高等数学习题课下(6)带答案

an2
)1
。
∵ an
4 tan n xdx
0
令tan xt
1 tn 0 1t
2
dx
1
t
ndx
1
，
0
n1
∴
an n
n
1 (n1)
1 nn
1 n1
，
∵ 0,
11
，∴
1 n1n1
收敛 ，从而
an
n1n
收敛。
练习：判别下列级数的敛散性
1． 2(1)n
n1 2n
4．
4n
n15n 3n
2.
un
n 3, 2
∴ lim n n
un
1 1 2
，
故 2(1)n n1 2n
收敛。
解法 3（利用级数的性质）：
∵
2(1)n n1 2n
[
n1
1 2n1
(1)n 2n
]
，
而
1
n12n1
、 (1)n n1 2n
均收敛，∴
n1
2(1)n 2n
收敛。
2.
cosn
n1 n3 n
解：
n1
n0
∵ n(un un1) 收敛，∴ lim n S 。
n1
n
n
∵ n n(un un1)
k1
u1 u0 2u2 2u1 3u3 3u2 nun nun1
nun (u0 u1 u2 u3 un1)
∴ Sn nun n ，
∵ lim Sn lim (nun n ) A S ，
n
n
∴ un A S 。
n
un
lim n
n
3nn (1n)n
lim n n 3 n 1n
1 ，
∴本题不能用根值法判定，必然不能用比值法判定。
4．
4n
n15n 3n
解法 1（根值法）：
∵ lim n un lim n
n
n
4n 5n 3n
lim n 5
4 n 1( 3 )n
41 ， 5
5
∴
4n
收敛。
n15n 3n
解法 2（比值法）：
(B). 绝对收敛
(C ). 条件收敛
(D). 敛散性与 有关
二、填空题
1．设常数 p0 ，则当 p 满足条件 p3 时，
级数 n1n2sinnp 收敛。
2．设 n(un un1) S ，且 lim nun A ，则 un
n1
n
n0
A S 。
解：设 n(un un1) 与 un 的部分和分别为 n 与 Sn ，
(1)n
an
当0a1时 ，绝对收敛；
n2
lnn
当 a1时 ，发散。
当
a1时
，
un
(1)n
1 lnn
，
∵
lim
n
l
1 nn 1 n
lim
n
n lnn
，而
n2
1 n
发散，
∴
1 发散。
n2 lnn
∵
1 ln(n 1)
1 ln n
，且
lim
n
1 lnn
0∴， (1)n
n2
1 lnn
收敛，
故 (1)n an (a0) 当0a1时 ，绝对收敛；
x0
f (x) x2
lim
x0
f ( x) lim 2x x0
f
( x) 2
f
(0) 2
，
∵
f (0) 存在，∴ lim
n
f (1)
n 1
f (0) 2
存在，
n2
而
1
n1n2
收敛，∴
n1
f
(1) n
绝对收敛。
3．设级数 un un1 收敛，且正项级数 vn 收敛，
n1
n1
证明级数
unv
内具有二阶连续导数，且 lim f ( x)0 ，证明级数 x0 x
f ( 1 ) 绝对收敛。
n1 n
证法 1：∵ f ( x) 在x0的 某邻域内连续，
∴ f ( x) 在 x 0 处连续 ，又∵ lim f ( x) 0 ，
x0 x
∴ lim f ( x) f (0)0 ，
x0
lim f ( x) lim f ( x) f (0) f (0) 0.
n
)n ；
n1
1 n
（D）
n1
1 n
0 1
x x4
dx
。
3．设
a
为
常
数，则级数
[
n1
sin(na n2
)
1 ]（ C
n
）
（A）绝对收敛；（B）条件收敛；
（C）发散； （D）敛散性与 a 的取值有关。
4．
(1)n
n2
2n
nn (lnn)
(R) n!
（
C
）
（A）绝对收敛； （B）条件收敛；
（C）发散；
(C ). 条件收敛 (D). 敛散性与k 有关
7.下列结论正确的是 ( D)
( A).
un收敛时,
u2
必收敛
n
n1
n1
(B). un收敛, 且un vn时, vn必收敛
n1
n1
(C ). un收敛时, un 必收敛
n1
n1
(D). un 收敛时, un 必收敛
n1
n1
8.设 a 0,则级数 (1)n(1 cos a )
（D）不能确定其敛散性。
5.若un发散,则下列结论正确的是 ( C ) n1
( A).
