《三重积分及曲线曲面积分》题解

x
P(x, 0)dx +
y
Q(x, y)dy =
x
0dx +
y x2 ydy = 1 x2 y2
0
0
0
0
2
∫ ∫ I =
(1,1) xy2dx + y x2 dy =
( 0,0 )
(1,1) ( 0,0 )
du( x,
y)
=
u( x,
y)
(1,1) ( 0,0 )
= 1 x2 y2 2
(1,1) ( 0,0 )
法 1：取 L : y = x, 0 ≤ x ≤ 1，
∫ I = 1 (x3 + x3 )dx = 1
0
2
法 2：取 L = L1 + L2 ，如图，
∫ ∫ ∫ I = + = 0 + 112 ⋅ ydy = 1
0 L1 L2
2
法 3：取 ( x0 , y0 ) = (0, 0) ，则
∫ ∫ ∫ ∫ u(x, y) =
0
0
0
2
∫ ∫ = π + 2a3
π
2 sin3 xdx + 2a
π x cos xdx + 0 =π + 2a3 ⋅ 2 − 4a = π − 4a + 4 a3
0
0
3
3
I ′(a) = 4(a2 − 1)，令 I ′(a) = 0 得驻点 a = 1
I ′′(a) = 8a , I′′(1) = 8 > 0 ，所以 a = 1是 I 的极小值点.
∫∫∫
Ω
z
dv
=
∫∫
D
∫⎡ 1− y
⎢⎣ 0
zdz⎤⎥⎦dxdy =
∫∫
D
1 2
(1−
y)2 dxdy=
16 105
∫∫∫ P82—例 2 计算 I = (x + y + z )dv ， Ω 由 z = x2 + y2 与 z = 2 − x2 − y2 围成．（1989） Ω
解：解法 1（直角坐标）
L
L
或令
⎧x = 3cost
⎨ ⎩
y
=
2
sin
t
,
0 ≤ t ≤ 2π ，……
P84—例 3
⎧x = et cos t,
∫ 计算 I =
Γ
x2
+
1 y2
+
z2
⎪ ds ，其中 Γ : ⎨y
⎪⎩z
= et sin t, = et ,
0 ≤ t ≤ 2．
解： ds = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 = 3 et
⎥⎦
0
1
2
∫ P83—例 1 计算 I = e x2+ y2 ds ，其中 L 是由圆周 x2 + y 2 = a 2 ，直线 y = x 及 x 轴在第一象限中所 L
围成的闭曲线．
1
解：
L1
:
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x 0
(0 ≤ x ≤ a)；
⎧x = a cost
L2
:
⎨ ⎩
y
=asint⎛ ⎜ ⎝L1 L2 L3
0
0
0
4
∫ P84—例 2 设 L 为椭圆 x 2 + y 2 = 1，其周长为 a ，计算 I = (xy + 4x2 + 9 y2 ) ds ．
94
L
Ñ∫ 解： L 关于 y 轴对称，而 xy 是关于 x 的奇函数，则 I = xy ds = 0 L
∫ ∫ I = (4x2 + 9 y2 ) ds = 36 ds = 36a
dxdy = π 2
( ) ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ 或
I=
Ω
⎡ 2−r2
⎤
z dv = D ⎢⎣ r
zdz⎥rdrdθ =
⎦
D
1− r2
rdrdθ = π 2
解法 2 （球坐标）
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ I =
2π
π
z dv = dθ 4 dϕ
2 r cosϕ ⋅ r2 sinϕ ⋅ dr = π
0
0
0
Ω
由多连通区域的格林公式
⎛ ∂Q ∂P ⎞
y dx − x dy
y dx − x dy
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ I
=
L
= − ==
L+L1 L1
D
⎜ ⎝
∂x
−
∂y
⎟ dσ ⎠
−
L1 x2 + 4 y2
= 0dσ −
D
L1
r2
4
1
1 ⎛ ∂Q ∂P ⎞
1
−2 r
Ñ∫ ∫∫ ∫∫ = 0 + r2
⎢ ⎢ ⎣
−1
⎛ ⎜ ⎝
x
−
1 x
2
⎞ ⎟ ⎠
+1
x
0
⎛ ⎜ ⎝
x
−
1 x
2
⎞ ⎟ ⎠
+1
x⎥ ⎥ ⎦
5
y P = x2 + y2 ,
Q
=
−x x2 + y2
，
当 ( x,
y)
≠ (0, 0) 时， ∂Q
∂x
=
x2 − y2 (x2 + y2 )2
=
∂P ∂y
，在任一不包含原点的单连通区域内，积分与路径无关.
