对大学物理中微积分应用的认识

间微元 ｄｔ内力的元冲 量 为 ｄＩ＝Ｆｄｔ．要 求 从ｔｉ 到 ｔｆ 时间内总冲量，只 需 要 将 各 时 间 微 元 内 的 元 冲
∫ 量进行叠加（积分求和）Ｉ＝ ｔｆＦｄｔ．此式表明力Ｆ ｔｉ
在ｔｉ→ｔｆ 时间内的冲量Ｉ 等 于 力 在 该 段 时 间 内 对 时间的定积分．
力对 空 间 的 累 积 作 用 可 用 功 Ｗ 表 示．在 中 学，学 生 学 习 的 是 最 简 单 的 恒 力 Ｆ 作 功 的 情 形． 设一个质点在恒 力 作 用 下 沿 直 线 运 动，发 生 的 位 移为 Δｒ，则 在 此 过 程 中，力 对 该 质 点 所 做 的 功 为 Ｗ ＝Ｆ ·Δｒ．大 学 物 理 中 将 讨 论 更 一 般 的 情 形———质点在变力 Ｆ 的 作 用 下 沿 曲 线 运 动．在 这 种 情 况 下 ，同 样 可 用 微 积 分 思 想 和 方 法 来 分 析 ．首 先，将整个路 径 （Ａ→Ｂ）分 割 成 许 多 小 的 位 移 元 （又 称 元 位 移 ）ｄｒ．正 由 于 位 移 元 非 常 小 ，可 以 近 似 为直线，且在此元 位 移 中 质 点 所 受 力 也 可 近 似 看 作是恒力 Ｆ，那 么 在 此 位 移 元 内 力 作 功 情 况 就 可 近似为最简 单 的 恒 力 作 功 情 形，ｄＷ ＝Ｆ·ｄｒ，称 为元功．将从 Ａ 点到Ｂ 点的整个路径的每一段位 移元上的元功进 行 叠 加，就 是 力 在 此 过 程 对 质 点 所做的功
＝ｒ２＝ｒ＝ 槡Ｒ′２＋ｘ２．而 单 位 矢 量ｅ１ ＝ｒｒ１１ ＝ｒｒ１ ，其
中ｒ１
＝ｘｉ－Ｒ′ｊ，所
以
ｅ１
＝
１ ｒ
（ｘｉ－Ｒ′ｊ）．同
时
，ｅ２
＝ｒ１ （ｘｉ＋Ｒ′ｊ），则 上 面 两 式 化 为
图 １ 均 匀 带 电 薄 圆 盘
解 析 方 法 一 整 体 思 路 ：采 取 直 角 坐 标 系 ，根 据 电 荷 分 布 的 对 称 性 ，先 将 其 分 割 成 许 多 细 圆 环 ，求
０ 引言
微积分在物理 学 中 的 应 用 相 当 普 遍．在 大 学 物 理 中 ，从 质 点 运 动 学 到 质 点 动 力 学 ，从 静 电 场 到 恒定磁场都要遇 到 用 微 积 分 来 解 决 的 问 题．本 文 主要探讨了大学 物 理 学 习 中，应 用 微 积 分 方 法 解 决问题时应注意的几个问题．
因 为 电 荷 均 匀 分 布 ，所 以 其 电 荷 线 密 度 为
λ ＝ ２πｑ′Ｒ′． 首先将整个细圆环分割成许许多多个小的线 元．根据电荷 分 布 的 对 称 性，取 一 对 关 于 Ｏ 对 称 的线元组 ｄｌ１ 和 ｄｌ２（ｄｌ１ ＝ｄｌ２ ＝ｄｌ）如 图 ２ 所 示， 则其电荷元ｄｑ′１＝λｄｌ１，ｄｑ′２＝λｄｌ２ 且ｄｑ′１＝ｄｑ′２． 电荷元 ｄｑ′１ 和 ｄｑ′２ 对 点 Ｐ 处 激 起 的 电 场 强 度 分
ｄＥ１
＝
１ λｄｌ１ ４πε０ ｒ３１
（ｘｉ－Ｒ′ｊ）＝
８π２ｑε′０Ｒ′ｒｄｌ３ （ｘｉ－Ｒ′ｊ），
（２）
