中科院 现代数字信号处理课件-完全版

1.2 平稳随机信号的时域统计表达

平稳随机信号的定义

平稳随机信号相关函数的性质
平稳随机信号的各态遍历性

1.2.1 平稳随机信号的定义

狭义(严)平稳随机序列：随机信号的统计特性不随
时间平移而变化。
FX1 k , X 2 k ,, X N k ( x1 k ,1 k , x2 k , 2 k , , xN k , N k ) FX1 , X 2 ,, X N ( x1 ,1, x2 , 2, , xN , N )
X(t1)= {xi(t1), i=1, 2, 3,…} X(t)= {X(t1), X(t2), X(t3), …}
x1 (t)
X(t)= {xi(t), i=1, 2, 3,…}
X(t)是所有可能样本函数的集合
X(t)是依赖时间t的一族随机变量 x2 (t)
t xn (t) t
t1
tn
t
图 1.1.1 n部接收机的输出噪声
xm xn 0，则 对于零均值随机序列，
Cxx ( X m , X n ) Rxx (m, n)
这种情况下， 自相关函数和自协方差函数没有什么区别。
互相关函数定义为
Rxy (m, n) E[ X Y ]
* m n



* xm yn f X m ,Yn ( xm , m, yn , n)dxmdyn
E[ X ] xf ( x)dx

均方值（二阶原点矩 ）：
方差（二阶中心矩 ）： 协方差：
D E[ X ]
2 2 2


x f ( x)dx

2
2 E[ X ]

x f ( x)dx
2
cov[ X , Y ] E[( X X )(Y Y )* ] E[ XY * ] E[ X ]E[Y ]*



Signal in time
sin(1n), 0 n N1 1 x(n) sin(2 n), N1 n N 2 1 sin( n), N n N 1 3 2
Linear scale
1
Real part
0 -1 |STFT| , Lh=48, Nf=192, lin. scale, contour, Thld=5%
对于连续随机变量, 其二维概率密度函数为 2 FX n , X m ( xn , n, xm, m) f X n , X m ( xn , n, xm, m) xn xm 以此类推, N维概率分布函数为
FX1 , X 2, X N ( x1,1, x2 , 2,, xN ) P( X1 x1, X 2 x2 ,, X N xN )
T ] N
[x , x ,, x 其中，
1 2
E[( X )( X )T ] 12 cov[ x1 , x2 ] cov[ x1 , xN ] 2 cov[ x , x ] cov[ x , x ] 2 1 2 2 N 2 cov[ x , x ] cov[ x , x ] N 1 N 2 N
一般均值、均方值和方差都是n的函数, 但对于平稳随机序 列, 它们与n无关, 是常数。

自相关函数：
Rxx (m, n) E[ X m X ]
* n




* xm xn f X m , X n ( xm , m, xn , n)dxmdxn

自协方差函数： * Cxx ( X m , X n ) E[( X m xm )( X n xn )* ] Rxx (m, n) xm x n
离散形式： x (n) E[ X (n)] lim
1 x(n, i) N N i 1

n
N
式中E表示求统计平均值,体现了信号的集合平均。

均方值: D2 (n) E[ X (n) 2 ] | x(n) |2 f ( x, n)dx x X

2
n

方差：
x2 (n) E[ X (n) x (n) ] E[| X n |2 ] x2 (n)

广义(宽)平稳随机序列：随机信号的均值和方差不
随时间变化而变化，其相关函数与时间起点无关，仅是时 间差的函数。
均值、 方差和均方值均与时间无关：
x E[ x(n)] E[ x(n m)]
D E[| X n | ] E[| X n m | ]
2 x 2 2
x2 E[| xn mx |2 ] E[| xn m x |2 ]
显然, 对于自相关函数和互相关函数, 下面公式成立:
* Rxx ( m) Rxx ( m) Rxx(m)是Hermitian对称的 * Rxy ( m) Ryx ( m)
如果对于所有的 m ，满足公式：Rxy(m)=0，则称两个随机序列
互为正交。 如果对于所有的m ，满足公式: Cxy (m)=0，则称两个随机序列 互不相关。
自相关函数与自协方差函数是时间差的函数:
Rxx (m) E[ X X n m ] E[ X n X
* n
* nm
]
Cxx (m) E[( X n x )( X nm x )* ]
对于两个各自平稳且联合平稳的随机序列, 其互相关函数为
* Rxy (m) Rxy (n, n m) E[ X n Ynm ]
2
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
159517975 0
0.3
0.2
0.1
0
50
100
150 200 Time [s]
250
300
350
课程讨论的主要问题－2

来自百度文库
信号处理技术
研究目的：提高信号质量； 主要内容：

维纳滤波理论（平稳条件下）； 卡尔曼滤波理论（非平稳条件下）； 自适应滤波理论；
第一章 时域离散随机信号的分析
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

