画法几何直线的投影.

(3) a′ b′
c′
(4)
a′
b′
d′ d′
c′
c
b
a d
相交
(5)
a′ c′
b′ d′
a
d
c
b
交错
b c
a
d
交错
(6) c′ b′
a′
d′
c a
b d
相交垂直
a
d
b
c
交错
(7) d′
a′
c′
b′
c a
b d
交错
d
c
b
a
平行
(8) d′
a′
c′
b′
c
a
b
d
交错垂直
相交
相交垂直
交错垂直
相交
【例】如图，已知直线AB和点M的两面投影，求过点M 作
（1）垂直相交两直线
A
B
a′
b′
c′
C
X
a
c ab
H
c
O b
如果两直线互相垂直， 它们在某一投影面上的投 影也互相垂直，则此两直 线来自百度文库至少有一直线平行于 该投影面
证明：AB⊥BC、AB⊥Bb AB⊥AacC 又 ab∥AB， ab⊥AacC ab⊥bc， 即∠abc=90°
A
a′
B
c′
X
g a
b
AB与AE 相交 AB与FG 交错
d’
c’ 0
c bd
AB与CD 平行
【例题】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。
d′
e′
作kˊlˊ∥e ˊf ˊ
l′
f′
a′ (b′) (k′)
c′
b d l
作kl∥ef
e
c
k
f
a
2.2.5 两直线垂直(直角投影定理)
垂直相交(交错）的两直线，其中有一条直线 平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影 仍反映直角。
c′
b′
1′
两
a′ d′
直 线
x
o
交
d a
叉
1
c
b
=1′d′
=1′c′
判断两根管子的可见性
c′
a′ X
a
c
b′ c′ 1’4’(3’) b′
2’
d′
d′
a′
d0 a
d
3
c
1(2) 4
b b
判断两直线的位置关系
b’
c’
e’
d’
X c
e
d
AB与CD 交错 CD与AE 交错
a’
f’
g’
a’
b’
a（f） 0
b′
直线AB真长
60°
Δ zAB
a′
30°
b1
直线的H投影长
a
以直线的H投影长 为半径，作圆弧
b2
2.2.3.2 已知直线的真长和倾角求解有关的定位 和度量问题
【例题】如图所示：已知直线CD的两面投影，求CD对投影面 V、W的倾角，并在CD上取点T，T与C的真实距离为10mm ， 作点T的两面投影。
a′
e′ c′
f′ b′
e c
量取bc=30mm
a bf
【例题】已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF 上，试完成该正方形的正面、侧面投影。
e′ d′
a′
o′
△XAO
c′
b′
e″ d″
=△XAO a″
o″ c″
半对角线长
b″
f′
f″
【例】如下图过A点作直角三角形△ABC。已知一条直角边 为BC 居于ＭＮ，（ＭＮ为水平线），另一直角边为Ａ Ｂ，且ＡＢ:ＢＣ＝３:２
b c k
d a
a ck
d b
(3)两直线交叉
d’ b’
1’(2’)
B
a’ c’
2
D
X A
O
1
2
a
C
c
1
b d
1’(2’)
a’
X
c’
2
a
1
两直线交叉的投影特性：
c
d’ b’
O
b d
既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线 相交的投影特性，均属于两直线交叉.
判定条件：
（1） 两直线的三面投影相交，但交点不符合空间点的投影规律；
k’ a’
x c’
c
k a
d’ b’
o
b
d
两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投 影的交点符合点的投影规律。
一般根据直线的两面投影即可判断是否相交
两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影相交且交 点符合点的投影规律，则两直线空间也相交。 当其中有一条直线为投影面平行线时，则需要作出该直线 在所平行的投影面上的投影来判断；也可根据其两面投影中 的交点将直线分成的两段是否成比例来判断。
共面
两直线交叉（交错）—异面
(1)两直线平行
b ´c
d ´D
a
B´
a´
x´
Co
x
A
b
b
a
c
a 两直线平行的投影特性：
b´ d´ c´
o
b
d
c
(1)两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。
即AB∥CD，则：ab∥cd ；a′b′∥c′d′；a″b″∥c″d ″。 (2)平行两线段之比等于其投影之比。 AB:CD=ab:cd= a′b′:c′d′= a″b″∥c″d″
a’
c’
c’
m’
b’
n’
Ｂ
Ｃ
a
b
ZA-ZB
X m c
a
0
b c n
判断下面形体的轮廓线的位置关系
(6) 6
4 (1)
1
4 2
3 (2)
1(2) 5
5(7) 6(7)
3
AB与CE 交叉 1A与4D AD与BC 平行 1A与CD AB与57 交叉垂直 43与67
4 (3)
平行 交叉 平行
(5)
E5与4D 相交垂直 4D与67 交叉
C
X
a
c ab
H
c
b′ O
b
（2） 垂直交错两直线 A
B
N C
a′ Xm
a
b′ n
O
a
c
M m
n
b
H
nb m
MN⊥AB ,过点A作AC∥ MN,则AC⊥AB,且AB∥H面, 则有ab ac，又mn∥ac,则mnab
判断两直线的位置关系
(1) a′ c′ b′ d′
(2) c′
a′(b′)
d′
a′ X
b′ Z B
量取
b″ △YAB
βγ α
A b
a
a″
a′
△YAB
Y
a
量取
△ZAB
AB真长
b′ β
△ZAB
b α
AB真长
在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长， 另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的 真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的 倾角。
真长（TL)
坐标差 △Z、△Y、△X
b
BC=L
c a
L
c0
AB
X
zA-zB
ab
b
ac
【例题】已知直线AB的V面投影，且AB=40mm， 求AB的H面投影。
b′ △YAB
a′
a
量取△YAB b
【例题】已知直线AB的V投影，且β=30° 求AB的H投影。
b′ β
△YAB
a′
a
量取△YAB
b
【例题】已知直线AB的V投影，且α=30°， 求AB的H投影。
a′
a0