出每一细圆环在 指 定 点 处 产 生 的 场 强，再 根 据 叠 加 原 理 ，求 和 得 总 场 强 ．而 每 一 细 圆 环 在 指 定 点 处
ｄＥ２
＝
１ λｄｌ２ ４πε０ ｒ３２
（ｘｉ＋Ｒ′ｊ）＝
Ｂ
∫ Ｗ ＝ Ｆ·ｄｒ． Ａ
２ 合理选择坐标系和微元
在 处 理 物 理 问 题 时 ，坐 标 系 的 选 取 是 必 要 的 ． 常 见 的 坐 标 系 有 球 坐 标 系 、柱 坐 标 系 、直 角 坐 标 系 以及极坐标系．在 运 用 微 积 分 思 想 和 方 法 处 理 实 际 物 理 问 题 过 程 中 ，常 常 会 考 虑 某 些 对 称 性 因 素 ， 选 择 合 适 的 微 元 ．在 经 典 物 理 学 中 ，微 元 可 以 分 为 时间微元和空间 微 元，常 见 的 空 间 微 元 又 可 分 为
４｜πｘ２ε｜０ｑ′Ｒ′ｒｄｌ３ ，方 向 沿 Ｏｘ 轴 方 向．这 个 结 论 虽 然 是 选择 了 一 组 特 殊 的 电 荷 元 （位 于 ｙ 轴 的 微 元）得 出 来 的 ，但 注 意 到 电 荷 分 布 的 对 称 性 ，任 一 组 关 于
环心对称的元电荷组在 Ｐ 点所激发的电场强度 在垂直于ｘ 轴方向 上 的 分 量 都 将 互 相 抵 消，最 终
例１ 如图１所示，有 一 半 径 为 Ｒ，电 荷 均 匀 分布的薄圆盘，其电荷 面 密 度 为σ．求 通 过 盘 心 且 垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度 ． ［３］
式中ｒ１ 和ｒ２ 分别是 ｄｑ′１ 和 ｄｑ′２ 与点 Ｐ 的 距 离， ｅ１ 和ｅ２ 分别是从 ｄｑ′１ 和 ｄｑ′２ 指向点 Ｐ 的单位矢 量．从图 中 可 以 看 出：ｒ１＝ｒ２，且 令 其 为ｒ，即 有ｒ１
力对时间的累 积 作 用 可 以 用 冲 量Ｉ 表 示．设 在从ｔｉ 到ｔｆ 的这段时间内，有一恒力 Ｆ 作用在物 体上，那么在这段 时 间 间 隔 内，力 的 冲 量 为Ｉ＝Ｆ （ｔｆ－ｔｉ）．若在此 时 间 间 隔 内，有 一 变 力 Ｆ 作 用 在 物体上，要求力对 时 间 的 累 积 作 用 则 需 应 用 微 积 分思想，首先，把ｔｉ 到ｔｆ 这 段 时 间 间 隔 分 成 许 多 时间微元 ｄｔ．这 些 微 小 的 时 间 间 隔 足 够 小，以 至 于在每一时间微 元 内，作 用 力 可 以 近 似 看 作 是 恒 力 Ｆ．这样，在每个时间微元内力的冲量就近似为 最简单的情 况———求 恒 力 的 冲 量 的 计 算．即 在 时
第 ２５ 卷 第 ５ 期 ２０１１ 年 ９ 月
甘 肃 联 合 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇａｎｓｕ Ｌｉａｎｈｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）
文 章 编 号 ：１６７２－６９１Ｘ（２０１１）０５－０１１０－０５
对大学物理中微积分应用的认识
Ｅ ＝ ｄＥ ｉ ＝ ２ε０ ０ （ｒ２ ＋ｘ２）３２ ｉ＝
