几何最值问题的解题策略

△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值
是
.
6
△APB中, AB=2,∠APB=90°,
所以AP2+PB2=AB2=4,
因为(AP-PB)2≥0,AP2+PB2≥2AP·PB,
所 以 2AP·PB≤4,AP·PB≤2,
因为△ABD,△APE和△BPC都是等
边三角形,所以
AP=PE=AE,PB=PC=BC,AB=AD=B
以 点 击 面
2
专题归纳
1.在求几何图形中的周长或线段长度最值时,解决此类问题的方法一般是 先将要求线段(要求的量)用未知数x表示出来,建立函数模型(一般所表示 的式子为一次函数解析式或二次函数解析式),常用勾股定理或三角形相似 求得函数关系式,再用函数的增减性来求解最值即可.当然，在求解几何图 形的面积时，还有另一种采用特殊的不等关系求解的最值问题。 2.利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题,解决此类问题的方法为: 如图,要求直线l上一动点P到点A,B距离之和的最小值,先作点A关于直线l的 对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P点,根据对称性可知此时A'B的 长即为PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.
9
解法：过点O作OG BC于G点，
则OG 3 ，设PG x， 2
则OP2 x2 9 ，连接OQ， 4
PG2 OQ2 OP2 32 x 2 9 27 x 2 4 4
当x 0，PG最大
27 3 42
3
针对训练
1.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点 E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的
2017中考数学二轮专题复习课 几何最值问题解题策略
赛口初级中学 查华兵
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热点追踪
最值问题中重要的知识板块
几何板块： 两点之间线段最短 三角形两边之和大于第三边
．两边之差小于第三边
④垂线段最短等
代数板块 ⑤用一次函数、二次函数、 反比例函数和不等式的性质 来求最值问题.
安徽中考在2015,2016年连续2年都出现几何 问题的最值问题,考生得分率普遍不高,在复习时 应引起关注,预计2017年安徽中考会出现几何最 值问题的选择题或解答题.
.
反馈2：如图，以点P（2,0）为圆心， 3为半径作圆，点M a,b
是⊙P上的一点，则 b 的最大值是
.
.
a
14
和最小,则这个最小值为 ( C)
A.2
B.3
C.4
D.4
11
【解析】设BE与AC交于点P',连接BD,P'D. ∵点B与D关于AC对称, ∴P'D=P'B, ∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE, 当点P位于点P'处时,PD+PE最小. ∵正方形ABCD的面积为16, ∴AB=4,又∵△ABE是等边三角形, ∴BE=AB=4, ∴PD+PE的最小值为4.
2.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物
线y=x2-2x+2上运动,过点A作AC⊥x轴于
点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,
则对角线BD的最小值为
.
16
解析如下： 由抛物线y=x2-2x+2=(x-1)2+1得 抛物线的顶点坐标为(1,1), ∵四边形ABCD是矩形, ∴BD=AC,∴当BD最小时AC最小. ∵点A在抛物线y=x2-2x+2上, ∴当点A是抛物线的最低点, 即点A的坐标为(1,1)时,AC最小为1, ∴BD的最小值为1.
3
典型例析
一起来探究
题型1 三角形中最值问题
典例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,
点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将
△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边
AB距离的最小值是
.
4
如图,点P在以点F为圆心,以2为半径 的圆上运动.过点F作FH⊥AB交☉F于P, 垂足为H,此时PH最短,此时
PQ
1 2
P C, 即S四边形P CDE

PQ CD
1 PC PE 2 1 1
2
2
故四边形PCDE面积的最大值是1.
题型3 圆中最值问题
典例3 (2015年安徽中考数学题第20题）
在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在 BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ. (1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度; (2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大 值.
△AFH∽△ABC。则有：
5
FH AF ,由已知得AF 4，AB 10， BC AB
FH 4 ,即FH 16，
8 10
5
点P到AB边距离的最小值
PH FH PF 16 2 6
5
5
题型2 四边形中最值问题
继续探究，要有耐心哦
典例2 如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正
D,
故 PE·PC≤2
7
又∠EAP=∠DAB=60°,所以 ∠EAD=∠PAB,又AP=AE,AD=AB,所以
△EAD≌△PAB,所以ED=PB,又PB=PC,
所以ED=PC,同理PE=CD, 则四边形PCDE是平行四边形,且EP∥DC
要有信心哦， 有点复杂！
8
因为∠EPA=∠CPB=60°,∠APB=90°, 所以∠EPC=360°-∠EPA-∠CPB-∠APB=150°, 因为EP∥DC,∠DCP+∠EPC=180°,所以 ∠DCP=180°-∠EPC=30°,过点P作PQ⊥DC于 点Q,因为∠PQC=90°
课堂 小结
1.本节课你学到了哪些知识 2.你有什么体会，有什么想法
请与大家一起 分享你的收获和困惑
生教 自师 主指 完导 成，
学
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作业布置： 要细心哦，很容易出错！
反馈1：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0Leabharlann Baidu4），
直线
与 x 轴、y轴分别交于点A、B，点M是直
线AB上的一个动点，则PM长的最小值为