第十三章 拉氏变换在电路分析中的应用

下面我们来看一看真分式的部分分式展开。
一、当 有n个不同的实根 ， ，…， 时
其中：
例题：
已知：
求：
而：
因此：
所以：
二、当 有m个重实根时
其中：
例题：
已知：
求：
解：
那么：
因此：
所以：
三、当 有两个共轭的复根 ， 时
其中： ，
而： ，
例题：P297
再以13.1.4中的例题为例：
，即： ，
，
V
13-2
13
13.1.4
以一个典型的二阶电路为例： ， ， ， ， ，
该电路的电路方程为：
其中且： ，
两边同时拉氏变换：

一般不再使用原始定义式，而采用部分分式展开，然后查表的方法。
电路响应往往为两个实系数的s的多项式之比。即 ，而在电路分析中，该式一般为真分式。（如果计算式不为真分式，可以将其化成多项式与一个真分式的和）
4．借助拉时变换表及部分分式展开，对响应的象函数进行反变换，得出时域响应。
二、例题
1．已知：
求：电路的零状态响应
解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路）
其中：
所以：
2．已知：
求： ，
解： ，
因此可以绘出原电路对应的复频域模型
所以
所以： ，
3．已知： ，
求：电路的零状态响应
解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路）。
各种基本元件的VCR，即元件的电压象函数与电流象函数之间的关系。
一、电阻
因为： ，两边同时取拉氏变换：L =L 。这样
即：
二、电容
因为：
两边同时取拉氏变换：L =L
这样：
即：
根据源变换的原则：
当电容的初始储能为零时：
三、电感
因为：
两边同时取拉氏变换：L =L
这样
即：
根据源变换的原则：
当电容的初始储能为零时：
四、耦合电感
两边同时取拉氏变换有：
这样其运算等效电路为图所示。
五、独立电源
直接将独立源的函数进行拉氏变换。
常用稳恒电源（电压源、电流源）：A
六、受控源
直接加上系数即可。
13
一、分析步骤
1．根据换路前一瞬间的工作状态，计算 及 ；
2．将各个元件转换为复频域模型，绘出电路的运算电路（复频域模型）；
3．根据一般的电路分析方法——如节点法、回路法、戴维南-诺顿等效法等等对原电路的运算电路进行分析，计算出响应的象函数
拉氏变换正是简化这类计算得有效方法之一。通过拉氏变换，用电压、电流对应的复频域象函数代替相应的时间函数，即可将原线性微分方程变换为相应的线性代数方程，从而大大简化电路方程的求解。
13-1
13
一、拉氏变换
定义在区间 内的函数 ，其拉氏变换 的定义为
其中 为复频率 ， 为 的象函数， 为 的原函数。
二、拉氏反变换
三、表示
L ，L
注意：我们用大写的字母表示频域量，如 、 等，用小写字母表示时域量，如 、 。
13
一、唯一性：原函数 与象函数 一一对应。
二、线性性： ， ，则：
三、时域导数特性：L
四、时域积分特性：L
五、卷积定理：L
13
见书中P294。——一般在电路中不要求多余的计算技巧，只需要可以将最后结果化成表中所示的形式，然后通过查表得到结果。
第十
重点：
1．元件的复频域模型
2．拉氏变换及其在电路分析中的意义
3．应用拉氏变换分析线性电路
在第七章与第八章中，我们看到含有线性元件（RLC等）的电路的时域方程为线性常系数微分方程，而这类电路的分析最终变成了一系列线性常系数微分方程的求解问题。当微分方程的阶数大于2或者输入函数比较复杂时，方程的求解就变得比较复杂起来了。
根据节点电压法：
所以：