∫ ∫ I =
1
21
ds = Γ x2 + y2 + z2
0 2e2t
3et dt = 3 (1− e−2 ) 2
P85—例 1 在过点 O(0,0) 和 A(π ,0) 曲线族 y = a sin x (a > 0) 中，求一条曲线 L ，使沿该曲线从 O 到
∫ A 的积分 (1 + y3) dx + (2x + y) dy 最小． L
时针．
⎧x = a cost
解法
1：
Γ
:
⎪ ⎨
y
=
a
sin
t
, 0 ≤ t ≤ 2π ，
⎪⎩z = b(1 − cost)
I
=
Ñ∫ Γ z
dx
+
x
dy
+
y
dz
=
2π
∫0
[b(1 −
cos t )a (−
sin t )
+
a
cost
⋅a
cost
+
a
sint
⋅b
sin t ] dt
=
a (a
+
b )π
⎧ y = a2 − x2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xy dx + x2dy = + =
L
L1 L2
0 −1
⎡⎣
x(1
+
x)
+
x2
⎤⎦
dx
+
1 0
⎡⎣
x(1
−
x)
−
x2
⎤⎦
dx
=
0
⎧x2 + y2 = a2,
Ñ∫ P85—例 2
计算
Γ
z
dx
+
x dy +
y
dz ，其中
Γ
:
⎪ ⎨x ⎪⎩ a
+
z b
=
1
(a,b > 0) ，从 x 轴正向看去， Γ 逆
uuur
uuur
解：补 BA : y = 0 x : a → −a ，设 L 与 BA 围成 D ，由 Green 公式：
Ñ∫ ∫ ∫∫ ∫ I = − uuur uuur (ey +1) dx + (xey + 2x) dy = −2dσ − −a (1+1)dx = −π a2 + 4a
L+BA BA
解：先化为定积分计算此线积分的值，在求其最小.
∫ ∫ I (a) =
(1 + y3) dx + (2 x + y) dy =
L
π 0
⎡⎣(1
+
a3
sin
3
x)
+
(2 x
+
a
sin
x)a
cos
x⎤⎦dx
∫ ∫ ∫ = π + a3
π sin3 xdx + 2a
π xcos xdx + a2
π
sin x cos xdx
解法 2：取如图所示折线 L = L1 + L2 + L3
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ I =
++=
L1 L2 L3
−1 1 dy + 0 1+ y2
2 −1 dy + −11+ x2
3 −2 dy = −π − arctan 3
−1 4 + y2
2
∫∫ P88—例 1 计算 I = (xy + yz + zx) dS ，其中 Σ 是锥面 z = x 2 + y 2 被柱面 x2 + y 2 = 2x 所截下的部分．
∫∫∫ P82—例 1 计算 I = [sin(x3 y2z) + z]dv ，其中 Ω 由 y = x2 与平面 z = 0 ， y + z = 1围成．
Ω
解： Ω 关于 yoz 面对称，而 sin(x3 y2 z) 是关于 x 的奇函数，
所以 ∫∫∫ sin(x3 y2 z) dv = 0
Ω
I
=
0
≤
t
≤
π 4
⎞ ⎟ ⎠
；
⎧x = x
L3
:
⎨ ⎩
y
=
x
⎛ ⎜⎜⎝ 0 ≤ x ≤
2 2
a
⎞ ⎟⎟⎠
ds = (dx)2 + (dy)2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ I =
+
+
π
e ds x2 +y2 = a exdx + 4 ea ⋅ a ⋅ dθ +
2a
2 e 2x
2dx = 2(ea −1) + π aea
⎛ ∂Q ∂P ⎞
y dx − x dy
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ I
=
L
= − ==
L+L1 L1
D
⎜ ⎝
∂x
−
∂y
⎟ dσ ⎠
−