（ ） σｘ
２ε０
１
槡ｘ２
－
１
槡ｘ２ ＋Ｒ２
ｉ．
（７）
方法二 整体思 路：先 将 整 个 圆 盘 分 割 成 许 多 小
的面元，求出每一 面 积 元 在 轴 线 上 某 点 处 的 电 场
强 度 ，再 根 据 电 荷 分 布 对 称 性 和 叠 加 原 理 ，将 所 有
收 稿 日 期 ：２０１１－０４－１３． 作 者 简 介 ：丁 亚 明 （１９８３－），男 ，江 苏 泰 兴 人 ，天 津 天 狮 学 院 助 教 ，硕 士 ，主 要 从 事 大 学 物 理 教 学 工 作 ．
第５期
丁 亚 明 等 ：对 大 学 物 理 中 微 积 分 应 用 的 认 识
ຫໍສະໝຸດ Baidu
１１１
线 元 、面 元 和 体 元 三 种 类 型 ．选 择 不 同 坐 标 系 和 微 分 元 ，对 问 题 的 思 考 不 同 ，计 算 方 便 与 否 也 不 同 ．
ｄｓ＝ｒｄｒｄθ，如 图 ４ 所 示．则 其 电 量 为 ｄｑ＝σｄｓ＝
σｒｄｒｄθ．由 于 面 积 元 足 够 小，所 以，可 以 近 似 地 看
作是点电荷，则其在轴线上 Ｐ 点处的电场强度为
图 ４ 薄 圆 盘 分 割 成 面 积 元
ｄＥ′ ＝ ４π１ε０ｌｄｑ２ｅｌ ＝ ４π１ε０σｒｌｄｒ２ｄθｅｌ， （８）
薄圆盘轴线上任意一点处电场强度的计算：
取如图所示的坐标，薄 圆 盘 的 平 面 在 ｙｚ 平 面 内， 盘心位于坐标 原 点 Ｏ．由 于 圆 盘 上 的 电 荷 分 布 是 均 匀 的 ，故 圆 盘 上 的 电 荷 为ｑ＝σπＲ２．
首先把圆盘分 割 成 许 多 细 圆 环，其 中 半 径 为
图 ２ 细 圆 环 的 场 强
图 ３ 薄 圆 盘 分 割 成 细 圆 环
ｄＥ
＝
ｄＥｉ
＝
１ ４πε０
（ｒ２ｘ＋ｄｘｑ２）３２ｉ＝
σ ２ε０
（ｒ２ｘ＋ｒｄｘｒ２）３２ｉ，
（６）
由于圆盘上所有带电的环带在点 Ｐ 处的电场强
度都沿ｘ 轴 方 向，故 根 据 叠 加 原 理，积 分 得 整 个
圆盘在Ｐ 点处激发的场强为
∫（ ） （ ∫ ） σｘ Ｒ ｒｄｒ
ｄＥ１
＝
１ ４πε０
ｄｒｑ′２１１ｅ１，ｄＥ２
＝
１ ４πε０
ｄｒｑ′２２２ｅ２，
（１）
ｒ，宽度为 ｄｒ的 环 带 面 积 为 ２πｒｄｒ，此 环 带 的 电 荷 为 ｄｑ＝σ２πｒｄｒ．由 前 面 的 讨 论 可 知，环 带 上 的 电 荷对轴线上点 Ｐ（ｘ，０，０）处激起的电场强度为
１ １２ 甘 肃 联 合 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） 第 ２５ 卷
８π２ｑε′０Ｒ′ｒｄｌ３ （ｘｉ＋Ｒ′ｊ），
（３）
根据叠加原理，这组电荷 元 在 点 Ｐ 产 生 的 合 场 强
为
ｄＥ ＝ ｄＥ１ ＋ｄＥ２ ＝ ４πｘ２εｑ′０Ｒ′ｒｄｌ３ｉ， （４） 上述结果表 明，关 于 环 心 对 称 的 一 组 电 荷 元 在轴 线 上 某 点 处 所 产 生 的 合 场 强 的 大 小 为
丁亚明，曹彦鹏，陈延德
