向量数量积的几何意义应用

向量数量积几何意义应用
一、直接作投影
例1 在ABC ∆中，已知6,90=︒=∠AB BAC ，若D 点在斜边BC 上，DB CD 2=，则AD AB ∙的值为（ ）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
分析：过D 点作AB 的垂线，即得AD 在AB 方向上的投影，投影的数量运用比例线段求解即可． 解：如图，过D 点作AB DE ⊥，则有向线段AE 的数量即为AD 在AB 方向上的投影．
因为︒=∠90BAC ，所以AC DE //，又因为DB CD 2=，所以
463
2
32=⨯==AB AE ．
因为向量AE 与AB 同向，所以AD 在AB 方向上的投影为4，所以244||=⨯=∙AB AD AB ．故选C ． 评注：投影是个数量，其绝对值等于投影向量的模，符号取决于投影向量与被投影向量方向相同还是相反．
变式1 已知ABC ∆中，2,90=︒=∠AB ABC ，D 是边BC 上一动点，则=∙AD AB （ ） A ．2
B ．2-
C ． 4
D ． 无法确定
解：显然AD 在AB 方向上的投影为2，所以422=⨯=∙AD AB ．故选C ．
变式2 如图，在ABC ∆中，AB AD ⊥
，1==AD BC ，则=∙AD AC （ ） A ．32 B ．23 C ．3
3
D ．3
A
B
C
E
解：过C 点作AD CE ⊥交AD 延长线于点E ，则||AE 即为AC 在AD 方向上的投影，因为
1==AD BC ，ABD ∆∽CDE ∆，所以33==AD AE ．
所以331=⨯=∙AD AC ．故选D ．
变式3 在边长为3的正ABC ∆中，D 是AC 上的动点，则BC BD ∙的最小值为（ ）
A ．9
B ．
49 C ．427 D ．2
9 解：画出图形，过D 点作AC 的垂线，易知当点D 与A 重合时，BD 在BC 方向上的投影取得最小值2
3
，所以BC BD ∙的最小值为
2
9
．故选D ． 评注：还能求得BD 在BC 方向上投影的最大值为3，进而得BC BD ∙的最大值为9．本题也可建系求解，显然不如运用几何意义简单．
变式4 已知正六边形54321P P P P OP 的边长为1，则i OP OP ∙1（5,4,3,2,1=i ）的最大值是（ ） A ．1
B ．
2
3 C ．3 D ． 2
分析：关键是求i OP 在1OP 方向上投影的最大值，可画图探求．
解：画出图形，分别作出各i OP 在1OP 方向上的投影，可发现其最大值为2OP 在1OP 方向上的投影，
所以i OP OP ∙1的最大值是=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+⨯211123．故选B ．
二、运用等腰三角形三线合一求投影
例2 已知正△ABC 的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足ED AE =，那么=∙EC EB （ ） A ．3
8
-
B ．1-
C ． 1
D ． 3
分析：直接作一个向量在另一个向量方向上的投影较困难，即使作出也不易求解，我们考虑转化其中一个向量，以期转化完后投影易求．
解：如图，依题意，BC AD ⊥，所以EB 在ED 方向上的投影为
32
3421=⨯⨯=
ED ，EB 在DC 方向上的投影为2=BD ． 所以143)(22-=-=-=+∙=∙DC ED DC ED EB EC EB ．故选B ．
评注：本例还可建系解答，但应比上述解法稍麻烦．朝着垂直关系转化是转化的方向，目的就是为了用数量积的几何意义．
变式5 已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则=∙BC AF （ ）
A ．58
-
B ．
8
11 C ．
4
1 D ．
8
1 解：如图，过点F 作BC FH ⊥于点H ，因为BC AE ⊥，所以EH 就是AF 在BC 方向上的投影．
作BC DG ⊥于G ，易知DEG ∆∽EFH ∆，所以
2==EF
DE
EH GE ，所以 812==
GE EH ，所以8
1
811=⨯=∙BC AF ．．故选D ． 三、运用矩形邻边垂直求投影
