现代控制理论 6-3 李雅普诺夫第二法(直接法)(上)

其中 f (0 ) = 0 如果存在具有连续一阶导数的标量函数
V (x ), V (0 ) = 0 在 x ≠ 0 时满足：
1, V (x负半定
& 3, ∀x ∈ X , V (x ) ≡ 0
c
能量不变！
4, x → ∞, V (x ) → ∞
则系统原点平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定。 系统保持稳定的等幅振荡，非渐近稳定！
t
y c
定理3
前页
返回
12
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
系统能量
V (x ) =
c
m
e a
μ
k
& m&& = − kx − μx x
返回
⎡0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x ⎤ 选取 x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ xe = ⎢ ⎥ & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦ ⎣0⎦
& ⎧ x1 = x2 ⎪ 状态方程 ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
稳定性。
t
y c
一、标量函数V(x, t) 定号性
在零平衡状态 xe=0 的邻域内
1,
c
x ≠ 0, V (x ) > 0 x = 0, V (x ) = 0
⇒ V (x ) 正定 ⇒ V (x ) 负定
2,
x ≠ 0, V (x ) < 0 x = 0, V (x ) = 0
t
y c
返回
4
一、标量函数V(x, t) 定号性
y c
p1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ p2 n ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ M M ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ xn ⎥ pnn ⎦ ⎣ ⎦
二次型 V(x)= xTPx 正定
c
e a
p11 p21 p12 p22
二次型定号性的判别方法
⇔ ⇔
矩阵P正定 P的各阶顺序主子式>0
p11 L M O pn1 L p1n M >0
p11 > 0,
解： V (x ) = [x1 x2
判别方法一
c
e a e a
2 2
⎡ 10 1 − 2⎤ ⎡ x1 ⎤ x3 ]⎢ 1 2 − 1 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢− 2 − 1 1 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Δ2 = 10 1 1 2
Δ1 = 10 > 0
= 19 > 0
10 1 − 2 Δ3 = 1 2 −1 = 5 > 0 − 2 −1 1
c
e a e a
定理1
3, x → ∞, V (x, t ) → ∞
则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。
t
y c
定理2
返回
& （线性/非线性）定常系统 x = f (x ), t ≥ 0 其中 f (0 ) = 0
如果存在具有连续一阶导数的标量函数 V (x ), V (0) = 0 在 x ≠ 0 时满足： 1, V (x ) 正定
t
y c
(3) V (x ) = − x12 − (x1 + 2 x2 + x3 )
2
解： x = 0, V (x ) = 0
∴ x = 0, V (x ) = 0 x ≠ 0, V (x ) ≤ 0
x1 = 0, x3 = −2 x2 ≠ 0 , V (x ) = 0
2 2 (4) V (x ) = x12 + 2 x2 − x3
c
2 1
其余 V (x ) < 0
⇒ V (x ) 负半定
2 2 解： x12 + 2 x2 > x3
V (x ) > 0
V (x ) < 0
x + 2x < x
⇒ V (x ) 不定
t
y c
6
T 二、二次型V(x)= xTPx 定号性
二次型：各项均为自变量的二次单项式的标量函数
V (x ) = xT Px = [x1
c
系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的
反之，系统则不稳定！若能量在运动过程中不减不 增，则为李雅普诺夫意义下的稳定。
t
y c
前页
返回
1
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
k
系统能量
V (x ) =
c
m
e a e a
μ
k
& m&& = −kx − μx x
1 选取 x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ xe = ⎢ ⎥ & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦ ⎣0⎦