1 收敛
u n1 n
(B). (un 0.0001)发散 n1
(C ). un1000 发散 n1
( D). k un发散 n1
6.设
k
0,则级数 (1)n
n1
kn n2
(C )
( A). 发散
(B). 绝对收敛
n1n2
n1 n
证法 2：∵ f ( x) 在x0的 某邻域内连续，
∴ f ( x) 在 x 0 处连续 ，又∵ lim f ( x) 0 ，
x0 x
∴ lim f ( x) f (0)0 ，
x0
lim f ( x) lim f ( x) f (0) f (0) 0.
x0 x
x0
x
用洛必达法则有 lim
n2
lnn
当 a1时 ，发散；当a1时 ，条件收敛。
2．常数 P
取
什
么
范
围
时
，级数
(1)n
n1
lnn np
是
（1）发散；（2）条件收敛；（3）绝对收敛。
解：设
un
(1)n
lnn np
，
un
lnn np
，
（1）当
p0 时
，∵
lim
n
un
lim
n
lnn np
，
∴
lim un
n
0 ， (1)n
n1
lnn np
( C)
( A). un , un2都收敛 (B). un , un2都发散
n1
n1
n1
n1
(C ). un收敛, un2发散 ( D). un发散, un2收敛
n1
n1
n1
n1
11.设
an
0, an收敛， (0,
n1
),则级数
2
(
n1
1)n
n
tan
n
a2n
( B)
( A). 发散
2 z
二、选择题
1.若级数 un 收敛于S ，则级数 (un un1) （ A）
n1
n1
（A）收敛于2S u1 ； （B）收敛于2S u1 ；
（C）收 敛 于2S ； （D）发散。
2．下列级数中收敛的级数是（ D ）
（A）
1
；
n n1
2
（B） ln(1 1 ) ；
n1
n
（C） (1)n(
4 tan n xdx
0
4 tan n2 xdx]
0
1[
4
tan
n
x
tan
n2
x
]dx
1
[
4 tan n xsec2 xdx
n0
n0
1[
4
tann
xd
(tanx
)
1
tann
x
4
1
1 1 .
n0
n n1 0 n(n1) n n1
∵
lim
n
Sn
lim (1
n
1 )1 n1
，
∴
1 n1 n (an
，且 lim
n
lnn np
0
，
∴由莱布尼兹判别法知 (1)n
n1
lnn np
条件收敛。
（3）当 p1时 ，取 r0, 且满足 1r p ，则有
lim
n
un 1
lim nr
n
lnn np
lim
n
lnn n pr
0
，而
1
n1 n r
收敛，
nr
∴ un
n1
收敛，故
un
n1
(1)n
n1
lnn np
Biblioteka Baidu～1 ，
n1 n 2 n
lnn1ln(1 2 ) ～ 2 ～ 2 ，
n1
n1 n1 n
∴ un (
n1
n
)5
ln
n1 n1
～(
2
1 n
)5 (
2 n
)
1
7
16n 2
，
显然此级数为负项级数。
∵
lim
n
un 1
7
1 16
，而
n1
1
7
n2
收敛，
n2
∴(
n1
n)5lnn1 收敛。
n1
n1
x0 x
x0
x
f ( x)的一阶麦克劳林公式为
f ( x) f (0) f (0)x f (x) x2 f (x) x2(01) ，
2!
2
∵ f ( x) 在 x0的 某邻域内连续，
∴ M 0 ，使得 f ( x) M ，
从而当
n充分大时
，有
f
(
1 ) n
M 2
(
1 n2
)
。
而
1
收敛，∴ f ( 1 ) 绝对收敛。
绝对收敛。
综上讨论知，级数
(1)n
n1
lnn np
当 p0
时发散；
当 0 p1时 条件收敛；当 p1时 绝对收敛。
三、证明题
设级数 (an an1) 收敛，且bn 绝对收敛，
n1
n1
试证 anbn 绝对收敛。
n1
证明：设 (an an1) 收敛于 S，则 lim Sn S ，
n1
n
其中 Sn (a1 a0) (a2 a1) (an an1)an a0 .
v
2 n
收敛
。
n1
∵
un
v
2 n
M
v
2 n
，而 M
v
2 n
收敛
，
∴ un vn2 绝对收敛 un vn2 收敛 。
n1
n1
4．设 an
4 tann
0
xdx
，（1）求
n1
n1 (an
an2
)
的值；
（2）试证对任意的常数 0 ，级数
an
收敛。
n1n
证明:
1 n
(an
an2
)
1 [
n
习题课六
一. 计算下列复变函数的积分 :
1. sin(z 1)dz, L是y x2 1上从(1,0)到(1,0)的弧段。 L
Ñ2.
