1

220221

12

011)()(--==P L D P L D σσ

（8-4-6）

但只有2

0202201σσσ==才认为定权合理。方差分量估计的目的就是根据事先初定的权1P 、2P 进行预平差，然后利用平差后两类观测值的111V P V T 、222V P V T

来求估计量202201ˆˆσσ、，再根据（8-4-6）式求出)(ˆ)(ˆ21L D L D 、，由这个方差估值再重新定权，再平差，直到202201ˆˆσσ=为止。为此需要建立111V P V T 、222V P V T

与估计量202201

ˆˆσσ、之间的关系式。 由数理统计知识可知，若有服从任一分布的q 维随机变量1⨯q Y

，已知其数学期望为1⨯q η

，方差阵为q

q ⨯∑

，则1⨯q Y

向量的任一二次型的数学期望可以表达为：

ηηB B tr BY Y E T T +∑=)()(

（8-4-7）

式中B 为任意q 阶的对称可逆阵。

现用V 向量代替上式中的Y 向量，则其中η的应换为)(V E ，∑应换为)(V D ，B 阵可以换成权阵P ，于是有

)()())(()(V PE V E V PD tr PV V E T

T += （8-4-8） 前面已经证明0)(=V E ，于是有：

))(()(111V PD tr PV V E T

= （8-4-9）

而

11

11l W N B V -=- 12111)(l W W N B -+=-

12221111111l l P B N B l P B N B T

T -+=--

2221

111111)(l P B N B l I P B N B T

T --+-= 对上式应用协因数传播律得

+--=--T

T T I P B N B L D I P B N B V D ))(()()(1111111111 T T

B N B P L D P B N B 112222211)(--

将1

22022112011)()(--==P L D P L D σσ、代入上式，整理后得

T

T T B N N N B P B N B B N N N B V D 11

21120211111111112011)2()(------++-=σσ 将上式代入（8-4-9）式，得 ))(()(11111V D P tr V P V E T

=

)

()2(11211120211111111111112

01T T

T

B N N N B P tr P P B N B P B N N N B P tr ------++-=σσ

顾及矩阵迹的性质，上式可写为

)()]()(2[)(1

2112021111111201111-----++-=N N N N tr N N N N tr N N tr n V P V E T

σσ

同理可得

)()]()(2[)(12112011212122202222-----++-=N N N N tr N N N N tr N N tr n V P V E T

σσ 去掉上面两式的期望符号，相应的单位权方差202201σσ、也改用估值符号2

02201ˆˆσσ、表示，整

理顺序后得

1112

0212112011111111ˆ)(ˆ)]()(2[V P V N N N N tr N N N N tr N N tr n T =++------σσ

（8-4-10）

2222

0212121222011211ˆ)]()(2[ˆ)(V P V N N N N tr N N tr n N N N N tr T =+-+-----σσ

（8-4-11）

其矩阵形式可写为

θ

θW S =⨯⨯1

222ˆ （8-4-12） θ

θW S 11

2ˆ-⨯=

（8-4-13）

式中

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-+-=----------)()(2)()

()()(21212122121112111111111N N N N tr N N tr n N N N N tr N N N N tr N N N N tr N N tr n S