⇔ λp < 0
t
例：确定下列二次型的定号性。
2 2 V (x ) = x12 + 2 x2 − x3
y c
⇔ λp ≤ 0
解： V (x ) = [x1 x2
判别方法二
c
0
⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ x3 ]⎢ 0 2 0 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ 0 0 − 1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
5,
c
x ≠ 0,
V (x ) > 0 V (x ) = 0 V (x ) < 0
⇒ V (x ) 不定
t
y c
前页
5
例：已知 x = [x1 x2 x3 ]，确定标量函数的定号性
2 2 (1) V (x ) = x14 + 2 x2 + x3
解： x = 0, V (x ) = 0
2 (2) V (x ) = x12 + x3
a a1 > 0, 1 1
a1 1 − 1 1 > 0, 1 b1 − 2 > 0 b1 − 1 − 2 c1
⎧a1 > 0 ⎪ ⎨a1b1 > 1 ⎪a b c + 4 > b + 4 a + c 1 1 1 ⎩ 111
t
y c
10
三、李雅普诺夫第二法主要定理
& 非线性时变系统 x = f (x, t ), t ≥ t0 状态空间原点
⎡x ⎤
⎡ x⎤
⎡0⎤
& ⎧ x1 = x2 ⎪ 状态方程 ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ ≠0 ⎣ x2 ⎦ ⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ =0 ⎣ x2 ⎦
t
y c
V (x ) > 0 V (x ) = 0
P的各阶顺序主子式>0
⇒ V (x ) 正定
t
y c
例：确定下列二次型为正定时，待定常数的取 值范围。
V (x ) = a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 + 2 x1 x2 − 4 x3 x2 − 2 x1 x3
2
解： V (x ) = [x1 x2
c
⎡ a1 1 − 1⎤ ⎡ x1 ⎤ x3 ]⎢ 1 b1 − 2⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢− 1 − 2 c1 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
2
t
y c
返回
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
k
能量随时间变化率
& & & V (x ) = kx1 x1 + mx2 x2
c
m
e a
& ⎧ x = x2 ⎡0⎤ ⎡ x⎤ ⎪ 1 xe = ⎢ ⎥ x=⎢ ⎥ ⎨ k μ & & ⎣0⎦ ⎣ x ⎦ ⎪ x2 = − x1 − x2 m m ⎩
在零平衡状态 xe=0 的邻域内
3,
c
x ≠ 0, V (x ) ≥ 0 x = 0, V (x ) = 0
e a e a
⇒ V (x ) 正半定
4,
x ≠ 0, V (x ) ≤ 0 x = 0, V (x ) = 0
⇒ V (x ) 负半定
t
y c
前页
返回
一、标量函数V(x, t) 定号性
在零平衡状态 xe=0 的邻域内
返回
2
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
k
能量随时间变化率
& & & V (x ) = kx1 x1 + mx2 x2
c
m
e a
2
& ⎧ x = x2 ⎡0⎤ ⎡ x⎤ ⎪ 1 x=⎢ ⎥ ⎨ k μ xe = ⎢ ⎥ & & ⎣0⎦ ⎣ x ⎦ ⎪ x2 = − x1 − x2 m m ⎩
前页
返回
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
& ⎧ x = x2 ⎡0⎤ ⎡ x⎤ ⎪ 1 xe = ⎢ ⎥ x=⎢ ⎥ ⎨ k μ & & ⎣0⎦ ⎣ x ⎦ ⎪ x2 = − x1 − x2 m m ⎩
系统能量
V (x ) =
c
m
1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
t
y c
前页
系统能量 V (x ) =
1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
能量不断衰减 V (x ) → 0
⎡ x1 ≠ 0 ⎤ & ⎢ x = 0⎥ ⇒ V (x ) = 0 ⎦ μ ⎞ ⎣ 2 ⎛ k = kx1 x2 + mx2 ⎜ − x1 − x2 ⎟ m ⎠ 运动会停止吗？ ⎝ m 前页 & & V (x ) ≡ 0 = − μx 2 x ≠ 0 V (x ) < 0
二次型 V(x)= xTPx 负半定
c
e a
二次型定号性的判别方法
⇔
矩阵P正半定
