三次函数切线专题

三次函数切线问题

一、过三次函数上一点的切线问题。

设点P 为三次函数)0()(2

3≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)

(x f y =的图象相切。若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。 证明 设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。 1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==12

11/123)(，

切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-

P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ）

1

21

2212

23

13

212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=

--= c bx bx ax x ax ax +++++=212

12122

又 c bx ax x f k ++==22

22/223)( （1）

∴ c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22

223

即0)2)((1212=+

+-a b x x x x ∴ a

b

x x 22112--=代入（1）式 得 c a

b bx ax k +-+=421432

1212

讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12

123c a

b bx ax +-+421432

121，得a b x 31

-=， ∴ 当a b

x 31-

=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。 当a

b

x 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。

其切线方程为：))(23(112

11x x c bx ax y y -++=-

))(42143(12

1211x x c a

b bx ax y y -+-+=-

由上可得下面结论：

过三次函数)0()(2

3≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作

)(x f y =图象的切

线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列

),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则a

b

x x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。

证明：设过),(n n n y x P 与)(x f y =图象切于点),(111+++n n n y x P 的切线为1+n n P P ，

c bx bx ax x ax ax x x y y k n n n n n n n

n n n +++++=--=

+++++12

12111

又 c bx ax x f k n n n ++==+++12

11/23)(

∴ c bx bx ax x ax ax n n n n n n ++++++++12121=c bx ax n n ++++12123

即 0)2)((11=++-++a b x x x x n n n n ∴ a

b

x x n n 2211-

-=+ 设)(2

11λλ+-=++n n x x 则a b

3=λ

∴ 数列}3{a b x n +是公比为21-的等比数列， 11)2

1

)(3(3--++-=n n a b x a b x

即 a

b

x n n 3lim -

=∞

→。 （2）过三次函数外一点的切线问题。

设点),(00y x P 为三次函数)0()(2

3≠+++=a d cx bx ax x f 图象外，则过点P 一定有直线与

)(x f y =图象相切。

（1）若,30a b

x -

=则过点P 恰有一条切线； （2） 若,30a b x -≠且)3()(0a b

g x g -0>，则过点P 恰有一条切线； （3） 若,30a b x -≠且)3()(0a b

g x g -=0，则过点P 有两条不同的切线； （4）若,30a b x -≠且)3()(0a

b

g x g -0<，则过点P 有三条不同的切线。 其中).)(()()(0/

0x x x f x f y x g -+-=

证明 设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为 ),)(23(112

11x x c bx ax y y -++=- 把点),(00y x P 代入得：

02)3(200102

1031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，

设.2)3(2)(0002

03cx d y x bx x ax b ax x g --+--+= ,2)3(26)(002

/bx x ax b ax x g --+=

,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆

令,0)(/

=x g 则.3,0a

b x x x -

== 因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以,30a b x -

=或,30a b x -≠且)3()(0a

b

g x g -0>时，过点P 恰有一条切线。 0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以

,30a b x -

≠且)3()(0a

b

g x g -=0时，过点P 有两条不同的切线。 0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，

一个极小值，且两极值异号。所以,30a b x -≠且)3()(0a

b

g x g -0<时，过点P 有三条不同的切线。 例题讲解：

例1、已知函数3y x x =-，求过点()1,0A 的切线方程。

例2、（2010湖北文数）设函数3

2

1a x x bx c 3

2

f -++（

x ）=，其中a ＞0，曲线x y f =（）在点P （0，0f （））

处的切线方程为y=1

（Ⅰ）确定b 、c 的值。

（Ⅱ）设曲线x y f =（）在点（11x x f ，（））及（22x x f ，（））处的切线都过点（0,2）证明：当12x x ≠时，12'()'()f x f x ≠

（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线x y f =（）的三条不同切线，求a 的取值范围。

例3、已知函数3

21()3

f x x ax bx =

++,且'(1)0f -= (1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间；

（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，

N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ), 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I ）若对任意的m ∈(1x , x 2)，线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；