△z

b′ X
O
a
b
方法二：
a′
b′ X
a
Z a″

AB真长

b″
O
YW
b
YH
【例题】试在直线AB上其一点 C，使AC = 25 mm， 求点C的投影。
b′
c′
Δ ZAB
a′
X
aA
在AB上量取 AC=25mm
O
C c
B
=Δ ZAB
b
【例题】已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的 点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。
直线AB的垂线的两面投影。
a’
X a
b’ m’
0 m
k’
n’
a’
n’
b’ m’
X a
0
k
m
b
n
b
【例题】求点K到直线AB的距离 。
k′
△ZK
L
a′
b′
l′
a
l
b
k
△ZK
L
垂线KL的实长
【例题】求两直线AB、CD之间的距离。
bˊ cˊ
mˊ
nˊ
aˊ
dˊ mb
a
两交叉线间距离
c (d)(n)
【例题】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上， 长30mm，试完成三角形ABC的投影。
两直线平行的判定：
若直线的三面投影均平行，则空间两直线平行。
一般根据两面投影便能判断两直线是否平行：
两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影平行则两直线空间也平行 当两直线为投影面平行线时，需判断两直线在其平行的投影面上的 投影是否平行，若平行则两直线平行，否则交错。
b’ d’
d” b”
a’ a”
（2） 两直线的一面投影平行，其余两面投影均相交，则两直 线交错;
（3） 两直线为投影面平行线时，若在平行的投影面内的投影 相交，则两直线交错。
a′ c′
b′ d′
c
b
a
d
【例题】判断两直线的相对位置（方法一）
Z
c′ b′
a′ d′
X
a
d
d″
a″
o
c″
b″
两
直
线
交
YW 叉
c
b
YH
【例题】判断两直线的相对位置(方法二）
α 、β 、γ
H、V、W投影长
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角
a′ X
b′ B
|zA-zB|
a′
O
X
c
A
b
a a
AB

ab
|zA-zB|
b′ AB
|zA-zB|
ab
b

AB
|zA-zB |
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
b′ B
AB
b

a′ X
|yA-yB|

O
c
c’ c”
c a
d
b
两面投影均平行的直线空间不一定平行
判断两直线是否平行的方法
1、第三面投影是否平行？ 2、同面投影长度之比是否相等，且方向是否一致？ 3、同面投影对角连线的交点是否符合点的投影规律？
s’
s
s’
(2)两直线相交
d’
b’
k’
a’ c’
K
x
C
Ac
B D
o
a
k
b
d
两直线相交的投影特性：
A
b
a
AB
ab
|yA-yB|
a
X
ab

b
AB
a
|yA-yB|
|yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
Z
b
Z
b′
a〞
B b
a′
b〞
a

X
O
YW
X
O
b
b
A
a
a
Y
a
YH
|xA-xB|
【例题】如图所示，求直线AB的真长及其对
投影面H、V的倾角 、
方法一：
△y=ab
2.2 直线的投影
2.2.3 求直线的真长及其对投影面的倾角
2.2.3.1 求直线的真长及其对投影面的倾角
求解一般位置线段的实长及倾角 是求解画法几何综合题时经常遇到的 基本问题之一，也是工程上遇到的问 题。而用直角三角形法求解实长、倾 角又最为方便、简捷。求实长或可采 用辅助平面法。
直角三角形法
Z
d′
d″
β
t0 t′
c0

t″
c1
c′
△x O
c″
△y
【例题】如图所示：已知直线EF的水平投影ef和端点E的 正面投影e′，并知EF的真长为20mm，补全EF的正面投影
e′f′,同时，请回答这个题目有几解。
f′
有两解 e
△z
△z
f′
X
O
e
f
2.2.4 两直线的相对位置
两直线的 相对位置
两直线平行 两直线相交