⇔ P的各阶顺序主子式 ≥0 ⇔
矩阵P负半定
⇔ P的各阶顺序主子式负正相间，或等于零
t
y c
正定
负定
8
矩阵P正定
矩阵P正半定
c
e a e a
0 λ −2 0
矩阵P定号性的判别方法二
⇔ λp > 0 ⇔ λp ≥ 0
矩阵P负定 矩阵P负半定
> 0, L,
t
y c
pnn
返回
7
二次型 V(x)=
c
e a
xTPx
二次型定号性的判别方法
负定
⇔
矩阵P负定
⇔
P的各阶顺序主子式负正相间
p11 < 0,
p11 p21
p12 > 0, L , p22
p11 L p1n (− 1)n M O M > 0 pn1 L pnn
t
y c
返回
二次型 V(x)= xTPx 正半定
& 2, V (x ) 负定
c
3, x → ∞, V (x ) → ∞
则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。 前页
返回
t
y c
11
& （线性/非线性）定常系统 x = f (x ), t ≥ 0 其中 f (0 ) = 0
如果存在具有连续一阶导数的标量函数 V (x ), V (0) = 0 1, V (x ) 正定
在 x ≠ 0 时满足：
& 2, V (x ) 负半定
c
e a e a
定理3
& 3, ∀x ∈ X , V (x ) ≡ 0
4, x → ∞, V (x ) → ∞
前页 则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。 返回
t
y c
定理2
定理4 （线性/非线性）定常系统 x = f (x ), t ≥ 0 &
第六章 李雅普诺夫稳定性分析
c
§1 李雅普诺夫意义下的稳定性 §2 李雅普诺夫第一法(间接法)
e a e a
§3 李雅普诺夫第二法(直接法)
§4 应用李雅普诺夫方法分析线性 定常系统的稳定性
t
y c
不必求解微分方程，直接判断系统稳定性。
运动过程中，若能量随时间衰减以至最终消失，则 系统迟早会达到平衡状态，即系统 渐近稳定！
为系统平衡状态 f (0, t ) = 0 。如果存在具有连续一阶 偏导数的标量函数 V (x, t ), V (0, t ) = 0 且满足： 1, V (x, t ) 正定且有界 β ( x ) ≥ V (x, t ) ≥ α ( x ) > 0
& & 2, Vt (x, t ) 负定且有界 Vt (x, t ) ≤ −γ ( x ) < 0
解： x = 0, V (x ) = 0
x1 = 0,x2 ≠ 0, x3 = 0 , V (x ) = 0
其余 V (x ) > 0
c
x ≠ 0, V (x ) > 0
e a e a
2 2 2 3
T
⇒ V (x ) 正定
∴ x = 0, V (x ) = 0 x ≠ 0, V (x ) ≥ 0
⇒ V (x ) 正半定
系统能量 V (x ) =
1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
能量不断衰减 V (x ) → 0
⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ x= ⎢ 1⎥→⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎣0 ⎦
μ ⎞ ⎛ k = kx1 x2 + mx2 ⎜ − x1 − x2 ⎟ m ⎠ ⎝ m 2 & = − μx2 x2 ≠ 0 V (x ) < 0
t
x e 渐近稳定！
y c
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返回
3
求出系统的能量函数（李雅普诺夫函数）V(x, t) —— 标量函数。
& 求出能量随时间变化率 V (x, t ) 。
的变化规律。
依据系统的状态方程考察能量函数在运动过程中
c
e a e a
李雅普诺夫第二法的基本思想
& 利用 V (x, t ) 和 V (x, t ) 的符号特征，判断平衡状态
λ −1
λΙ − P = 0
0 0 = (λ − 1)(λ − 2 )(λ + 1) = 0
λ + 1 ∴ λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −1
P 的特征值的符号有正有负， 即符号不定
⇒ V (x ) 不定
t
y c
9
例：确定下列二次型的定号性。
2 2 V (x ) = 10 x12 + 2 x2 + x3 + 2 x1 x2 − 4 x1 x3 − 2 x2 x3
c
e a
x2
⎡ p11 ⎢p L xn ]⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣ pn1
p12
L
p22 L M O pn 2 L
P为实对称矩阵 例：V (x ) =
pij = p ji
P = PT
1 2 1 2 kx1 + mx2 = [x1 2 2
⎡0.5k x2 ]⎢ ⎣
t
⎤ ⎡ x1 ⎤ 标量 0.5m⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 函数