例3 如图，在矩形ABCD 中，2,2==BC AB ，点E 为BC 的中点，点F 在CD ，若2=∙AF AB ，则=∙BF AE （ ）
A ．2
B ． 2
C ．0
D ．1
分析：先运用AF AB ∙的几何意义求出DF ，进而求出FC ．然后仿例2，把BF 拆分成CF BC +求解．
解：易知AF 在AB 上的投影等于DF ，所以22==∙DF AF AB ，所以12,1-==FC DF ． 又因为AE 在BC 方向上的投影为1=BE ，AE 在CF 方向上的投影为2-=-CD ，所以
2)12(212)(=--⨯=∙-∙=∙+∙=+∙=∙CF CD BE BC CF AE BC AE CF BC AE BF AE ．故选
A ．
评注：本例出现了负投影，要留意其产生的向量方向关系．
变式6 在边长为2
的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，则AE EC ⋅=
（
）
A ．2-
B ．2
C ．－1
D ．1
解：111=⨯=∙=∙EC DE EC AE ．故选D ．
四、运用菱形对角线垂直求投影
G
H
例4 在边长为2的菱形ABCD 中，︒=∠60BAD ，E 是BC 的中点，则=∙AE AC （ ） A ．
3
3
3+ B ．
2
9 C ．3 D ．9
分析：先求出AC ，然后把AE 拆分成BE AB +，然后运用菱形对角线互相垂直求投影，即可获解． 解：因为3230cos 22=︒⨯=AC ，所以
()
9324
3
43412121)(2
222=⨯==+=∙
+∙=+∙=∙AC AC AC BC AC AB AC BE AB AC AE AC ．故选D ．
评注：定角为︒120的等腰三角形的底边长为腰长的3倍，可作为一个结论记下来，可用余弦定理或三角函数推导．
例5 已知ABC ∆，3,6==AC AB ，N 是边BC 上的点，且2=，O 为ABC ∆的外心，=∙（ ）
A ．8
B ．10
C ．18
D ．9
分析：先把AN 用AC AB ,表示出来，然后运用垂径定理求AO 在AC AB ,方向上的投影，即可获解． 解：因为NC BN 2=，所以AN AC AB AN 22-=-，所以AC AB AN 3
2
31+=
． 设弦AC AB ,的中点分别为E D ,，则AC OE AB OD ⊥⊥,，所以AO 在AC AB ,方向上的投影分别为
232,32==AC AB ，所以23332363132313231
⨯⨯+⨯⨯=∙+∙=∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∙AO AC AO AB AO AC AB AO AN 9=．故选D ．
评注：垂径定理是圆中最常用的定理，它不是一个定理，而是三个定理，即由垂直弦、平分弦、过圆心这三个条件中的两个可以推出第三个．提醒同学们在遇到圆的弦的时候想着用该定理．
变式8 如图，已知PQ 为⊙O 的一条弦，且4=∙PO PQ ，则=PQ __________．
解：因为42
1
2==
∙PQ PO PQ ，所以22=PQ ． 变式9 设A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，若3=AB ，则∙AB AC 的最大值为（ ） A ．33+
B ．
32
3
+ C ． 3 D ．3
分析：先设出圆心，然后把AC 拆分成OC AO +，其中∙AB AO 是定值，故而转化成求∙AB OC 的最大值，进而转化成求OC 在BD 方向上的投影的最大值．
解：设圆心为O ，则∙AB AC ∙=AB 221
)(AB OC AB AO AB OC AO =
∙+∙=+OC AB ∙+． 因为OC 在AB 方向上的投影的最大值为1，所以∙AB AC 的最大值为=⨯+⨯31321232
3
+．
变式10 如图，已知边长为a 的正三角形ABC 内接于圆O ，D 为BC 边中点，E 为BO 边中点，则
=∙DE AC （ ）
A ．82
a -
B ．42a -
C ．8
32
a -
D ．2
2
a - 解：4
21212122
a AC CO AC DE AC -=⨯-=∙=∙．故选B ．。