（天津天狮学院 基础教学部，天津 ３０１７００）
Ｖｏｌ．２５ Ｎｏ．５ Ｓｅｐｔ．２０１１
摘 要：通过举例阐述了微积分的主要思想和方法，展现了在运用微积分方法处理物理问题时坐标系和微元 选 择的重要性以及对物理含义理解的重要性． 关 键 词 ：大 学 物 理 ；微 积 分 ；思 想 和 方 法 ；弹 簧 振 子 中 图 分 类 号 ：Ｏ４１１ 文 献 标 识 码 ：Ｂ
其中ｌ＝ 槡ｒ２＋ｚ２为该面积元到 Ｐ 点的距离．类似
于方法一的讨论，可 以 将 此 场 强 分 解 为 沿ｚ 轴 和 垂直于ｚ 轴两个分量．由于圆盘的对称性，垂直于 ｚ 轴的分量 将 被 抵 消，最 终 只 有 沿ｚ 轴 方 向 的 分 量 了 ，即
所产生的场强又 可 用 微 积 分 思 想，先 将 细 圆 环 分 割 成 许 多 小 的 线 元 ，根 据 对 称 性 ，先 求 出 一 组 线 元 在指定点处产生 的 场 强，然 后 再 将 各 组 线 元 场 强 进行叠加得细圆环在该点处的总场强．
细圆环在轴线 上 任 意 点 处 的 场 强 的 计 算：设 正电荷ｑ′均匀分布在半径为Ｒ′的圆环上，Ｐ 为 其 轴线上一 点．若 以 环 心 为 坐 标 原 点 Ｏ，以 轴 线 为 Ｏｘ 轴，环 所 在 平 面 为 Ｏｙｚ 平 面，建 立 直 角 坐 标 系，则可设 Ｐ 点坐标为（ｘ，０，０）．
的面元电 荷 组 在 该 场 点 的 电 场 强 度 进 行 积 分 求
和．
如图４所示，以盘心为坐标原点 Ｏ，在盘面内
建立极坐标系．轴线为 Ｏｚ 轴 建 立 坐 标 系．首 先 将
圆盘分割成许多 小 的 面 积 元．由 于 采 取 的 是 极 坐
标系，所以在距盘心 Ｏ 为ｒ 处选取一个面 积 元 为
１ 微积分主要思想和方法
利用微积分方 法 处 理 较 复 杂 物 理 问 题 时，可 以先将其“化整为 零”，把 它 分 割 成 许 多 在 较 小 时 间 、空 间 等 范 围 内 的 可 以 近 似 处 理 的 基 本 问 题 ，然 后对此可研究的 简 单 的 基 本 问 题 进 行 讨 论，最 后 再“积零为整”，把 所 有 局 部 范 围 内 研 究 结 果 累 积 起来，就 可 以 得 到 问 题 的 结 果．在 理 论 分 析 时，把 分割过程无限地 进 行 下 去，局 部 范 围 便 无 限 地 小 下 去 ，就 是 微 分 ；把 所 有 的 无 限 多 个 微 分 元 的 结 果 进 行 叠 加 ，便 是 积 分 ．这 就 是 微 积 分 的 主 要 思 想 和 方法，是一种辩 证 的 思 想 和 分 析 方 法［１］．比 如，应 用该方法考虑力对时间和空间的累积作用．
只有ｘ 轴方向的分量． 则根据叠加原理，整个 细 圆 环 在 Ｐ 点 所 产 生
的电场强度为
别为
∫（ ） Ｅ ＝Ｅｉ＝
πＲ′ ０
ｘｑ′ ｄｌ ４π２ε０Ｒ′ｒ３
ｉ＝
１ ４πε０
（Ｒ′２ｘ＋ｑ′ｘ２）３２ｉ，
（５）
式中ｘ 表示轴 线 上 某 场 点 的 坐 标，ｑ′表 示 细 圆 环
所 带 的 电 荷 ，Ｒ′表 示 细 圆 环 的 半 径 ．