随机信号 时域统计表达 Z域及频域的统计表达 随机序列数字特征的估计 平稳随机序列通过线性系统 时间序列信号模型
1.1 随机信号

信号的分类

随机变量及其统计描述
随机信号及其统计描述

1.1.1 信号的分类
课程特点

现代数字信号处理的基本概念、基本理论和 分析方法；结合有关问题，介绍其在相关领 域的应用。
课程讲述线索


本课程采用对不同处理对象的线索来讲解：
确定性信号－>随机信号； 平稳信号处理－>非平稳信号处理; 时域－>频域－>时频分析;


根据处理对象和应用背景的不同而选择相应 的处理方法
1.1.3 随机信号

实际应用中，常常把随时间变化而变化的随机变量 ，称为随机过程。 随机信号的特点： 在任何时间的取值都是随机的（不能确切已知） 取值服从概率分布规律（统计特性确定，但未知）
随机信号定义：一个随机信号X(t)是依赖时间t的一 族随机变量，或者说它是所有可能的样本函数的集 合。

x2 ( n ) n xn ( n ) n
n
图 1.1.2 n部接收机输出噪声的时域离散化
样本函数xi(t)或样本序列xi(n) 随机信号X(t)或X(n)
特定时刻
随机变量{X(t1), X(t2), X(t3), …}

随机信号的统计描述：


一维概率分布函数： FXn ( xn , n) P( X n xn )
互协方差函数定义为
Cxy ( X m , Yn ) E[( X m xm )(Yn yn )* ] Rxy (m, n) xn * ym
同样, 当 xm yn 0时，Cxy ( X m , Yn ) Rxy (m, n) 如果C(Xm, Yn)=0，则称信号Xm 与Yn互不相关。

几种特殊分布的随机变量的概率密度：

均匀分布： 高斯分布：
f ( x)
1 ba
a x b
exp[
T
f ( x)
1 2 2
1 2
2 ( x ) ] 2
N个实随机变量 密度：
X x1 , x2 , , xN
N
的联合高斯分布的概率
1 2 1 T 1 f ( X ) [(2 ) ] exp[ ( X ) ( X )] 2
信号的分类：
确定性信号 随机信号 平稳随机信号 非平稳随机信号

1.1.2 随机变量

随机变量的统计描述：

概率分布函数： 概率密度函数： 均值（一阶矩）：
F ( x) Pr obability( X x) f ( x)dx

x
f ( x) dF ( x) dx
现代数字信号处理
信息科学与工程学院
现代数字信号处理
第一章
预修课程
概率论与数理统计 信号与系统 数字信号处理1 随机过程

课程讨论的主要问题－1


对信号特性的分析
研究对象：确定性信号－>随机信号； 研究目的：提取信号中的有用信息； 主要内容：
随机信号的统计特性； 随机信号的参数建模； 功率谱估计（经典谱估计和现代谱估计）； 时频分析（短时傅立叶变换、维格纳变换、小波变换）
1.2.2 实平稳随机信号相关函数的性质
（1） 自相关函数和自协方差函数是m 的偶函数, 用下式表示:
Rxx (m) Rxx (m), Cxx (m) Cxx (m) Rxy (m) Ryx (m), Cxy (m) C yx (m)
（2） Rxx(0)数值上等于随机序列的平均功率： rxx (0) E[ X n ]

如果对随机信号X(t)进行等间隔采样，或者说将 X(t) 进行时域离散化, 得到随机变量X(t1), X(t2), X(t3), …, 所构成的集合称为时域离散随机信号。 用n取代tn，随机序列用X(n)表示，即随机序列是 随n变化的随机变量序列。

x1 ( n )
X(n)是依赖时间n的一族随机变量


参考书：
胡广书，《数字信号处理－理论、算法与实现》第二版，清华大学出 版社，北京，2003。 Roberto Cristi, Modern Digital Signal Processing, ThomsonBrooks/Cole，2004。 Dimitris G. Manolakis, etc, Statistical and Adaptive Signal Processing, Mc Graw Hill, 2000。
对于连续随机变量, 其N维概率密度函数为
f X1 , X 2 ,, X N ( x1 ,1, x2 , 2,, xN , N ) N FX1 , X 2 ,, X N ( x1 ,1, x2 , 2,, xN , N ) x1x2 xN

数学期望(统计平均值): 连续形式：x (n) E[ X (n)] x(n) f X ( x, n)dx
一维概率密度函数： f X n ( xn , n)
FX n ( xn , n) xn
上述两式只描述随机序列在某一时刻n的统计特性，而
对于随机序列，不同n的随机变量之间并不是孤立的。
二维概率分布函数:
FXn , Xm ( xn , n, xm , m) P( X n xn , X m xm )
课程主要内容
第一章 时域离散随机信号的分析 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 第三章 自适应数字滤波器 第四章 功率谱估计 第五章 时频分析

成绩评定
课堂成绩 闭卷考试

教材及参考书


教材：
张贤达，《现代信号处理》第二版，清华大学出版社，北京，2002。 丁玉美，《数字信号处理—时域离散随机信号处理》，西安电子科技 大学出版社，2002。
2
（3） 相关性随时间差的增大越来越弱：Rxx (0) | Rxx (m) |