L1
x2 + y2
= 0dσ − 2π = −2π
D
∫ ∫ ∫ 注：在（2）中， y dx − x dy = y dx − x dy = 1 y dx − x dy ，现在可用格林公式
解法
2：
Γ1
:
⎪ ⎨
x,
⎪z = b(1 − )
⎩
a
x : a → −a ；
⎧y = − a2 − x2
Γ2
:
⎪ ⎨
x,
⎪z = b(1− )
⎩
a
x : −a → a
a
−a
∫ ∫ ∫ ∫ 所以 I = + = L dx + L dx = a(a + b)π
Γ1 Γ2
−a
a
∫ P86—例 1 计算 I = (ey +1) dx + (xey + 2x) dy ，其中 L : y = a2 − x2 ，从点 A(−a,0) 到点 B(a,0) ． L 3
解： P = xy2 , Q = yϕ (x) ，因为曲线积分与路径无关，所以 ∂Q = ∂P ， ∂x ∂y
即 yϕ′(x) = 2xy ⇒ ϕ′(x) = 2x ⇒ ϕ(x) = x2 + C 由ϕ (0) = 0得 C = 0 ⇒ ϕ(x) = x2
∫ I = (1,1) xy2dx + y x2 dy ( 0,0 )
Ω 关于 yoz 面对称，而 x 是关于 x 的奇函数； Ω 关于 xoz 面对称，而 y 是关于 y 的奇函数，
所以 ∫∫∫ xdv = 0, ∫∫∫ ydv = 0
Ω
Ω
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ( ) I =
Ω
z dv =
⎡ ⎢ D⎣
2−x2 − y2 x2 + y 2
zdz⎤⎥⎦dxdy
=
D
1− x2 − y2
因为驻点唯一，所以 a = 1 也是 I 的最小值点，即当 y = sin x 时 I 最小.
P85—练习 已知曲线 L 的方程为 y = 1 − x , x ∈[−1,1] ，起点是 (−1,0) ，终点是 (1,0) ，则曲线积分
∫ xy dx + x2dy = L
． （2010，Ⅰ）
解： L1 : y = 1 + x x : −1 → 0 ； L2 : y = 1− x x : 0 → 1
Σ
解： Σ ： z = x2 + y 2 ，
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ I = (xy + yz + zx) dS = x
Σ
D
x2 + y2 ⋅ 1+ ( ∂z )2 + ( ∂z )2 dxdy = ∂x ∂y
2
π
2 π
dθ
−
2
2cosθ r2 cosθ ⋅ rdr = 64
0
15
2
∫∫ P88—练习 设曲面 ∑ : x + y + z = 1 ，则 (x + y ) dS =
( x, y) ≠ (0, 0)
∫∫ ∫∫ 1． 设 L 围成 D ，由 Green 公式： I
=
D
⎛ ⎜ ⎝
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
⎞ ⎟ ⎠
dσ
=
D
0dσ
=0
∫ 2．
⎧x
L
:
⎨ ⎩
y
= a cost ,
= a sin t
2π
0 ≤ t ≤ 2π ， I = (−1)dt = −2π 0
3． 补 L1 : x2 + y2 = r2 , r > 0, 顺时针 ，沿 L 与 L1 围成 D ，由多连通区域的格林公式
1 =
2
∫ P87—例 2
计算 I =
L
y
dx − x2 +
x dy y2
，其中
L
:
y
=
x2
− 1 ，从点
A(−1,0)
到点
B(2,3) ．
解法 1：将 y = x2 −1代入，
⎡
⎤
∫ ∫ ∫ 2
I =−
x2 +1
⎢ dx = − ⎢ 0
1
12
d(x− )+
1
d
(
x
−
1
⎥ )⎥
=
……
−1 x4 − x2 + 1
L x2 + y2
L
a2
a2 L
Ñ∫ P86—练习 I = y dx − x dy ，其中 L : x2 + y 2 = R2 (R > 0) 正向．