向量数量积的几何意义应用

向量数量积几何意义应用

一、直接作投影

例1 在ABC ∆中，已知6,90=︒=∠AB BAC ，若D 点在斜边BC 上，DB CD 2=，则AD AB ∙的值为（ ）

A ．6

B ．12

C ．24

D ．48

分析：过D 点作AB 的垂线，即得AD 在AB 方向上的投影，投影的数量运用比例线段求解即可． 解：如图，过D 点作AB DE ⊥，则有向线段AE 的数量即为AD 在AB 方向上的投影．

因为︒=∠90BAC ，所以AC DE //，又因为DB CD 2=，所以

463

2

32=⨯==AB AE ．

因为向量AE 与AB 同向，所以AD 在AB 方向上的投影为4，所以244||=⨯=∙AB AD AB ．故选C ． 评注：投影是个数量，其绝对值等于投影向量的模，符号取决于投影向量与被投影向量方向相同还是相反．

变式1 已知ABC ∆中，2,90=︒=∠AB ABC ，D 是边BC 上一动点，则=∙AD AB （ ） A ．2

B ．2-

C ． 4

D ． 无法确定

解：显然AD 在AB 方向上的投影为2，所以422=⨯=∙AD AB ．故选C ．

变式2 如图，在ABC ∆中，AB AD ⊥

，1==AD BC ，则=∙AD AC （ ） A ．32 B ．23 C ．3

3

D ．3

A

B

C

E

解：过C 点作AD CE ⊥交AD 延长线于点E ，则||AE 即为AC 在AD 方向上的投影，因为

1==AD BC ，ABD ∆∽CDE ∆，所以33==AD AE ．

所以331=⨯=∙AD AC ．故选D ．

变式3 在边长为3的正ABC ∆中，D 是AC 上的动点，则BC BD ∙的最小值为（ ）

A ．9

B ．

49 C ．427 D ．2

9 解：画出图形，过D 点作AC 的垂线，易知当点D 与A 重合时，BD 在BC 方向上的投影取得最小值2

3

，所以BC BD ∙的最小值为

2

9

．故选D ． 评注：还能求得BD 在BC 方向上投影的最大值为3，进而得BC BD ∙的最大值为9．本题也可建系求解，显然不如运用几何意义简单．

变式4 已知正六边形54321P P P P OP 的边长为1，则i OP OP ∙1（5,4,3,2,1=i ）的最大值是（ ） A ．1

B ．

2

3 C ．3 D ． 2

分析：关键是求i OP 在1OP 方向上投影的最大值，可画图探求．

解：画出图形，分别作出各i OP 在1OP 方向上的投影，可发现其最大值为2OP 在1OP 方向上的投影，

所以i OP OP ∙1的最大值是=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+⨯211123．故选B ．

二、运用等腰三角形三线合一求投影

例2 已知正△ABC 的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足ED AE =，那么=∙EC EB （ ） A ．3

8

-

B ．1-

C ． 1

D ． 3

分析：直接作一个向量在另一个向量方向上的投影较困难，即使作出也不易求解，我们考虑转化其中一个向量，以期转化完后投影易求．

解：如图，依题意，BC AD ⊥，所以EB 在ED 方向上的投影为

32

3421=⨯⨯=

ED ，EB 在DC 方向上的投影为2=BD ． 所以143)(22-=-=-=+∙=∙DC ED DC ED EB EC EB ．故选B ．

评注：本例还可建系解答，但应比上述解法稍麻烦．朝着垂直关系转化是转化的方向，目的就是为了用数量积的几何意义．

变式5 已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则=∙BC AF （ ）

A ．58

-

B ．

8

11 C ．

4

1 D ．

8

1 解：如图，过点F 作BC FH ⊥于点H ，因为BC AE ⊥，所以EH 就是AF 在BC 方向上的投影．

作BC DG ⊥于G ，易知DEG ∆∽EFH ∆，所以

2==EF

DE

EH GE ，所以 812==

GE EH ，所以8

1

811=⨯=∙BC AF ．．故选D ． 三、运用矩形邻边垂直求投影

例3 如图，在矩形ABCD 中，2,2==BC AB ，点E 为BC 的中点，点F 在CD ，若2=∙AF AB ，则=∙BF AE （ ）

A ．2

B ． 2

C ．0

D ．1

分析：先运用AF AB ∙的几何意义求出DF ，进而求出FC ．然后仿例2，把BF 拆分成CF BC +求解．

解：易知AF 在AB 上的投影等于DF ，所以22==∙DF AF AB ，所以12,1-==FC DF ． 又因为AE 在BC 方向上的投影为1=BE ，AE 在CF 方向上的投影为2-=-CD ，所以

2)12(212)(=--⨯=∙-∙=∙+∙=+∙=∙CF CD BE BC CF AE BC AE CF BC AE BF AE ．故选

A ．

评注：本例出现了负投影，要留意其产生的向量方向关系．

变式6 在边长为2

的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，则AE EC ⋅=

（

）

A ．2-

B ．2

C ．－1

D ．1

解：111=⨯=∙=∙EC DE EC AE ．故选D ．

四、运用菱形对角线垂直求投影

G

H