C
z
sin2 z
2
(
z
dz, 1)
其中C
:|
z
|
2正向。
Ñ 3. zez2dz, L : z 1,逆时针方向。 L
Ñ 4. 设 f (z)
e 4 d , 求 f (i), f (i), f (3 4i), f ( 4 )
∵
lim
n
u n1 un
lim
n
4n1 5n1 3n1
5n 3n 4n
4 lim
n
5n 5n1
3n 3n1
4 lim
n
1( 3)n 5
53( 3)n
4 5
1
，
∴
4n
5
收敛。
n15n 3n
5． (
n1
n )5lnn1
n 1
n1
解： un (
n1
n)5lnn1 ， n1
∵ 当 n 时， n1 n
1
cosn
n1 n3 n
3．
3n n
n1(1 n)n
5． (
n1
n )5lnn1
n 1
n1
练习答案
1． 2(1)n
n1 2n
解法 1（比较法）：∵ 0
∴ 2(1)n 收敛。 n1 2n
2
(1)n 2n
3 2n
，而
3
n12n
收敛，
解法 2（根值法）：
∵
1 2n
un
2(1)n 2n
3 2n
， 1n 2
2 n
收敛。
n1
证明： un un1 收敛 lim Sn S ，
n1
n
Sn | u1 u0 | | u2 u1 | L | un un1 || un u0 |
| un | Sn | u0 |
故 M 0 ， un M 。
∵正项级数 vn 收敛，
n1
∴当 n 充分大时，vn 1vn2vn
n1
n
( B)
( A). 发散
(B). 绝对收敛
(C ). 条件收敛
(D). 敛散性与a 有关
9.设 0, an2收敛，则级数 (1)n
n1
n1
( A). 发散
(B). 绝对收敛
an
n2
(B)
(C ). 条件收敛
(D). 敛散性与 有关
10. 设
un (1)n ln(1
1 ),则 n
∵ lim Sn lim (an a0 ) lim an a0 ，
n n
n
∴ lim an S a0 ，
n
从而M0 ，nN ，有 an M 。 又∵ anbn an bn M bn ，
而 bn 绝对收敛，即 bn 收敛，
n1
n1
∴ anbn 收敛，即 anbn 绝对收敛。
n1
n1
2．设函数 f ( x)在 x 1上 有定义，在 x0 的 某邻域
cosn
1
，
n1 n3 n n1 n3 n
∵
1
1
，而
1
收敛，
n3 n n3
n1 n3
∴
1
收敛，从而
cosn
收敛。
n1 n3 n
n1 n3 n
3．
3n n
n1(1 n)n
解：∵
lim un
n
lim
n
3nn (1 n)n
3 lim
n
1 (1 1
)n
3 e
0
，
∴
3nn
发散。
n1(1 n)n
n
注：∵ lim n
发散。
（2）当 0 p1时 ， lnn
∵ lim un lim n p lim n1 p lnn ， n 1 n 1 n
n
n
而
n1
1 n
发散，∴ un
n1
发散。
设
f
(
x
)
lnx xp
，
f
(
x
)
1 x
pln x
p1
，
当 x 充分大时 ， f ( x)0 ，∴f ( x) ，
从而{
f
lnn (n)}{ n p }
n0
二、解答题
1.讨论级数
(1)n
an
(a0) 的敛散性，若收敛，
n2
lnn
是绝对收敛，还是条件收敛。
解：设
un
(1)n
an lnn
，则
un
an lnn
，
∵
lim
n
un1 un
lim
n
an1 ln(n1)
lnn an
a
，
∴ an 当0a1时 ，收敛；当a1时 ，发散。 n2 lnn
从而